Extremwertaufgabe, Zylinder - Mathematik-Werkstatt

Der Funktionsterm besteht aus zwei Summanden. Nach der Summenregel kannst Du die Summandeneinzeln ableiten und die Ergebnisse addieren.Auf den Term 2000r −1 kannst Du die Potenzregel x n ' = nx n − 1anwenden, wenn Du für n dieZahl -1 einsetzt.O ' r = 2⋅2 r −1⋅2000 r −1 − 1⇔ O ' r = 4 r − 2000 r −2Auf den Term −2000 r −2 kannst Du die Potenzregel x n ' = nx n − 1anwenden, wenn Du für n dieZahl -2 einsetzt.−2 −1O ' ' r = 4 − −2⋅2000 r⇔ O ' ' r= 4 4000 r −3Jetzt kannst Du die erste Ableitung gleich 0 setzen.0 = 4 r − 2000 r −2auf beiden Seiten ·r 3 rec hnen⇔ 0 = 4 r 3 − 2000⇔ 2000 = 4 r 3⇔ 20004 = r3⇔ 3 20004 =3 500⇒ r ≈ 5,42= r = : r EDiesen Wert kannst Du in die zweite Ableitung einsetzen. Aufgrund der Struktur der zweiten Ableitungkannst Du aber auch direkt sehen, dass sie für alle positiven r größer als 0 ist.Also hast Du ein Minimum der Oberflächenfunktion gefunden. Nun kannst Du noch den zugehörigen y-Wert und die zugehörige Höhe ausrechnen.2−1O r E = O3 500 = 2 3 500 2000⋅3 500 O r E ≈ 553,58