Lehrplan G9 Mathematik

L E H R P L A N_________________________________________________________________________________M A T H E M A T I KGymnasialer BildungsgangJahrgangsstufen 5 bis 13Geltende Lehrplänezusammengefasst und teilweise ergänztum Querverweise und AufgabengebieteHessisches Kultusministerium

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik− nimmt die Aufgabe wahr, das Argumentieren und Deduzieren sowie logisches Schließen zu üben,über die Qualität verschiedener Lösungsansätze, Lösungsstrategien oder Lösungen zu reflektierenund diese in ihrer Bedeutung einzuordnen,− bezieht die historische Entwicklung mathematischer Begriffe, Sätze und Theorien mit ein, um z.B.Entwicklungen, veränderte Auffassungen und Darstellungen innerhalb der Mathematik zu verdeutlichen.gymnasiale OberstufeDer Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe− dient der Erarbeitung eines zukunftsorientierten, aufeinanderaufbauenden, strukturierten Wissens,− fördert den Erwerb flexibel nutzbarer Fähigkeiten und Kenntnisse,− weckt Faszination für ästhetische Qualitäten wie logische Stringenz, Ordnung, Symmetrie,− leistet einen Beitrag zur Aneignung und Nutzung von Lernkompetenzen,− leitet an zu exaktem Denken und rationalen und objektiven Betrachtungsweisen,− fördert Originalität und Produktivität durch ungewöhnliche Fragestellungen und unterschiedlicheDenkansätze und das Denken in übergreifenden Strukturen,− stellt Verbindungen zwischen einzelnen mathematischen Fachgebieten her und fördert die Zusammenarbeitmit anderen Fächern,− ist problemorientiert und betont den prozessualen Charakter der Mathematik,− zeigt die Anwendungsrelevanz mathematischer Begriffe, Sätze und Theorien auf, indem Sachproblemestrukturiert, wesentliche Aspekte in mathematischen Modellen dargestellt, Lösungswege gesuchtund Lösungen interpretiert werden; das befähigt umgekehrt, mathematische Sätze und Theorienin unterschiedlichen Kontexten anzuwenden,− bemüht sich um eine aktive Auseinandersetzung der Schülerinnen und Schüler mit den mathematischenGegenständen, vermeidet eine mechanische Informationsaufnahme und stellt das systematische,inhaltsbezogene, zielorientierte Lernen in den Vordergrund,− nimmt die Aufgabe wahr, das Argumentieren und Deduzieren sowie logisches Schließen zu üben,über die Qualität verschiedener Lösungsansätze, Lösungsstrategien oder Lösungen zu reflektierenund diese in ihrer Bedeutung einzuordnen,− greift aktuelle Fragestellungen, neue Sichtweisen, moderne Arbeitsmethoden auf und schließt denEinsatz moderner schulrelevanter elektronischer Werkzeuge, z.B. Taschenrechner, Computer-Algebra-Systemeund Informationsmedien, ein,− ist so gestaltet, dass sich lehrergesteuerte und von den Schülerinnen und Schülern gesteuertePhasen gegenseitig ergänzen. Dabei wird ein solider, fundierter Wissenserwerb sichergestellt undauch die große Bedeutung der Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit der Schülerinnen undSchüler hervorgehoben,− gewährleistet einen sicheren Umgang mit der Fachsprache, der mathematischen Terminologie undmit mathematischen Modellen, die aus unterschiedlichen Fachgebieten erschlossen werden,− bezieht die historische Entwicklung mathematischer Begriffe, Sätze und Theorien mit ein, um z.B.Entwicklungen, veränderte Auffassungen und Darstellungen innerhalb der Mathematik zu verdeutlichen.Voraussetzung und Grundlage für eine erfolgreiche Mitarbeit im Fach Mathematik in der gymnasialenOberstufe sind die in der Sekundarstufe I erworbenen Fähigkeiten und Kenntnisse.2 Didaktisch - methodische GrundlagenSekundarstufe IVoraussetzung und Grundlage für eine erfolgreiche Mitarbeit im Fach Mathematik im Gymnasium sinddie in der Grundschule erworbenen Fähigkeiten und Kenntnisse.Der Unterricht soll− die innere Beteiligung und das Interesse der Schülerinnen und Schüler am Fach wecken und ihreEinstellung zur Mathematik positiv beeinflussen,− den Schülerinnen und Schülern Freude am Lernen und im Umgang mit der Mathematik vermitteln,− die Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler und ihre aktive Auseinandersetzung mit den Inhaltensowie ihre Kreativität und Selbstständigkeit fördern und stärken,3

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikDie Unterschiede zwischen Leistungs- und Grundkursen wirken sich im Einzelnen auch bei den verschiedenenthematischen Kernbereichen und Stichworten aus, die Bestandteile der Kursbeschreibungensind.3 Umgang mit dem LehrplanDer Lehrplan Mathematik für die Jahrgangsstufen 5 bis 13 des Gymnasiums bietet Freiräume für pädagogischeKreativität der Fachlehrerinnen und Fachlehrer, Mitsprachemöglichkeiten für die Schülerinnenund Schüler und Gestaltungsmöglichkeiten für die Fachkonferenzen.Die verbindlichen Unterrichtsinhalte sollen in 2/3 der zur Verfügung stehenden Zeit erarbeitet werden;die übrige Unterrichtszeit dient der Vertiefung oder der Behandlung fakultativer Unterrichtsinhalte.Um den unterschiedlichen Voraussetzungen, Erwartungen und Bedürfnissen der Schülerinnen undSchüler gerecht zu werden, erstellt die Fachkonferenz unter Berücksichtigung der besonderen örtlichenGegebenheiten auf der Grundlage dieses Lehrplans ein Schulcurriculum. Dieses muss nicht nuralle verbindlichen Unterrichtsinhalte enthalten, sondern von den fakultativen Unterrichtsinhalten in jederJahrgangsstufe mehrere Themen zur weiteren Vertiefung und Ergänzung einbeziehen oder durchgleichwertige Unterrichtsinhalte ersetzen. Das Schulcurriculum Mathematik leistet somit einen wesentlichenBeitrag, das Profil der Schule zu schärfen.Bei der didaktisch-methodischen Ausgestaltung des Schulcurriculums soll die erforderliche Kompensationsarbeitund die notwendige Differenzierung berücksichtigt werden. Die Unterrichtsinhalte, insbesondereder Jahrgangsstufen 5 und 11, eignen sich gut, Konzepte zu entwickeln, um Defiziteauszugleichen, Wissensstrukturen in neuem Kontext zu verankern und durch intelligentesWiederholen und Üben zu festigen. Aufbauend auf den Aussagen zu Grund- und Leistungskursen(Ziff.3, Teil A) und die grund- und leistungskursbezogenen Kursbeschreibungen sollen imSchulcurriculum die unterschiedlichen Schwerpunktsetzungen im einzelnen verdeutlicht werden.Die Unterrichtsinhalte in den Jahrgangsstufen 5 bis 10 werden den Sachgebieten Geometrie, Zahlbereiche,Größen, Algebra/Funktionen und Stochastik zugeordnet. Der Lehrplan Mathematik für dasGymnasium ist so konzipiert, dass einmal eingeführte thematische Kernbereiche, Begriffe oder mathematischeAussagen in den darauf folgenden Schuljahren wieder aufgegriffen und erweitert oder vertieftwerden. Das so vertikal vernetzte Gebäude von Vorstellungen mathematischer Begriffe undSachverhalte, Definitionen und Lehrsätzen ist stets eingebunden in Anwendungszusammenhänge undbietet Gelegenheit, Unterrichtsmethoden zu verwenden, die Schülerinnen und Schüler zu selbstständigem,eigenverantwortlichem Handeln anleiten.In jeder Jahrgangsstufe bieten sich vielfältige Gelegenheiten, die Unterrichtsinhalte miteinander zuverzahnen und Verbindungen zwischen den einzelnen Sachgebieten herzustellen.Die Notwendigkeit, den Schülerinnen und Schülern Orientierungshilfen für die Berufs- und Studienwahlzu geben, ist schulcurricular zu berücksichtigen. Sie erfordert die Zusammenarbeit mit Organisationender Wirtschaft und Verwaltung, mit Unternehmen, mit den Fachbereichen der Hochschulen,den zuständigen Arbeitsämtern und Studienberatungen. Hierdurch wird in besonderer Weise ermöglicht,den Schülerinnen und Schülern die Bedeutung der zu erwerbenden Grundkompetenzen im FachMathematik nach dem Abschluss ihrer schulischen Laufbahn für ihren weiteren beruflichen oder studiumsorientiertenWerdegang sichtbar zu machen. Die Konzepte hierzu sind an den Schulen zu erarbeiten.Ein weiteres tragendes Prinzip dieses Lehrplanes ist es, die Voraussetzungen für einen Mathematikunterrichtim Gymnasium zu schaffen, der auch fachübergreifende und fächerverbindende Arbeit sowiedas Modellbilden als wichtige Ziele in den Vordergrund stellt.In inhaltlicher Abstimmung mit den Fachkonferenzen der in Frage kommenden Bezugsfächer setzt dieFachkonferenz Mathematik die Rahmenbedingungen für diese Arbeit, die unter Berücksichtigung derSituation der Lerngruppe von den Fachlehrerinnen und Fachlehrern initiiert und gesteuert wird. Diesgeschieht auch in Form von Projekten und unter Einbeziehung außerschulischer Lernorte. Der Lehrplanbietet vielfältige Möglichkeiten der Vernetzung mit anderen Unterrichtsfächern. Einige davon sindexemplarisch jeweils in den didaktisch-methodischen Überlegungen zu den einzelnen Jahrgängenoder explizit bei den Unterrichtsinhalten genannt.6

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik5678910GeometrieGeometrische Grundformenund geometrischeGrundbegriffeVolumen und Oberflächezusammengesetzter Körper,Winkel, Winkelmessung,Achsenspiegelung,Verschiebung und Drehung,Achsen-, Dreh- undPunktsymmetrieKonstruieren von Figuren,Berechnen von Figuren,Flächeninhalt, UmfangScheitelwinkel, Nebenwinkel,Wechselwinkel,Winkelsumme in Dreiecken,Vierecken und n-Ecken,Kongruente FigurenKongruenz von FigurenLinien im DreieckKreis und Geraden,ThalessatzPrismenÄhnlichkeit,Satzgruppe des Pythagoras,Kreis und KreiszylinderPyramide, Kegel, Kugel,TrigonometrieÜbersicht über Jahrgänge und SachgebieteZahlbereicheGrößenAlgebra /FunktionenDarstellungen von undRechnen mit natürlichenZahlen,Einfache GleichungenTeilbarkeit, Teiler,Vielfache, Primzahlen,Rechnen mit gewöhnlichenBrüchen undDezimalbrüchen,Einfache GleichungenSachrechnen mitWährungen, Längen,Flächeninhalten,Volumina, Zeitspannen,GewichtenOberflächeninhalt undVolumen von aus Quadernund Würfeln zusammengesetztenKörpernRechnen mit rationalenZahlen, Vergleich derZahlbereiche,Einfache GleichungenProzentrechnung,ZinsrechnungProportionale undantiproportionaleZuordnungen,einfache GleichungenQuadratwurzeln,Irrationalzahlen,reelle ZahlenWeiterführung derProzent- undZinsrechnung,Oberflächeninhalt undVolumen von PrismenUmfang und Flächeninhaltvon Kreisen,Oberflächeninhalt undVolumen von Zylindernganzrationale Terme,lineare Gleichungen undUngleichungen,lineare FunktionenQuadratwurzelnSysteme linearer Gleichungen,quadratische Gleichungen undquadratische FunktionenOberflächeninhalt undVolumen von Pyramiden,Kegeln, KugelnPotenzen undPotenzfunktionen,Exponentialfunktionen,Logarithmusfunktionen,Wachstumsmodelle,Trigonometrische FunktionenStochastikAbsolute HäufigkeitenRelative Häufigkeiten,Vergleich von Chancen,MittelwerteWahrscheinlichkeit,Ereignisse bei ein- undmehrstufigenZufallsversuchen,Additionssatz,MultiplikationssatzSimulation stochastischerVorgänge,Zufallszahlen,PseudozufallszahlenBeschreibende StatistikMehrstufigeZufallsversuche8

