Extremwertaufgabe, Zylinder - Mathematik-Werkstatt

ExtremwertaufgabeEs ist ein Zylinder zu finden, der 1 Liter Inhalt und eine minimale Oberfläche hat.Eine solche Frage stellt sich, wenn man viele Zylinder mit einem bestimmten Volumen herstellen möchteund dabei möglichst wenig Material verbrauchen möchte.Um ein Gefühl für die Aufgabe zu entwickeln, kannst DuDir zunächst mehrere Zylinder vorstellen, deren Höhenund Grundflächen unterschiedlich, deren Volumen abergleich ist.Auf dem nebenstehenden Bild sind mehrere Zylinder abgebildet,die alle das gleiche Volumen haben, nämlich 1 Liter.Hat ein Zylinder eine große Grundfläche, dann muß die Höhe gering sein, damit der Zylinder ein Volumenvon einem Liter hat. Hat ein Zylinder eine kleine Grundfläche, muß die Höhe entsprechend größer sein,damit das Volumen gleich bleibt.Ein Zylinder mit großer Grundfläche braucht auch eine große Deckfläche. Zwar ist dann die Mantelflächenicht so hoch, aber die gesamte Oberfläche hat nicht die optimale Größe. Das heißt, es gibt Zylinder,die das gleiche Volumen, aber eine kleinere Oberfläche haben.Ein hoher Zylinder mit dem Volumen 1 Liter hat zwar eine kleine Grund- und Deckfläche, aber die Mantelflächeist groß. So sieht unser gesuchter Zylinder mit minimaler Oberfläche also auch nicht aus.Um ihn zu finden, kannst Du so vorgehen:1) Definiere eine Funktion, deren y-Werte Oberflächen bedeuten. Diese Funktion heißt Zielfunktion.2) Finde mit Hilfe der Differenzielrechnung ein Minimum dieser Funktion.Um die Zielfunktion zu finden, kannst Du die Formel für die Oberfläche eines Zylinders aufschreiben -einfach deshalb, weil Du vermutest, sie in diesem Zusammenhang gebrauchen zu können.

O = 2 r 2 2 r hoder anders geschrieben:O = 2 r r hhDu kannst nun irgendwelche (positiven) Zahlen für r und h in die Formel einsetzen und dann die Oberflächeausrechnen.Soll der Zylinder ein Volumen von einem Liter haben, kannst Du zwar irgendeine (positive) Zahl für rwählen, damit steht h aber schon fest. Anders gesagt: Wenn die Grund- und Deckfläche eines Zylindersdurch den Radius r festgelegt sind, gibt es nur noch eine bestimmte Höhe h, die einen Zylinder mit demVolumen 1 Liter entstehen läßt.Du kannst auch ein h auswählen. Dann ist damit auch r schon festgelegt wenn Du berücksichtigst, dassder Zylinder ein bestimmtes Volumen haben soll. Ob Du zunächst h oder r auswählst, ist egal. Hier wirdnur der Ansatz verfolgt, dass r ausgewählt wird und h dann schon feststeht.Um die Abhängigkeit von r und h zu präzisieren, kannst Du die Volumenformel verwenden:V = hr 2Da das Volumen 1 Liter, also 1000 cm³ sein soll, kannst Du V durch 1000 cm³ ersetzen:1000 cm 3 = hr 2Um besser rechnen zu können, lassen wir vorerst die Einheit weg, also:1000 = hr 2Wenn Du ein r auswählst und wissen möchtest, wie groß das h dann sein muß, kannst Du die obige Formelnach h umstellen und dann einfach ausrechnen.h = 1000 r 2Diese Gleichung heißt Nebenbedingung.

Der Funktionsterm besteht aus zwei Summanden. Nach der Summenregel kannst Du die Summandeneinzeln ableiten und die Ergebnisse addieren.Auf den Term 2000r −1 kannst Du die Potenzregel x n ' = nx n − 1anwenden, wenn Du für n dieZahl -1 einsetzt.O ' r = 2⋅2 r −1⋅2000 r −1 − 1⇔ O ' r = 4 r − 2000 r −2Auf den Term −2000 r −2 kannst Du die Potenzregel x n ' = nx n − 1anwenden, wenn Du für n dieZahl -2 einsetzt.−2 −1O ' ' r = 4 − −2⋅2000 r⇔ O ' ' r= 4 4000 r −3Jetzt kannst Du die erste Ableitung gleich 0 setzen.0 = 4 r − 2000 r −2auf beiden Seiten ·r 3 rec hnen⇔ 0 = 4 r 3 − 2000⇔ 2000 = 4 r 3⇔ 20004 = r3⇔ 3 20004 =3 500⇒ r ≈ 5,42= r = : r EDiesen Wert kannst Du in die zweite Ableitung einsetzen. Aufgrund der Struktur der zweiten Ableitungkannst Du aber auch direkt sehen, dass sie für alle positiven r größer als 0 ist.Also hast Du ein Minimum der Oberflächenfunktion gefunden. Nun kannst Du noch den zugehörigen y-Wert und die zugehörige Höhe ausrechnen.2−1O r E = O3 500 = 2 3 500 2000⋅3 500 O r E ≈ 553,58

h E= 1000 r = 10002E⋅3 500⇒ h E≈ 10,842Der Zylinder mit der minimalen Oberfläche hat einen Radius von ca. 5,42 cm .Die zugehörige Höhe beträgt ca. 10,84 cm .Die minimale Oberfläche beträgt ca. 553,58 cm².