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikTeil BUnterrichtspraktischer TeilÜbersicht der verbindlichen ThemenLfd. Nr. Verbindliche Unterrichtsthemen Stundenansatz5.1 Zahlbereiche Natürliche Zahlen 305.2 Geometrie Grundformen und Grundbegriffe 405.3 Größen Sachrechnen 406.1 Zahlbereiche Teilbarkeit, Bruchzahlen und Dezimalbrüche 726.2 Geometrie Winkel, Symmetrie, Berechungen an ebenen36Figuren und an Körpern7.1 Größen / Funktionen Zuordnungen, Prozent- und Zinsrechnung 367.2 Zahlbereiche Rationale Zahlen 287.3 Geometrie Konstruktionen ebener Figuren, Kongruenz,28Berechnungen7.4 Stochastik Grundbegriffe 168.1 Algebra / Funktionen Lineare Gleichungen und Ungleichungen, lineare 44Funktionen8.2 Geometrie Kongruenz von Figuren, Konstruktionen,32Prismen8.3 Größen / Algebra Weiterführung der Prozent- und Zinsrechnung 128.4 Stochastik Simulationen 209.1 Algebra Lineare Gleichungssysteme 149.2 Zahlbereiche Quadratwurzeln, reelle Zahlen 209.3 Funktionen Quadratische Gleichungen, quadratische20Funktionen9.4 Geometrie 1 Ähnlichkeit 229.5 Geometrie 2 Satzgruppe des Pythagoras 129.6 Geometrie 3 Kreis und Kreiszylinder 109.7 Stochastik Beschreibende Statistik 1010.1 Funktionen 1 Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen 3010.2 Funktionen 2 Exponential- und Logarithmusfunktionen 3010.3 Geometrie Pyramide, Kegel, Kugel 1610.4 Geometrie / Funktionen Trigonometrie und trigonometrische Funktionen 2410.5 Stochastik Mehrstufige Zufallsversuche 109

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikDer Unterricht in der Sekundarstufe I1 Die verbindlichen und fakultativen Unterrichtsinhalte in den Jahrgangsstufen 5 bis 101.1 Die Jahrgangsstufe 5Da im 5. Schuljahr die Klassen neu zusammengesetzt werden, ist es eine Aufgabe des Unterrichtszunächst die unterschiedlichen Lernvoraussetzungen einander anzugleichen. In dieser Eingangsphasewerden die Schülerinnen und Schüler in einer sinnvoll gestalteten Wiederholung schrittweiseund behutsam auch in die Arbeits- und Lernformen des gymnasialen Bildungsgangs eingeführt.Durch die Bestimmung von Anzahlen werden Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler von dennatürlichen Zahlen aus der Grundschule ergänzt. Die Schülerinnen und Schüler kommen zu Einsichtenin den Zahlbegriff, lernen verschiedene Darstellungsformen der natürlichen Zahlen kennen, gehensicher mit den Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen um, haben damit einen propädeutischenZugang zur Algebra und gewinnen erste Vorerfahrungen zu Inhalten und Methoden der Stochastik.Mit Körpern und ebenen Figuren aus der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler werden zunächstwesentliche geometrische Begriffe thematisiert. Als Abstraktion dieser Objekte entstehen geometrischeKörper und Figuren, die geometrischen Grundbegriffe und elementare Eigenschaften derbetrachteten Körper und Figuren. Zeichnerisches Handeln, Konstruieren, Schätzen und Messen stehenim Mittelpunkt des Geometrieunterrichts dieser Klassenstufe.Mit dem Sachgebiet Größen werden die Schülerinnen und Schüler an den Anwendungscharakter vonMathematik herangeführt. Ein wichtiges Ziel des Unterrichts ist es dabei, z.B. Rechenoperationen odergeometrische Zusammenhänge aus sachgebundenen Kontexten herauszulösen. Der sinnvolleGebrauch von Messwerten und Maßeinheiten ist intensiv zu üben.Wo immer es möglich und angemessen erscheint, ist eine Vernetzung der drei eben angesprochenenSachgebiete herzustellen.5.1 Zahlbereiche Std.: 30Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Natürliche ZahlenBestimmung von Anzahlen und Darstellungin DiagrammenVergleichen, OrdnenZahlenstrahl, RundenStellenwertsystemeGrundrechenarten, RechengesetzeBeispiele aus dem Erfahrungsbereich der Schüler(Sport, Währung, Glücksspiele, Bevölkerungszahlen)Anwendungen auf Zufallsversuche, absolute HäufigkeitenDiagramme, Tabellen als Darstellungs- und AbzählhilfeEntwicklung von Vorstellungen zur MultiplikationKleinerrelation, Verständnis für Größenordnungen,Reaktivierung des Dezimalsystems als Stellenwertsystem,Dualsystem, PotenzschreibweiseLesen und Schreiben von Zahlen im Zahlenraum bis zueiner BillionHinweis auf die Unbegrenztheit der natürlichen ZahlenAddition / Subtraktion, Multiplikation / Division als jeweilsentgegengesetzte Operationen;Beschränkung bei der schriftlichen Division auf zweistelligeund einfache dreistellige DivisorenAnwendungen (z.B. Einkauf), Überschlagsrechnung,Verbindung der vier Grundrechenarten (Vorrangregeln,10

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikDistributivgesetz)Einfache GleichungenVariable, Lösen einfacher Gleichungen durch systematischesProbierenFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:RechengesetzeAddition und einfache Multiplikationen im DualsystemRömische ZahlzeichenZeitleiste über die Entwicklung der ErdeStreckenlängen im SonnensystemHexadezimalzahlenQuerverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):11

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik5.3 Größen Std.: 40Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:SachrechnenFortführung der Behandlung von Größen:Messen, EinheitenRechnen mit den Größen, Sachaufgaben auch in AlltagssituationenWährung und WährungseinheitenLängen und LängeneinheitenFlächeninhalt und FlächeneinheitenVolumina und VolumeneinheitenZeitpunkt, Zeitspanne und ZeiteinheitenGewicht und GewichtseinheitenFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Mathematische Erschließung komplexerAlltagssituationen, Karten lesen, MaßstabThemenvorschläge:- Planung einer Wanderung oder Klassenfahrt- Maßstab lesen- Messen und Rechnen – Historische Entwicklungvon Messtechniken und der MaßeinheitenQuerverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):13

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik1.2 Die Jahrgangsstufe 6Die natürlichen Zahlen werden zum Bereich der nichtnegativen rationalen Zahlen erweitert. Die Teilbarkeitslehrefördert Fähigkeiten, die in der Bruchrechnung benötigt werden; sie schärft den Blick fürdie Beziehungen zwischen Zahlen. Verteilungsaufgaben, die sich auf Alltagssituationen beziehen, führendurch die Betrachtung von Anteilen auf gewöhnliche Brüche. Sie haben den Vorteil, dass ihreDarstellung mit Zähler und Nenner am ehesten handlungsbezogene und auf Einsicht zielende Vorstellungenhervorruft. Mit der Betrachtung von relativen Häufigkeiten wird eine Brücke zur Stochastikgeschlagen. Gleichzeitig werden aber die Inhalte der Bruchrechnung in weiteren Kontexten erweitertund vertieft. Gerade in der Bruchrechnung spielen graphische Darstellungen und der aktive Umgangmit Material bei der Gewinnung von Einsichten eine große Rolle. Das Rechnen mit Brüchen und dieAnwendung der Rechengesetze sollte stets mit inhaltlichen Vorstellungen verknüpft sein. Dezimalbrüchespielen im Alltag, in Technik und Wissenschaft eine große Rolle. Die Verwendung der Kommaschreibweisebei Größenangaben führt auf Dezimalbrüche. Das Rechnen mit ihnen muss deshalb sicherbeherrscht werden.Ein zentrales Thema ist der Winkelbegriff. Von seinen verschiedenen Aspekten ist der des Drehmaßesgrundlegend, weil er sowohl das Messen wie das Abtragen von Winkeln mit leicht nachvollziehbarenAktivitäten verbindet. Beides soll nicht isoliert, sondern stets im Zusammenhang mit sinnvollenübergeordneten Aufgaben erfolgen.Symmetrie als übergeordneter Begriff liefert die Verbindung von Phänomenen der Umwelt zu geometrischenObjekten. Symmetriebetrachtungen führen zu Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungenvon Figuren und umgekehrt. Eine zeichnerisch handelnde Vorgehensweise steht hier im Vordergrund.Die bereits aufgebauten Grundvorstellungen von ebenen und räumlichen Objekten werden vertieft.Beim Berechnen und Zeichnen zusammengesetzter Figuren und Körpern werden im Allgemeinen Figurenbehandelt, die sich in Rechtecke und Quadrate zerlegen lassen, sowie Körper, die aus Quadernund Würfeln bestehen. Dabei kommen Umfangs-, Flächen- und Volumenberechnung zur Anwendung.6.1 Zahlbereiche Std.: 72Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:TeilbarkeitGewöhnliche BrücheGrundaufgaben der BruchrechnungBruchzahlenVergleichen und Ordnen von BrüchenTeiler einer Zahl, Teilermengen; Vielfache einer Zahl,VielfachenmengenTeilbarkeit von Summe und ProduktEndstellenregeln für Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 4, 25,100; Quersummenregel für Teilbarkeit durch 3 und 9Primzahlen und Primfaktorzerlegung (einige Beispiele)Bestimmung des ggT, kgV von Zahlen vorwiegend durchsystematisches ProbierenBruchteile (Anteile) und Brüche aus dem Erfahrungsbereichder SchülerDarstellung von Bruchteilen an Kreisen, Rechtecken,StreckenBestimmung des Endwertes (Bruchteils), des Anfangswertes(Ganzen), des Bruches (Anteils)Graphische Darstellungen zu den GrundaufgabenBeschränkung auf Brüche mit kleinem Zähler und kleinemNennerGleichheit von AnteilenVeranschaulichung am ZahlenstrahlKürzen und Erweitern von Brüchen, Hauptnenner alskgV14

Bildungsgang GymnasiumRechnen mit BruchzahlenDezimalbrüche, Rechnen mit DezimalbrüchenUnterrichtsfach MathematikAddition, Subtraktion, Multiplikation, Division von BruchzahlenAnwendungen in SachaufgabenRechengesetze (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz,Distributivgesetz) als Vorbereitung der Algebra (Vorrangregeln,einfache Gleichungen)Dezimalschreibweise von ZehnerbrüchenDie vier Grundrechenarten bei abbrechenden DezimalbrüchenGewöhnliche Brüche in endliche und periodische DezimalbrücheumwandelnRunden von Dezimalbrüchen, Schätzen, ÜberschlagsrechnenAnwendungen in SachaufgabenRelative Häufigkeiten, Gewinnchancen, Vergleich vonGewinnchancen, Mittelwerte, DiagrammeFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Euklidischer AlgorithmusUmwandlung periodischer Dezimalbrüche in gewöhnlicheBrücheDoppelbrücheQuerverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):15

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik6.2 Geometrie Std.: 36Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:WinkelBewegung von FigurenSymmetrische FigurenFlächen und FlächeninhalteKörper, Volumen und OberflächeninhaltHalbgerade, Winkel in der Umwelt erkennen (Dächer,Zäune, Wegkreuzungen, Drehen einer Kurbel, Steigungswinkel)Winkelgrößen messen und schätzen, auch in FigurenWinkel klassifizierenWinkel bei vorgegebener Größe zeichnenAchsenspiegelung, Punktspiegelung, Parallelverschiebung,Drehung von Figuren ausführenBestimmung der BildfigurenKonstruktionsvorschriften und Eigenschaften der Abbildungenwerden durch die Anschauung gewonnen bzw.erarbeitetErzeugen von Mustern durch Spiegeln, Drehen, ParallelverschiebenSymmetrie in der Erfahrungswelt der Schüler, z.B. Verkehrsschilder,Graphiken, Blütenformen, Kristalle, Ornamente,Buchstaben, Ziffern, ZahlenGanzheitliches Erkennen und spielerisches Herstellenpunktsymmetrischer, achsensymmetrischer, drehsymmetrischerFigurenZeichnen von Symmetrieachsen in FigurenFlächeninhalt und Umfang von Rechtecken, QuadratenInhalt und Umfang von Flächen, die aus Rechtecken undQuadraten zusammengesetzt sindZerlegung von Figuren in Rechtecke und QuadrateFlächeninhalt, z.B. von Kacheln, Wänden, Grundstücken,Fenster, TürenVerbindung zum Rechnen mit BruchzahlenVolumen und Oberflächeninhalt von Quader und WürfelModelle von Körpern, die aus Quadern und Würfeln zusammengesetztsind (Verpackungen, Möbel, Räume,Gebäude)Volumen und Oberflächeninhalt von Körpern, die ausQuadern und Würfeln zusammengesetzt sindQuerverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):16

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik1.3 Die Jahrgangsstufe 7Die Sachgebiete proportionale und antiproportionale Zuordnungen erlauben neben einer reinen Beschreibungund Strukturierung von Sachzusammenhängen aus lebensnahen Anwendungssituationenauch eine elementare Hinführung zum Funktionsbegriff. Die funktionalen Zusammenhänge werdendurch Angabe von Tabellen oder Graphen beschrieben. Der Einsatz des Taschenrechners kann hierbeidie Berücksichtigung realistischer Daten erlauben. Der wichtige Zusammenhang zwischen denSachgebieten proportionale, antiproportionale Zuordnungen und Prozentrechnung ist zu verdeutlichen,auch wenn die Prozentrechnung zunächst davon unabhängig – oder vor den Zuordnungen –eingeführt wird. Die große Bedeutung dieser beiden Sachgebiete für die mathematische Grundbildungerfordert eine besonders sichere Beherrschung dieser mathematischen Grundfertigkeiten. Bei derEinführung der Prozentrechnung ist die Anteilsvorstellung zu verwenden.Da beim Einsatz von Taschenrechnern oder PC das schriftliche Rechnen in vielen Situationen etwasan Bedeutung verloren hat, sollte das Überschlagsrechnen in besonderer Weise geübt werden, umein besseres Verständnis für die untersuchten Veränderungen und eine geeignete Kontrolle der vonTaschenrechner oder PC angezeigten Ergebnisse zu ermöglichen.Die Erweiterung zu den rationalen Zahlen ist zunächst an Beispielen aus Anwendungssituationen denSchülerinnen und Schülern einsichtig zu machen, die innermathematischen Fragestellungen solltenjedoch auch beachtet werden.Das Argumentieren anhand anschaulicher Objekte ist bei der Planung von Konstruktionen ebener Figurenbesonders zu üben. Die Einsicht in die Beweisnotwendigkeit ist dabei zu wecken und zu fördern.Neben dem sorgfältigen Konstruieren sollte auch die vollständige Beschreibung der Konstruktionen– die auch mit dem Geodreieck ausgeführt werden können – geübt werden. Die Zusammenhängezwischen Figuren, Körpern und deren algebraischer Beschreibung sind aufzuzeigen.Das Verständnis für stochastische Probleme kann nur in einem langfristigen Prozess erreicht werden.Die im 5. und 6. Schuljahr benutzen Begriffe absolute und relative Häufigkeit können nun zur Erklärungdes Wahrscheinlichkeitsbegriffes verwendet werden. Das Heranführen an die Denkweise derStochastik kann nur durch aktives Handeln im Rahmen von Zufallsexperimenten, Auswertung aktuellenDatenmaterials und Simulationen gelingen. Dabei sind zwei Aspekte zu betrachten: die Chancebei einem Zufallsversuch und die relative Häufigkeit bei der Analyse von Daten. Baumdiagramme erlaubendie Beschreibung der Zufallsversuche und das Berechnen der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten,dabei ist auch das Verständnis für Wahrscheinlichkeitsaussagen zu fördern. Das Berechnenvon Wahrscheinlichkeiten sollte teilweise auch ohne Verwendung eines Taschenrechners erfolgen,denn eine Wiederholung und Festigung der Bruchrechnung kann besonders gut in diesem thematischenKernbereich erfolgen.Taschenrechner und PC sind im Mathematikunterricht ab Klasse 7 verbindlich einzusetzen. Siedienen einerseits als Hilfsmittel zur Lösung von rechenintensiven Aufgaben und schaffen dadurch Zeitfür mathematisches Handeln. Andererseits sollen auch die Möglichkeiten genutzt werden, mit diesenMedien das Entdecken neuer Zusammenhänge – auch im Sinne einer dynamischen Geometrie – zuerleichtern, das mathematische Experimentieren zu ermöglichen und die Veranschaulichung dererhaltenen Ergebnisse zu verbessern.17

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik7.1 Größen / Funktionen Std.: 36Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Proportionale und antiproportionale ZuordnungenZuordnungenProportionale ZuordnungenAntiproportionale ZuordnungenAufgaben aus komplexen SachzusammenhängenProzentrechnungProzentbegriffGrundaufgaben zur ProzentrechnungZinsrechnungZuordnungstabellenGraphische Darstellung im KoordinatensystemZuordnungen analysieren: z:B: ‚Je mehr – desto mehr’,‚Je mehr – desto weniger’Summen- und Vielfachenregel, Quotientengleichheit,ProportionalitätsfaktorDreisatzGraphische Darstellung durch UrsprungsgeradenVielfachenregel, Produktgleichheit, ZuordnungsvorschriftDreisatzGraphische Darstellung, Vergleich mit Graphen andererZuordnungenu.a. Bewegungsaufgaben, GeschwindigkeitVergleich des AnteilsUmwandlung zwischen den verschiedenen Darstellungen:Bruch-, Dezimal- und ProzentschreibweiseÜberschlagsrechnen (auch Rechnen mit speziellen Prozentsätzen(z.B.: 5 %, 10 %, 12,5 %, 20 %, 25 %,33 31 %)Berechnung des Prozentwertes, Prozentsatzes undGrundwertesKreisdiagramm, Stab- / Säulendiagramm, Streifen- /BlockdiagrammAufgaben aus komplexen Sachzusammenhängen, hierbeisind auch jeweils aktuelle Probleme zu berücksichtigen(Materialbesorgung durch die Schülerinnen undSchüler aus Presse oder Internet)Bezug zur Prozentrechnung, JahreszinsenKapital, Zinsen, ZinssatzAufgaben zum erhöhten und vermindertenGrundwertEinsatz von TaschenrechnernPC-EinsatzGrundaufgaben zur Prozentrechnung, Problematisierender ‚%-Taste’, RundenZinsen von Zinsen, Kapitalverdopplungkritische Beurteilung der Ergebnisse, Problematisierungder ‚Genauigkeit’Lösung von Aufgaben zur Prozentrechnung mittels Tabellenkalkulationsprogrammen,graphische Darstellungen(Kreis-, Balkendiagramme)18

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Aufgaben aus komplexen SachzusammenhängenDoppelter DreisatzQuerverweise:Wärme: Phy 7.2Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung19

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik7.2 Zahlbereiche Std.: 28Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Rationale ZahlenVergleichen und OrdnenRechnen mit rationalen ZahlenEinfache GleichungenKoordinatensystemHinführung zu den negativen Zahlen anhand anschaulicherModelleZahl und Gegenzahl, Betrag einer ZahlZahlenstrahlAddition, Subtraktion, Multiplikation und DivisionKommutativ-, Assoziativ- und DistributivgesetzeKlammerregeln / Vorrangregeln (Propädeutik der inKlasse 8 zu behandelnden Termumformungen)Lösen einfacher Gleichungen in N, Z und Q (keine Äquivalenzumformungen)Verwendung rationaler Zahlen (Darstellung und Bewegungvon Figuren)Fakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:KoordinatensystemQuerverweise:Verschiebungspfeile, Verschiebungen von Figuren imKoordinatensystem (zeichnerische und rechnerischeAusführung), auch im 2., 3. und 4. QuadrantenHintereinanderausführung von VerschiebungenBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):20

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik7.3 Geometrie Std.: 28Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Winkel an GeradenkreuzungenWinkelsummensätzeGleichschenkliges DreieckKonstruktion von Dreiecken und ViereckenPC-EinsatzScheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, WechselwinkelDreieck, Viereck, n-EckBasiswinkelsatzMittelsenkrechte, WinkelhalbierendeDreieck, Parallelogramm, TrapezHöhenKonstruktionen (Arbeiten auch mit Geodreieck)Konstruktion von Figuren mittels GeometrieprogrammenKongruente FigurenFlächeninhaltsberechnungen, UmfangsberechnungenKongruente Figuren als Figuren mit den gleichen Maßenund gleicher Gestalt / deckungsgleiche FigurenKongruenzsätze für Dreiecke (Begründung und Anwendungbeim Konstruieren)VermessungsaufgabenParallelogramm, Dreieck, TrapezFlächeninhalt und Umfang von Vielecken in Anwendungssituationen(Zerlegungen, Ergänzungen)Flächenberechnungen unter Berücksichtigung vonMessgenauigkeitenFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Grundkonstruktionen mit Zirkel und LinealZweikreisfigur / gleichschenkliges DreieckQuerverweise:Licht und Schatten: Ku 7.1, Phy 7.1Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung21

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik7.4 Stochastik Std.: 16Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Grundbegriffe der WahrscheinlichkeitsrechnungEreignisse bei einstufigen ZufallsversuchenEreignisse bei mehrstufigen ZufallsversuchenZufallsversuch, Ausfall (Ergebnis), relative Häufigkeit,Wahrscheinlichkeit, EreignisWahrscheinlichkeit eines Ereignisses, Additionssatz,Laplace-FormelWahrscheinlichkeitsbaum, MultiplikationsregelQuerverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):22

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik1.4 Die Jahrgangsstufe 8Die Schülerinnen und Schüler lernen Äquivalenzumformungen, linearer Gleichungen und Ungleichungenkennen, die deren systematisches Lösen erlauben. Die Untersuchung wertgleicher Terme sollteauch mit dem Aufstellen von Termen verbunden werden. Die eher schematische Benutzung der dabeiverwendeten Operationen – im Sinne eines Algorithmus – ist hierbei zu überwinden. Denn nur dasVerständnis für die behandelten Verfahren führt langfristig auch zu einer Sicherheit in der Anwendungder Verfahren. Computer-Algebra-Systeme (CAS) können dabei helfen, diese Unterrichtseinheit interessanterund lebendiger zu gestalten.Die Behandlung funktionaler Zusammenhänge am Beispiel von linearen Funktionen dient der Festigungdes Funktionsbegriffes. Dabei ist nicht nur der Zuordnungsaspekt, sondern auch die Vorstellungvon der Veränderung einer Größe (lineare, proportionale, antiproportionale Veränderung) zu berücksichtigen.Mit Hilfe von Termen und Funktionsgleichungen werden vor allem lineare Abhängigkeitenaus dem Erfahrensbereich der Schülerinnen und Schüler beschrieben. Die Schülerinnen und Schülerlernen reale Situationen in die Sprache der Mathematik zu übertragen und zu lösen und das Ergebniszu interpretieren.Bei der Behandlung des Sachgebietes Kongruenz von Figuren kann besonders das selbständigeProblemlösen geschult werden. Interaktive Geometrieprogramme unterstützen hier die Experimentiermöglichkeitender Schülerinnen und Schüler. Bei der Betrachtung der Figuren sind die Symmetrieeigenschaftenals Ordnungsprinzip zu verwenden. Auch das Beweisen von Sätzen kann an vielenBeispielen geübt werden; die Schülerinnen und Schüler sollen lernen, selbständig Beweisideen zu finden.Die Begriffe Behauptung, Voraussetzung und Beweis eines Satzes sind dabei zu verwenden.Viele Beispiele bieten sich an, um den Begriff Umkehrsatz zu erläutern.Komplexe Fragestellungen sind bei der Weiterführung der Prozentrechnung und Zinsrechnung mitHilfe von linearen Gleichungen zu bearbeiten. Die erneute Behandlung der Prozentrechnung führt zueiner vertiefenden Betrachtung und Weiterentwicklung der verwendeten Begriffe und erlaubt eine Verbindungzu den Inhalten anderer Sachgebiete.Die Behandlung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist hier unter dem Gesichtspunkt der Modellbildungenund der Simulation unter PC-Einsatz durchzuführen. Sie helfen insbesondere dynamische undstochastische Sachzusammenhänge zu verstehen und zu beschreiben. Beispiele aus anderen Fächernkönnen dabei besonders gut durchgeführt werden.Die in den Jahrgangsstufen 5 bis 7 entwickelten Vorstellungen von Körpern werden bei der Behandlungdes Prismas weiterentwickelt. Beim Zeichnen von Schrägbildern wird man sich in der Regel auf‚Freihandskizzen’ beschränken können.23

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik8.1 Algebra / Funktionen Std.: 44Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Lineare Gleichungen und UngleichungenGanzrationale TermeBinomische FormelnLineare Gleichungen / UngleichungenLineare FunktionenProportionale Funktionen / Lineare FunktionenAntiproportionale und andere FunktionenAufstellen von Termen, Analyse von Termen, Wertgleichheitvon TermenUmformungsregelnFaktorisieren, quadratische ErgänzungLösen linearer Gleichungen und UngleichungenLösungsmenge (auch leere Menge)Lösungsmengen von Ungleichungen auf der ZahlengeradenveranschaulichenUmstellen einer FormelDarstellung durch Graph und Tabelle, Funktionsgleichung,Nullstelle, SteigungsdreieckVerschiebung, AchsenabschnittGerade als Graph, PunktprobeFunktionsgleichungen zu Graphen angebenProportionales und lineares WachstumFunktionsgleichungen und Graph bei antiproportionalenFunktionenBeispiele für andere nichtlineare FunktionenFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:PC-EinsatzBinomische Formeln für n > 2BruchgleichungenGeraden und PunkteVerhältnis zweier GrößenCodierung von ZahlenQuerverweise:CAS bei TermumformungenPascalsches Dreieck, Binomischer SatzKürzen und Erweitern von BruchtermenGerade durch zwei Punkte, SteigungSchnittpunkte zweier Geraden berechnenEinfache VerhältnisgleichungenBedeutung der Strichcodes, Codierungsmethoden, Prüfziffer,ISBN-CodierungBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Grundlagen der Neuzeit: G 8.3, Eth8.4, Rka 8.4, Rev 8.1-2, D, L, Phy8.224

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik8.2 Geometrie Std.: 32Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:DreieckeBeweisen am Beispiel von Dreiecken undViereckenOrdnen der ViereckeKreis und GeradenEinsatz interaktiver GeometrieprogrammePrismenMittelsenkrechte (Umkreis), Winkelhalbierende (Inkreis),HöhenschnittpunktAnwendungenDefinition, Satz, Kehrsatz, Wenn-dann-Beziehung, Verwendunggeometrischer EigenschaftenVerschiedene Ordnungsgesichtspunkte betrachten(Symmetrieeigenschaften)Sehne, Sekante, TangenteThalessatzGeometrieprogramme zur Darstellung von geometrischenFiguren und zum ’spielerischen Experimentieren’,um neue Erkenntnisse zu gewinnen.Körpermodell, Netz, Schrägbild (Handskizze)Oberflächeninhalt, VolumenWiederholung: Flächeninhalt ebener FigurenFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Punktspiegelung, AchsenspiegelungUmkreis, InkreisQuerverweise:Achsensymmetrie und Punktsymmetrie in Natur, Technikund KunstVerwendung der Eigenschaften der Abbildungen zumBeweisenSehnenviereckUmfangswinkelsatz – Zusammenhang mit ThalessatzTangentenviereckBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung25

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik8.3 Größen / Algebra Std.: 12Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Prozentuale ÄnderungenZinsrechnung unter Berücksichtigung derZeitZinseszinsenTaschenrechner oder PCVermehrter und verminderter Grundwert„Änderung um“, „Änderung auf“, Prozentsätze über100%Verknüpfungen von ProzentsätzenMonats- und Tageszinsen bei jährlicher VerzinsungZinsformelWachstum eines Kapitals mit Zinseszins schrittweise berechnenKomplexere Berechnungen (z.B.: Kapitalverdopplung)mittels TR oder PCFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:ZinseszinsenQuerverweise:Geld und Tausch: Sk 8.2, G 8.1+3Verstehen und Anwenden der Formel:pK n= K o(1 + )n100Zinsen von Zinsen, PromilleBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung26

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik8.4 Stochastik Std.: 20Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Simulationen von stochastischen VorgängenPC-EinsatzZufallszahlen, Pseudozufallszahlen, Simulation von einfachenZufallsversuchenTabellenkalkulationen ermöglichen die Bearbeitung vongrößeren Datenmengen.ZufallszahlengenerierungStrecken- , Balken-, Kreisdiagramme erstellenFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:SimulationenQuerverweise:Computersimulation komplexer VorgängeBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung27

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik1.5 Die Jahrgangsstufe 9Der sichere Umgang mit Systemen von linearen Gleichungen ist eine wichtige Voraussetzung für dieBearbeitung inner- und außermathematischer Problemstellungen. Die Zusammenhänge werden hieram Beispiel von Systemen mit zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen in Realitätsbezügeneingeführt, geübt und vertieft. Dabei sind die Kenntnis der Beziehung zwischen den verschiedenenalgebraischen und geometrischen Lösungsverfahren (und Lösungsfällen) sowie das verständige undsichere Umgehen damit von besonderer Bedeutung. Hier müssen im Hinblick auf das Abschlussprofilvor allem Kenntnisse über lineare Gleichungen, aber auch über Prozentrechnung und lineare Funktionensowie Proportionen wieder aufgegriffen werden und mit den neuen Inhalten vernetzt werden.Zahlbereiche werden im Verlauf der gesamten Schulzeit systematisch aufgebaut bzw. erweitert. ImJahrgang 9 erfolgt die Erweiterung der rationalen Zahlen in dem Sinne, dass die Schüler gewisseQuadratwurzeln als nicht rationale Zahlen kennen lernen, mit dem Rechnen mit Quadratwurzeln vertrautund im Umgang damit sicher werden. Die Menge der reellen Zahlen wird lediglich als neue Obermengefür nicht rationale Zahlen eingeführt. Ein tiefergehendes Verständnis (z. B. im Zusammenhangmit der Behandlung von Intervallschachtelungen) für die Begriffsbildung im Hinblick auf die Analysis(Vollständigkeit) kann nur vorbereitet werden.Viele Sachprobleme führen auf quadratische Gleichungen, deren Lösungsverfahren die Schülerinnenund Schüler beherrschen müssen. Im Sinne des spiraligen Aufbau des Funktionsbegriffs lernen siejetzt quadratische Funktionen als wichtige Klasse nicht-linearer Funktionen kennen. Sie müssen dieFähigkeit ausbilden, quadratische Beziehungen zwischen Größen zu erkennen und zu mathematisieren.Sie sollen die algebraischen Eigenschaften des Funktionsterms und die geometrischen des Graphenzueinander in Beziehung setzen sowie geometrische Operationen im algebraischen Kontext erarbeiten.In Analogie zur Umkehrung des Quadrierens wird die Möglichkeit zur Umkehrung der Quadratfunktionuntersucht. Dabei sollen weniger der eher technische Aspekt der Umformung des Funktionstermsals der des Variablentauschs (Wertetabelle und Graph) als Idee der Umkehrung der Operationensowie die reflektierte Nutzung des Taschenrechners im Vordergrund stehen.Anknüpfend an die Vorkenntnisse der Lernenden wird der Ähnlichkeitsbegriff präzisiert. Anhand derStrahlensätze wird erfahren, wie geometrische Zusammenhänge durch Einbeziehung algebraischerMethoden für die praktische Nutzung verfügbar werden. Der Ähnlichkeitsbegriff und die Strahlensätzemüssen als Hilfsmittel beim Berechnen geometrischer Größen, beim Konstruieren oder beim Beweisensicher angewendet werden. Der Umgang mit Ähnlichkeit ist zentrales Prinzip bei der Bearbeitunggeometrischer Sachverhalte, und die hier hergestellte Beziehung zwischen Algebra und Geometrie(Verhältnis – Proportion – Ähnlichkeit) schafft die Vernetzung unterschiedlicher Sachgebiete. Hiersollen bekannte Zusammenhänge und Techniken aufgegriffen und vertieft werden (Verhältnisrechnung,einfache Bruchgleichungen sowie Entdecken, Formulieren und Beweisen mathematischerSätze).Der Gesichtspunkt, dass geometrische Zusammenhänge rechnerisch erfasst werden, wird durch dieBehandlung des Satzes von Pythagoras weiter ausgebaut. Dieser Satz ist so wichtig, dass die Schülerinnenund Schüler seine Aussagen kennen, sie inner- und außermathematisch anwenden und seinekulturhistorische Bedeutung beschreiben können müssen.Die Schülerinnen und Schüler berechnen den Inhalt kreisförmig begrenzter Flächen. Bei der näherungsweisenBestimmung der Kreiszahl π lernen sie einfache infinitesimale Methoden kennen. Durchdie Behandlung des Kreiszylinders wird die in Klasse 5 begonnene systematische Berechnung vonVolumen und Oberflächeninhalt von Körpern fortgesetzt.Die beschreibende Statistik ist ein zentrales Gebiet der Stochastik. Hier müssen die Schülerinnen undSchüler nominale, ordinale und metrische Skalen unterscheiden sowie wichtige Lage- und Streumaßezur mathematischen Beschreibung und zum Vergleich von Häufigkeitsverteilungen verwenden lernen.Der Unterschied zwischen den Begriffen relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit soll an geeignetenBeispielen verdeutlicht werden. Dabei sind die in den Klassen 7 und 8 erworbenen Kenntnisse zu festigen.Unter dem Aspekt des Realitätsbezuges von Mathematik muss hier das Durchführen eigenerErhebungen vor allem auch in Verbindung zu anderen Fächern im Vordergrund stehen.28

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik9.1 Algebra Std.: 14Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Lineare GleichungssystemeSysteme von zwei linearen Gleichungen inzwei VariablenAnwendungenGeometrische Lösung, Einsetzungs-, Gleichsetzungs-,Additionsverfahren, sämtliche LösungsfälleRealitätsbezogene Beispiele zu Sach- und Textaufgabenund fachübergreifende und fächerverbindende ProblemstellungenFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Systeme mit drei und mehr VariablenLineare UngleichungssystemeGAUSS-AlgorithmusGeometrische VeranschaulichungLineare OptimierungArbeitsmethoden der Schülerinnen und Schüler/Hinweise und Erläuterungen:Durch die Bearbeitung komplexer und offen angelegter Problemstellungen (z. B. Tarifvergleiche) sollendie Schülerinnen und Schüler lernen, gegebene Sachzusammenhänge mit Hilfe der erarbeiteten mathematischenMittel systematisch zu analysieren, Erkenntnisse zu ordnen und zu bewerten.Querverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):29

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik9.2 Zahlbereiche Std.: 20Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Quadratwurzeln, reelle ZahlenBegriff der Quadratwurzel einer Zahl a ≥ 0Näherungswerte für QuadratwurzelnIrrationale Quadratwurzeln und reelle ZahlenRechnen mit Quadratwurzelna als die nichtnegative Zahl, deren Quadrat die Zahl aistLösungen der Gleichung x 2 = aQuadrieren und Wurzelziehen als UmkehroperationenzueinanderIrrationalitätsbeweis (z.B. über Endziffern), Begründenund einfache BeweisverfahrenUmgang mit Näherungswerten (Rechnerzahlen)Sinnvoller Gebrauch des TaschenrechnersWiederaufgreifen von Wissen über ZahlbereicheDarstellung von Zahlen auf der Zahlengeraden: Konstruktionvon Quadratwurzeln auf der Zahlengeraden,Vergleich der Zahlbereiche, RechengesetzeRechenregeln für Quadratwurzeln; Begründung und Anwendung,TermumformungenFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Verfahren zur WurzelbestimmungRechnen mit QuadratwurzelnIrrationalität in der griechischen MathematikHERON-Verfahren und Intervallhalbierung (auch durchNutzung von Tabellenkalkulation oder einer Programmiersprache)Einfache Gleichungen mit WurzelnErarbeiten kulturhistorischer ZusammenhängeQuerverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung30

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik9.3 Funktionen Std.: 20Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Quadratische Gleichungen und quadratischeFunktionenQuadratische GleichungenSpezielle Gleichungen, deren Lösung auf dieLösung quadratischer und anderer bekannterGleichungen zurückgeführt werden kannQuadratische FunktionenGraphische und rechnerische Lösungsverfahren, quadratischeErgänzung, LösungsformelSachprobleme, die auf quadratische Gleichungen führenFaktorisieren durch Ausklammern von x bzw. x nZurückführung auf den Fall T 1 ⋅T 2 = 0, LinearfaktorenBiquadratische Gleichungen (Idee der Substitution)Einfache Bruchgleichungen und WurzelgleichungenZugang über Realitätsbezüge (z.B. Extremalprobleme,die auf quadratische Funktionen führen)Eigenschaften der Funktion und des Graphen: Normalparabel,Scheitelpunkt, Nullstellen, Verschiebung desGraphen in Richtung der Koordinatenachsen, Streckenund Stauchen in Richtung der y-Achse, Spiegeln an denKoordinatenachseVisualisierung der geometrischen Abbildungen mittelsPCQuadratwurzelfunktionProblematisieren und Vertiefen des Begriffs „Umkehrfunktion“am Beispiel der Quadrat- bzw. WurzelfunktionFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Komplexe Terme und Gleichungen (auchmittels PC oder GTR)Vertiefung algebraischer Techniken (möglichst im Zusammenhangrealitätsbezogener Anwendungen) durchkonsequentes Wiederaufgreifen, Vertiefen und Vernetzenbekannter Inhalte und TechnikenBruch- und Wurzelterme bzw. –gleichungen: Aufbau undUmformung komplexer Terme und Lösung entsprechenderGleichungenScheitelpunktsform der ParabelSatz von VIETAQuerverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung31

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik9.4 Geometrie Std.: 22Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:ÄhnlichkeitÄhnlichkeit bei ebenen FigurenStrahlensätzeBerechnen, Konstruieren und Beweisenmittels ÄhnlichkeitMaßstabsgetreues Vergrößern und Verkleinern einer Figur;Ähnlichkeit, Eigenschaften ähnlicher Figuren: Längenverhältnisse, WinkelkonstanzFlächeninhalt bei zueinander ähnlichen VieleckenStrahlensatzfigur, Formulierung und Begründung derSätze, Problem der UmkehrungBerechnung von Streckenlängen, Streckenteilung; InkommensurabilitätUntersuchung realitätsbezogener Problemstellungen imZusammenhang mit Ähnlichkeit: z. B. Kartographie,Baupläne, Papierformate (DIN)Schwerpunktsatz im DreieckFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Zentrische StreckungÄhnlichkeitssätze beim DreieckKultur- und kunsthistorische Bedeutung bestimmterTeilverhältnisseÄhnlichkeit bei räumlichen FigurenBegriff der zentrischen Streckung (Zentrum und Streckfaktor),Eigenschaften, (vorläufige) Klassifizierung geometrischerAbbildungenVerbindung zu den StrahlensätzenAnwendung: z.B. zur Herleitung des Katheten- und Höhensatzesoder SehnensatzesBestimmte Teilverhältnisse, innere und äußere Teilung,harmonische Teilung, goldener SchnittVolumenQuerverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):32

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik9.5 Geometrie Std.: 12Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Satz des Pythagoras und dessen UmkehrungBerechnen von Streckenlängen in ebenenund räumlichen FigurenErarbeiten der mathematischen Zusammenhänge mitBezügen zur Geschichte der Mathematik und zu praktischenProblemenKenntnis des Kathetensatzes und des HöhensatzesAnwenden, Vertiefen und Vernetzen bekannter geometrischerund algebraischer Kenntnisse und Fähigkeitenzur Bearbeitung realitätsbezogener Problemstellungen,Vergleich unterschiedlicher Lösungswege (algebraischund geometrisch)Erarbeitung, Anwendung und Umstellung von Formelnim Zusammenhang mit der Satzgruppe des Pythagoras(gleichseitiges Dreieck, Raum- und Flächendiagonalenim Würfel und Quader)Fakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Satz des Pythagoras – Erweiterungen undVertiefungenHistorische ZusammenhängeHöhen- und Kathetensatz, Quadraturprobleme (geometrischeund algebraische Lösung)Unterrichtsprojekte zur Vermessung und KartographiePythagoreer und griechische Mathematik; pythagoreischeZahlentripelArbeitsmethoden der Schülerinnen und Schüler/Hinweise und Erläuterungen:Im Rahmen der Behandlung der Satzgruppe des Pythagoras sollen die Schülerinnen und Schüler mitüberschaubaren Informationsrecherchen oder „Forschungsaufträgen“ (z.B. zu möglichen Beweisen fürden Satz des Pythagoras oder zu dessen Anwendung) beauftragt werden. Dazu sollen sie auch unterNutzung neuer Medien lernen, wie zugängliches mathematisches Wissen gewonnen, aufgearbeitet undder Lerngruppe präsentiert werden kann.Querverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung33

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik9.6 Geometrie Std.: 10Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:KreisUmfang und Flächeninhalt des KreisesKreiszahl π in der GeschichteKreiszylinderProportionalität von Umfang von Radius bzw. vom Flächeninhaltund dem Quadrat des RadiusVerfahren zur näherungsweisen Bestimmung von π (Einsatzvon TR, GTR, PC), Umgang mit Näherungswerten,Herstellen kultur- und wissenschaftshistorischer Bezügeim Zusammenhang mit der Entwicklung von Verständnisfür infinitesimale ZugängeHinweis zum BogenmaßNetz und Schrägbild (Handskizzen)Volumen und OberflächeninhaltFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:KreiszahlalgorithmenKreisteileWinkelmaßeQuerverweise:Flächeninhalt von n-EckenKreisbogen und SektorGrad- und Bogenmaß des WinkelsBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung34

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik9.7 Stochastik Std.: 10Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Beschreibende StatistikGraphische Darstellungen statistischer DatenLagemaßeStreumaßeArbeitsweisen der StatistikGesamtheit, Stichprobe, HäufigkeitsdiagrammeSkalen: Nominalskala, Ordinalskala, metrische SkalaModalwert (häufigster Wert), Zentralwert (Median),arithmetisches Mittel, PC-EinsatzSpannweite, Standardabweichung, PC-EinsatzStatistische Daten erheben, Erstellen von Häufigkeitsverteilungenund deren graphische Darstellung, Auswertunganhand der erarbeiteten Diagramme sowie mithilfevon Lage- und Streuparametern (auch durch Nutzungvon Rechnern); Beurteilung statistischer Angabenim realen Kontext (Aussagekraft von Statistiken und derenBewertung)Fakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Vertiefungen und Erschließung komplexerAlltagssituationenZ.B. Untersuchen von Verkehrsgeschehen und Erstelleneiner Verkehrsplanung; Analyse des Konsumverhaltens;naturwissenschaftliche Beobachtungen im Zusammenhangmit Wetter, Tierpopulationen oder NahrungsmittelanalysenQuerverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung35

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik1.6 Die Jahrgangsstufe 10Der Ausbau des Potenzbegriffes erfolgt durch Erweiterung auf nicht-natürliche Exponenten. Hier müssendie Schülerinnen und Schüler Sicherheit beim Rechnen mit Potenzen gewinnen. Das Radizierenwird als Umkehroperation zum Potenzieren erarbeitet. Zur Erweiterung der Kenntnisse über Funktionenlernen die Schülerinnen und Schüler als weitere Funktionenklasse die Potenz- und Wurzelfunktionenkennen. Die Frage nach der Umkehrbarkeit einer Funktion wird hier eingehend untersucht. Moderneelektronische Werkzeuge (graphikfähiger Taschenrechner oder mathematische PC-Software)können hier gut zur besseren Veranschaulichung mathematischer Zusammenhängen eingesetzt werden.Zur weiteren Vertiefung des Potenzbegriffes, aber vor allem auch im Hinblick auf deren enorme innerundaußermathematische Bedeutung, werden Exponential- und Logarithmusfunktionen behandelt unddas Rechnen mit Logarithmen integriert. Wegen der hohen Bedeutung in anderen Sachgebieten undFächern müssen logarithmische Skalen besprochen werden.Körperdarstellungen und -berechnungen sind unerlässlich für die Schulung räumlichen Vorstellungsvermögensund unverzichtbarer Bestandteil einer auf die Anwendung im Alltag ausgerichteten mathematischenBildung. Hinzu kommt die mathematikgeschichtliche Bedeutung der Untersuchung undBerechnung raumgeometrischer Größen. Die Behandlung der entsprechenden Inhalte durchzieht diegesamte Mittelstufe und wird in der Oberstufe mittels Methoden der Analysis und der linearen Algebrafortgeführt. Am Ende der Mittelstufe werden die Spitzkörper und die Kugel mit den Mitteln derGeometrie untersucht.Die mathematischen Begriffe Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels sowie der Sinus- und Kosinussatzsind in der ebenen und räumlichen Geometrie sowie in vielen Realitätsbezügen (z.B. Technik,Physik, Vermessung) unentbehrlich. Trigonometrische Funktionen sind Beispiele für periodischeFunktionen. Nicht exakt bestimmbaren Funktionswerte werden zunächst näherungsweise mittels Einheitskreisermittelt. Die Bedeutung der allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion im Bogenmaß wird beiwichtigen Anwendungen (periodische Vorgänge in Natur, Technik etc.) deutlich. Die Werte der trigonometrischerFunktionen werden dann in der Regel mit dem Taschenrechner (näherungsweise) bestimmt.Für spezielle Winkel (0 o , 30 o , 45 o , 60 o , 90 o ,...) müssen die Werte von sinα und cosα aufgrundvon Betrachtungen im gleichseitigen und gleichschenklig rechtwinkligem Dreieck bekannt sein. Dieweitergehende Untersuchung der jeweiligen Umkehrfunktionen soll nicht Unterrichtsgegenstand sein,jedoch muss die Grundidee der Umkehrung im Hinblick auf die Nutzung elektronischer Hilfsmittel behandeltwerden.Die Stochastik in der S I wird damit abgeschlossen, dass die Schülerinnen und Schüler lernen, die bereitsab dem Jahrgang 7 behandelten mehrstufigen Zufallsversuche im realitätsbezogenen Kontextdurch Systematisierung der Zählverfahren zu mathematisieren. Hier kommt methodischen Aspektenauch im Hinblick auf die Vorbereitung auf die S II besondere Bedeutung zu. Zentral ist hier die Fähigkeitzur Abbildung einer vorliegenden Situation auf ein bekanntes Modell. Dies geschieht durch Veranschaulichungvon Zählvorgängen mittels Baumdiagramm, durch systematisches Probieren mit reduziertenAnzahlen und induktives Erschließen des Ergebnisses.36

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik10.1 Funktionen Std.: 30Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Potenzfunktionen, WurzelfunktionenPotenzen mit natürlichen ExponentenPotenzen mit ganzzahligen Exponentenn-te Wurzel, Potenzen mit rationalen ExponentenEinfache PotenzgleichungenPotenz- und WurzelfunktionenUmkehrung von PotenzfunktionenPotenzgesetze, Exponentendarstellung von Zahlen, VorsilbenHekto, Kilo, Mega, GigaPotenzgesetze; Beschränkung auf von Null verschiedeneZahlen als Basis; Exponentenschreibweise, VorsilbenDezi, Zenti, Milli, Mikro, NanoRadizieren als Umkehren des Potenzierens für nichtnegativeRadikandenn-te Wurzeln als PotenzErweiterung des Potenzbegriffs auf gebrochen rationaleExponenten, Potenz- und WurzelgesetzeGleichungen, die auf die Form x n = a zurückgeführt werdenkönnenTypische Repräsentanten: x → x k , k = 2, 3, 4, -1, -2,Symmetrieeigenschaften der Graphen; Kurvenverläufefür verschiedene ExponentenVerschieben, Strecken und Stauchen des Graphen inRichtung der y- Achse, Nutzung von GTR oder PCProblematisieren des Begriffs Umkehrfunktion am Beispielder Quadrat- und WurzelfunktionGrundidee der Umkehrung einer Funktion: Tausch vonunabhängiger und abhängiger Variablen; Kriterien für dieUmkehrbarkeit; Wertetabelle, Graph und Funktionstermeiner Funktion und ihrer UmkehrungWurzelfunktionen als Umkehrfunktionen eingeschränkterPotenzfunktionen,typische Repräsentanten: n = 21 , 31sinnvoller Gebrauch des TaschenrechnersFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Numerische AlgorithmenTerme und Gleichungen von WurzelnQuerverweise:Iterative Verfahren zur Wurzelbestimmung (Intervallhalbierung),Einsatz von PC oder TRVerständiger Umgang mit Bruchtermen, Rationalmachendes Nenners, einfache WurzelgleichungenBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung37

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik10.2 Funktionen Std.: 30Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Exponentialfunktionen, LogarithmusfunktionenExponentialfunktionen: x → b xLogarithmenLogarithmusfunktionen x → log b xModellierung von Wachstums- und ProzessmodellenLinearisierung von ExponentialfunktionenAufgrund des starken Anwendungsbezuges dieserUnterrichtseinheit ist die Verwendung eines PC oderGTR erforderlichZugang über realitätsbezogene Beispiele: WachstumsundZerfallsprozesse, VerzinsungVerdopplung- und Halbierungszeiten als ParameterGraphen für b = 2, 3, 21 , 31 und Eigenschaften, Vergleichmit linearen, quadratischen und kubischen FunktionenLogarithmieren neben dem Radizieren als zweite Möglichkeitder Umkehrung des Potenzierens, Logarithmengesetzelog b a = log 10 a / log 10 b, verständiger Gebrauch des TaschenrechnersWiederaufgreifen des Begriffs der Umkehrfunktion, Umkehrungder Exponentialfunktion, Eigenschaften der Logarithmusfunktionund ihrer GraphenModellierung von Prozessen aus den Natur-, SozialoderWirtschaftswissenschaften anhand gegebenen Datenmaterialsz. B. aus naturwissenschaftlichen oder demoskopischenUntersuchungen, mittels Exponentialoderanderer bekannter Funktionen, auch durch Nutzungvon Rechnern, exemplarischer Vergleich verschiedenerModelle und Beurteilung deren GrenzenArbeit mit Wertetabellen, Tabellenkalkulation oderlogarithmische Skalen oder einfach logarithmischen PapierFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Linearisierung von Potenzfunktionenhistorische Bezüge, „alte“ mathematischeWerkzeugeArbeit mit doppelt logarithmischem Papier oder TabellenkalkulationLogarithmisch definierte Größen, wie z.B. der pH-Wertoder die LautstärkeLogarithmentafeln und ihre Bedeutung in der Wissenschaftsgeschichte,InternetrecherchenArbeitsmethoden der Schülerinnen und Schüler/Hinweise und Erläuterungen:Wachstumsprozesse und ihre mathematische Beschreibung durch Exponential- oder andere bekannteFunktionen sind ein zentraler Unterrichtsgegenstand der Jahrgangsstufe 10. An diesen Beispielen könnendie Schülerinnen und Schüler mit den elementaren Methoden zur mathematischen Modellierungvertraut werden. Sie lernen, vorliegende Sachzusammenhänge durch Beschaffung von Informationenaufzubereiten, Wissen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik im fachübergreifenden Kontext zuvernetzen und so Modelle zur mathematischen Beschreibung zu entwickeln, geeignet darzustellen undzu hinterfragen.38

Bildungsgang GymnasiumQuerverweise:Wachstum: Phy 10.2-3Unterrichtsfach MathematikBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung39

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik10.3 Geometrie Std.: 16Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Pyramide, Kegel, KugelDarstellung räumlicher KörperOberflächeninhalt und VolumenSchrägbild, Ansichten (Vorder- und Seitenansicht,Draufsicht), SymmetrienSchulung räumlicher Anschauung und DarstellungExperimentelles und heuristisches Arbeiten (Schüttversuche,Modelle, Näherungsverfahren)Herleitung und Begründung der Formeln (angemesseneAuswahl treffen, Wiederaufgreifen des Satzes des Pythagoras)Fakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Berechnungen am Kegel- und Pyramidenstumpfsowie am KugelabschnittZusammengesetzte KörperWiederaufgreifen der StrahlensätzeZurückführung auf bekannte BerechnungenPlatonische und Archimedische KörperSatz von CavalieriPerspektivenQuerverweise:Perspektiven in Kunst und TechnikBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):40

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik10.4 Geometrie/Funktionen Std.: 24Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Trigonometrie und trigonometrischeFunktionensin α, cos α und tan α als LängenverhältnisseBerechnungen in Dreiecken, Vielecken undräumlichen FigurenBestimmung von Winkelmaßzahlen zu gegebenenSinus-, Kosinus- und TangenswertenSinus- und KosinusfunktionDarstellung im rechtwinkligen Dreieck, Einheitskreis(Winkel von 0 o bis 360 o ), geometrische Bestimmung vonsin α, cos α , tan α ,trigonometrische Beziehungen: cos α = sin (90° - α),sin 2 α + cos 2 α =1; tanα = sinα / cosαAnwendungen aus Technik, Physik und ebener undräumlicher GeometrieSinus- und KosinussatzWiederaufnahme der Kongruenzsätze, Vernetzen geometrischerund algebraischer Denk- und SichtweisenWiederaufgreifen der Grundidee des Umkehrens einerFunktion, sinnvoller Gebrauch des TaschenrechnersSteigungswinkel einer GeradenDefinition über den Einheitskreis bzw. über die senkrechteProjektion einer KreisbewegungEigenschaften: Symmetrie, PeriodizitätBeispiele periodischer Zusammenhänge (z. B. Modelleeinfacher zyklischer Prozesse aus den Natur-, Wirtschafts-oder Sozialwissenschaften), Nutzung des PCFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Vertiefungen im Hinblick auf die Berechnungrealitätsbezogener Zusammenhänge oderAspekte der TechnikgeschichteAllgemeine Sinus- und Kosinusfunktionx → a sin(b x + c) bzw. x → a cos(b x + c)TangensfunktionBestimmung von sin α und cos αVermessungsprobleme, Triangulation, Landvermessungin der Geschichte (z. B. Trassen von Wasserleitungen)Strecken / Stauchen und Verschieben des Graphen derSinus- und Kosinusfunktion, PC-EinsatzZusammenhang zur Sinus- und Kosinus-FunktionTypische Eigenschaften: Symmetrie, PeriodizitätAdditionssätze: sin (α ± β), cos (α ± β)Algorithmische Bestimmung mittels Taschenrechneroder TabellenkalkulationApproximative Bestimmung mittels QuadratfunktionArbeitsmethoden der Schülerinnen und Schüler/Hinweise und Erläuterungen:Die Algebraisierung geometrischer Sachverhalte gehört zu den zentralen Leistungen in der Geschichteder Mathematik. Die Schüler müssen mit der Idee des Perspektivwechsels vertraut werden und lernen,unterschiedliche Gebiete der Mathematik in eine sinnstiftende Beziehung zueinander zu setzen. Diesgeschieht durch Wiederaufgreifen und Verknüpfen von Wissen aus der Algebra und der Geometrie sowiedurch konsequentes Herstellen von Realitätsbezügen.Querverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung41

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik10.5 Stochastik Std.: 10Verbindliche Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Mehrstufige ZufallsversucheMehrstufige ZufallsversucheWiederaufgreifen von Wissen über die Beschreibungmehrstufiger Zufallsversuche: Baumdiagramm, relativeHäufigkeiten als Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten,Pfadmultiplikationsregel, AdditionsregelAbzählstrategienFakultative Unterrichtsinhalte/Aufgaben:Bernoulli-Experimente und BinominalverteilungBeispiele und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten beiBernoulli-ExperimentenSystematisierung der Berechnung von WahrscheinlichkeitenFormel der Binominalverteilung, GALTON-BrettComputer-simulierte ZufallsexperimenteArbeitsmethoden der Schülerinnen und Schüler/Hinweise und Erläuterungen:Die Inhalte sollen unter dem Aspekt stochastischer Modellbildung bei speziellen Anwendungen erarbeitetwerden. Dazu werden insbesondere bisher erarbeitete Kenntnisse in neuen komplexen Zusammenhängenangewendet und vertieft. Akzentuiert wird der Aspekt des induktiven Arbeitens in der Stochastik:Entwickeln, Darstellen und Vertiefen stochastischer Modelle.Querverweise:Berücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung undMedienerziehung42

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik2 Übergangsprofil von der Jahrgangsstufe 10 in die gymnasiale OberstufeVoraussetzung und Grundlage für eine erfolgreiche Mitarbeit im Fach Mathematik in der gymnasialenOberstufe sind die in der Sekundarstufe I erworbenen Qualifikationen und Kenntnisse. Diese solltenfür einen kontinuierlich aufeinanderaufbauenden Unterricht als mathematische Werkzeuge zur Verfügungstehen oder - falls notwendig - durch eine in den laufenden Unterricht integrierte, dennoch weitgehendselbstständige Wiederholung wieder verfügbar gemacht werden können.Hierdurch werden keine Aussagen darüber getroffen, in welcher Weise diese Inhalte im Unterricht derSekundarstufe I erarbeitet werden.Zahlbereiche/Algebra/FunktionenZahlbereiche IN, Z, Q, IRProportionale und antiproportionaleFunktionenProzentrechnungZinsrechnungGanzrationale Terme mit rationalen undirrationalen Zahlen; TermumformungenLineare Funktionen und lineare GleichungenLineare 2x2-GleichungssystemeQuadratische Funktionen und quadratischeGleichungenSichere Beherrschung der Grundrechenarten in Q (Bruchzahlenund Dezimalzahlen) und IRBetrags- und GrößenvergleichTeilbarkeit, Primzahlen, Primfaktorzerlegung,DivisionsalgorithmusFunktionsgleichungDefinitionsbereich, Wertebereich, Graph einer proportionalenund antiproportionalen FunktionQuotienten- und ProduktgleichheitGrundaufgaben der Prozent- und ZinsrechnungErweiterter bzw. verminderter GrundwertAnwendungen der Prozent- und Zinsrechnung z.B. in Naturwissenschaftenund WirtschaftDistributivgesetzKürzen und ErweiternBinomische FormelnSteigung, Steigungsdreieck und y-AchsenabschnittGerade (Strecke) als Graph einer linearen FunktionParallelität und Orthogonalität von GeradenÄquivalenzumformungen zur Lösung einer linearen GleichungUmkehrfunktion zu einer linearen FunktionGraphische Verfahren, Gleichsetzungs-, Einsetzungs-, Additionsverfahrenzur Lösung eines linearen 2x2-GleichungssystemsWertetabelle und Graph einer quadratischen FunktionGeometrische Abbildungen bei quadratischen Funktionen(Verschiebung parallel zur x-Achse und parallel zur y-Achse, Spiegelung an der x-Achse, Streckung parallel zury- Achse)Scheitelpunktbestimmung bei einer quadratischen FunktionLösung einer quadratischen Gleichung mittels quadratischerErgänzung oder mittels der p-q-FormelLösung biquadratischer GleichungenFaktorisierung eines quadratischen Funktionsterms43

Bildungsgang GymnasiumPotenzen, PotenzgesetzePotenzfunktionenTrigonometrische FunktionenExponentialfunktionenUnterrichtsfach MathematikPotenzgesetze für Potenzen mit ganzzahligen und rationalenExponenten, insbesondere mit positiven und negativenStammbrüchen als ExponentenQuadratwurzel und Quadratwurzelgesetze, Exponentialschreibweisefür QuadratwurzelnGraph und Eigenschaften der Funktionf: x → x n , mit x ∈ IN \ {0}Wurzelfunktion als UmkehrfunktionBeschreibung und graphische Darstellung von Sinus, Kosinus,Tangens als FunktionEigenschaften und Graph der Funktionen f: x → ab xWachstums- und ZerfallsprozesseAnwendungenLogarithmus als Umkehroperation; LogarithmengesetzeLösung einfacher ExponentialgleichungenGeometrieVertrautheit mit den Grundbegriffen der Geometrie: Punkt, Gerade, Strecke, Ebene, Halbebene, ebeneFigur, räumliche Figur, Länge, Flächeninhalt, Volumen, Winkel als Punktmenge, WinkelgrößeKlassifikation von ViereckenStrategien zur Lösung von TextaufgabenVoraussetzung, Behauptung, Beweis als Aufbau eines mathematischen Lehrsatzes kennenKongruenzabbildungenSymmetrieWinkelsätzeFlächeninhalteKongruenzsätze für DreieckeTransversalen im DreieckSatzgruppe des PythagorasÄhnlichkeitsgeometrieVerschiebung, Achsenspiegelung, DrehungAchsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren, insbesondereDreiecke und ViereckeEinfache Winkelsätze (Nebenwinkelsatz, Scheitelwinkelsatz,Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz, Winkelsummensatzim Dreieck und Viereck)Satz von Thales und dessen UmkehrungKonstruktion von Tangenten an einen KreisLösung von Berechnungs- und Beweisaufgaben als Anwendungder WinkelsätzeBerechnung des Flächeninhalts von Rechteck, Parallelogramm,Trapez, Drachen, Dreieck und von zusammengesetztenFigurenGrundkonstruktionenKonstruktion (Konstruktionsbeschreibung) von Dreieckenals Anwendung der KongruenzsätzeAnwendungen z.B. in der LandvermessungMittelsenkrechte, Höhe, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende(Schwerpunkt), Umkreis und Inkreis eines DreiecksDreieckskonstruktionen mit TransversalenSatz des Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz und derenUmkehrung; Anwendungen1. Strahlensatz und seine Umkehrung2. Strahlensatz44

Bildungsgang GymnasiumKreis und KreisteileTrigonometrieVolumen und Oberflächeninhalt von KörpernUnterrichtsfach MathematikBestimmung von πFlächeninhalt und Umfang von Kreis und KreisteilenWinkel im BogenmaßSinus, Kosinus, Tangens am rechtwinkligen Dreieck undam EinheitskreisSinussatz, KosinussatzDreiecksberechnungen und AnwendungenSchrägbild von Quader, Zylinder, Prisma, Kegel, KugelStochastikBeschreibende StatistikWahrscheinlichkeitsrechnungStatistische Daten erheben und auswerten; absolute Häufigkeit;relative HäufigkeitStreifen- und SäulendiagrammeMittelwerte (arithmetisches Mittel, Zentralwert)Einstufige und mehrstufige ZufallsversucheErgebnismengeEreignis - ElementarereignisLaplace-Wahrscheinlichkeit von EreignissenWahrscheinlichkeitsbäume (Summen-, Produktregel)TaschenrechnerSinnvoller Umgang mit dem Taschenrechner bei AnwendungsaufgabenSicherheit bei der Angabe von Lösungen, die der Problemstellungangemessen sind45

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik3 Der Unterricht in der Sekundarstufe II3.1 Struktur des Mathematikunterrichts in der gymnasialen OberstufeSachgebiete und ihre ZuordnungIm Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufen geben die Sachgebiete Analysis, Lineare Algebra/ Analytische Geometrie und Stochastik die Strukturierung für die Kurse vor. Die Zuordnungdieser drei Sachgebiete zur Jahrgangsstufe 11 und zu den Halbjahren von 12.1 bis 13.2 erfolgt aufgrundinhaltlicher Zusammenhänge und sichert Kontinuität und Sequentialität des Lernprozesses.KurshalbjahrSachgebiete11.1 Analysis I11.2 Analysis I12.1 Analysis IIGrundkursLeistungskurs12.2 Lineare Algebra / Analytische GeometrieGrundkursLeistungskurs13.1 StochastikGrundkursLeistungskurs13.2 KursthemenGrundkursLeistungskursDie Sachgebiete werden− durch didaktisch-methodische Überlegungen erläutert.Die didaktisch-methodischen Überlegungen nehmen die allgemeinen didaktischen und methodischenGrundsätze aus Teil A auf und konkretisieren sie hinsichtlich des jeweiligen Sachgebietes. Sie erläutern- die Stellung des Sachgebietes innerhalb der Sequentialität und Kontinuität der Kursabfolge,- die Lernrelevanz des Sachgebietes für die Schülerinnen und Schüler,- besondere methodische Erfordernisseund geben Hinweise auf fachübergreifende Zusammenhänge.− durch Unterrichtsinhalte und diesen zugeordnete Stichworte inhaltlich konkretisiert.− durch fachübergreifende und fächerverbindende Hinweise ergänzt, die Möglichkeiten der Kooperationund Koordination mit anderen Fächern zeigen.3.2 Verbindliche VorgabenVerbindlich− sind die drei Sachgebiete und ihre Zuordnung zu den Kurshalbjahren (11.1 bis 13.1);− die Sachgebiete 12.2 und 13.1 können in ihrer Reihenfolge auf Beschluss der Fachkonferenz ausgetauschtwerden,− auszuwählen ist im Kurshalbjahr 13.2 eines der Kursthemen,46

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik− sind die Unterrichtsinhalte mit den diesen zugeordneten Stichworten, wobei nicht alle Stichworte ingleicher Intensität behandelt werden können. Die Erschließung des jeweiligen Unterrichtsinhaltessoll deshalb durch Schwerpunktsetzungen erfolgen, die durch didaktische und methodische Planungenbestimmt werden.− sind die Stichworte der Unterrichtsinhalte.Über die Reihenfolge der Unterrichtsinhalte und der Stichworte kann von der Fachlehrerin oder demFachlehrer entschieden werden.Die fachübergreifenden und fächerverbindenden Hinweise haben Anregungscharakter.Der vorliegende Lehrplan basiert auf dem Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 1.12.1989 überdie „Einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung ‘Mathematik’“ mit ihren Konkretisierungenund ist somit die Umsetzung dieses KMK-Beschlusses in Landesrecht.4 Die Sachgebiete und ihre Abfolge in den Jahrgangsstufen 11 bis 13Voraussetzung und Grundlage für eine erfolgreiche Mitarbeit im Fach Mathematik in der gymnasialenOberstufe sind die in der Sekundarstufe I erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten. In dem hier vorliegendenLehrplan Mathematik für die gymnasiale Oberstufe ist als Anhang eine Übersicht aufgenommenüber die aus dem Rahmenplan (1995) Mathematik Sekundarstufe I zusammengestellten mathematischenInhalte, die nach Beendigung der Jahrgangsstufe 10 für einen kontinuierlich aufeinanderaufbauendenUnterricht als Werkzeuge zur Verfügung stehen sollen. Hierdurch werden keine Aussagendarüber getroffen, in welcher Weise diese im Unterricht der Sekundarstufe I erarbeitet werden.4.1 Die Jahrgangsstufe 11: Analysis IDidaktisch-methodische ÜberlegungenIn der Sekundarstufe I wird durch die Betrachtung linearer, quadratischer und einfacher rationalerFunktionen sowie elementarer Potenz-, Exponential- und trigonometrischer Funktionen der Funktionsbegriffeingeführt.Die Begriffsbildung ist zentral für den Mathematikunterricht bis zum Abitur und wird insbesondere alsEinstieg in das Jahresthema Analysis I wieder aufgegriffen und vertieft. Dazu sollen zunächst ohneund dann mit den Mitteln der Differentialrechnung die charakteristischen Funktionseigenschaften anwichtigen Beispielen aus den genannten Funktionsklassen herausgearbeitet und vor allem unter demModellbildungsaspekt mathematischer Funktionen im Zusammenhang mit typischen Anwendungenbehandelt werden.Für die Analysis ist der Begriff der Ableitung fundamental. Er soll durch den Aufbau algebraischer undgeometrischer Grundvorstellungen sowie unter Berücksichtigung des Anwendungs- und Modellbildungsaspekteserarbeitet werden: Ableitung als (lokale) Änderungsrate einer Funktion, Ableitung alsSteigung der Tangente an einen Funktionsgrafen sowie in außermathematischen Zusammenhängen,wie z.B. Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion als Momentangeschwindigkeit in der Physik, Ableitung einerzeitlich veränderlichen Bestandsgröße als Wachstums- oder Zerfallsgeschwindigkeit des betrachtetenProzesses, Ableitung der Einkommenssteuerfunktion als Spitzensteuersatz. Dabei ist für dieSchülerinnen und Schüler die Betrachtung und Mathematisierung von Grenzprozessen ungewohntund von besonderer didaktischer Bedeutung. Diese neue infinitesimale Sichtweise der Mathematik istdas Kernstück der Analysis I und muss - sicherlich unterschiedlich ausgeprägt für die jeweiligen Orientierungsmodelleim Jahrgang 11 der Schulen - gleichermaßen als Grundverständnis, Methode undKalkül in den Köpfen der Schülerinnen und Schüler sinnstiftend verankert und hinreichend für Anwendungenund den weiteren Ausbau in der Qualifikationsphase entwickelt sein.Während eine mehr anschauliche Einführung des Grenzwertes des Differenzenquotienten im Hinblickauf den Grundkurs genügt, ist eine vertiefte Betrachtungsweise (z.B. auch über Folgen) und stärkereFormalisierung des Grenzwertbegriffs im Hinblick auf den Leistungskurs gefordert. Die Einführung desStetigkeitsbegriffes soll nur als Vertiefung angestrebt werden. Grenzwerte zusammengesetzter Termesind erst zur Vorbereitung der Ableitungsregeln zu untersuchen.Als Anwendung des Ableitungskalküls kommt der Untersuchung und Beschreibung funktionaler Zusammenhängeeine wichtige Rolle zu. Begriffe wie Maximum, Minimum, Zunahme oder Abnahme sind47

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematikzentral für das Verständnis vieler Anwendungssituationen. Dabei sollen, um die Überforderung derSchülerinnen und Schüler zu vermeiden, inner- und außermathematische Bezüge im angemessenenVerhältnis stehen und die Komplexität des verwendeten Funktionenmaterials überschaubar bleiben.Es ist jedoch in jedem Fall zu beachten, dass ein reines Kalkültraining im Bereich ganzrationalerFunktionen den Intentionen des Kurses nicht gerecht werden kann.Wegen der von Jahr zu Jahr unterschiedlichen Länge der Schulhalbjahre können die Fachkonferenzenden zeitlichen Notwendigkeiten angemessene Verschiebungen bestimmter curricularer Kursanteilefestlegen. So sind insbesondere begrenzte und didaktisch vertretbare Umschichtungen zwischenden Halbjahren 11.2 und 12.1 möglich (z.B. kann die Erarbeitung weitergehender Themen der Differentialrechnungaus der 12.1 vorgezogen werden). Die verbindlichen Inhalte des Gesamtcurriculumsfür den Bereich der Analysis (11.1 bis 12.1) dürfen dabei nicht gekürzt und Voraussetzungen für dieAbiturprüfung nicht beschnitten werden.Die didaktischen und methodischen Möglichkeiten neuer Medien und moderner schulrelevanter Rechnerbzw. mathematischer Software sollen in ausgewählten Unterrichtszusammenhängen genutzt werden.Dabei kommen vor allem solche Einsatzbereiche infrage, bei denen gesicherte Erfahrungen ausder didaktischen Forschung vorliegen und dokumentiert sind. Dabei können graphikfähige Taschenrechner,Taschencomputer und mathematische Software genutzt werden als− Mittel zur Veranschaulichung und Visualisierung funktionaler Zusammenhänge (z.B. bei bestimmtenFunktionsuntersuchungen) und algebraisch akzentuierter Begriffsbildungen (z.B. Grenzwertbegriff,Zugang zur linearen Approximation über die Idee des „Funktionenmikroskopes“). Auch diemeist vorhandenen Tabellierungsfunktionen der Systeme können ergänzend verwendet werden.− Rechenhilfsmittel, um einerseits den Kalkülaufwand bei Begriffserarbeitungen oder Herleitungen zubewältigen und andererseits eine übertriebene Kalkülorientierung zu vermeiden (z.B. Ableitungsbegriff,Erarbeitung der Ableitungsregeln).− Medium zur Unterstützung experimentellen und heuristischen Arbeitens (z.B. Untersuchung speziellerGrenzwerte, Entdeckung höherer Ableitungsregeln).− mathematische Werkzeuge, die Zugänge zu realitätsbezogenen Anwendungen erleichtern und Modellbildungsprozesseerst mit vertretbarem Aufwand ermöglichen (z.B. Untersuchung von Steuertarifen).− Darüber hinaus können die in den meisten Schulen oder auch privat vorhandenen Internetzugängegenutzt werden, um zu bestimmten mathematischen Themen zu recherchieren (z.B. zur Geschichteder Analysis) oder auch um Informationen für die Bearbeitung spezieller Anwendungenzu erhalten (z.B. soziographische Entwicklungen).Anregungen zum fachübergreifenden und fächerverbindenden Arbeiten:PhysikBiologie, Chemie(Medizin)Physik, TechnikFächer des gesellschaftswissenschaftlichenAufgabenfeldesDer Begriff der Ableitung zur Festlegung und als Bindeglied zwischen physikalischenBegriffen: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung; Energie undLeistung; Ladung und Stromstärke; Temperatur und Temperaturgefälle; Winkelund Winkelgeschwindigkeit; Wärmeinhalt und spezifische WärmeAbleitungsbegriff zur Mathematisierung von Prozessen: Geschwindigkeit undBeschleunigung bei Wachstums- und Zerfallsprozessen; Reaktionsgeschwindigkeit;Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Epidemie,Brückenbau, Trassierung von Straßen und Gleisen, technische Kinematik,Verkehrsdurchsatz; Extremalprobleme bei KonstruktionenSteuertarife (Steuer und Spitzensteuersatz), Kostenfunktionen, Grenzkosten,Optimierungsprobleme in der Wirtschaft; Inflationsrate, Scheidungsrate, soziographischeEntwicklungen; Politikersprache („Rückgang des Anstiegs derArbeitslosenzahlen“)48

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik11 Analysis IUnterrichtsinhalteFunktionsbegriff und wiederholende Betrachtungelementarer FunktionsklassenStichworteDefinitionsmenge, Wertemenge, Funktionsterm,-gleichung, -graph, Wertetabelle, UmkehrfunktionUntersuchung linearer, quadratischer und weiterereinfacher ganzrationaler Funktionen mit in der SekundarstufeI erworbenen MethodenUntersuchung elementarer Funktionen, Potenzfunktionen,Exponential- und trigonometrischer FunktionenEinführung des AbleitungsbegriffesAbleitung einer Funktion an einer StelleAbleitungsfunktionÄnderungsrate einer Funktion; Steigung eines Graphenoder Einstieg über einen AnwendungszusammenhangDifferenzenquotient (Änderungsrate, Steigung)Grenzwert des Differenzenquotienten alsStabilisierungsprozess (Rechner)Bestimmung durch algebraische Vereinfachung desQuotientenInfinitesimale SichtweiseBerechnung von Ableitungen elementarer Funktionen:f(x) = x n , n ∈ Z, f(x) = √xVerknüpfen geometrischer und algebraischer SichtweisenAbleitungsfunktionen, höhere AbleitungsfunktionenTypische AbleitungskalküleFunktionsuntersuchung mit Hilfe des AbleitungskalkülsBestimmung funktionaler ZusammenhängeAnwendungen und Weiterführung des AbleitungskalkülsSummen- und Faktorregel durch Zurückführung auf dieGrenzwertbestimmung zusammengesetzter TermeUmkehrung des AbleitensMonotonie- und Krümmungsverhalten; relative undabsolute Extremalpunkte, Wendepunkte (jeweils notwendigeund hinreichende Kriterien), vollständige Kurvendiskussionganzrationale Funktionen (schwerpunktmäßig), auchBeispiele aus anderen FunktionsklassenBestimmung von Funktionen mit vorgegebenen EigenschaftenExtremalprobleme (auch Lösung mit den Methoden derSekundarstufe I)Umkehrfunktion (Taschenrechner)Erweiterung des Ableitungskalküls (Quotientenregelnur als Vertiefung)49

Bildungsgang GymnasiumQuerverweise:18. Jahrhundert: G, Phil, D, Mu,PhyRenaissance, Reformation,Aufklärung: G, Phil, L, GrA, D, Mu,Phy, RkaÖkonomie vs. Ökologie?: D, E,Spa, Ita, L, PoWi, Ek, Rev, Phil, SpoMathematische Konzepte: PhyProgrammierung – Simulation: Inf,Ch, Phy, PoWiUnterrichtsfach MathematikBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildungund MedienerziehungKulturelle Praxis50

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik4.2 Die Jahrgangsstufe 12: - Analysis II- Lineare Algebra / Analytische Geometrie4.2.1 12.1 Analysis IIDidaktisch-methodische ÜberlegungenDie Berechnung des Inhalts einer Fläche, die von einer Kurve begrenzt wird, erfordert eine Erweiterungder Methode der Flächenberechnung. Der Gedanke, Flächeninhalte mittels geeigneter Approximationzu berechnen, führt wiederum zu einer infinitesimalen Methode. Damit werden Bezüge zumvorangegangenen Unterricht der Jahrgangsstufe 11 hergestellt.Als Zugang zur Analysis II ist die Einführung in die Integralrechnung vorgesehen. Die gegenüber derSekundarstufe I verallgemeinerte Flächeninhaltsberechnung erfolgt zunächst über die Betrachtungvon Ober- und Untersummen und wird auf die Frage nach der Existenz eines gemeinsamen Grenzwerteszurückgeführt. Durch den Einsatz geeigneter Rechner kann gerade hier der Kalkülaufwand erheblichreduziert und die Konzentration der Schülerinnen und Schüler auf das Verständnis begrifflicherZusammenhänge gelenkt werden. An geeigneten Anwendungsbeispielen soll der Zusammenhangzwischen Flächeninhaltsbestimmung und der Berechnung verallgemeinerter Größenprodukteaufgezeigt werden. Dabei ist die Grundvorstellung dieses infinitesimalen Summationsprozessesdurch die Behandlung geeigneter Anwendungsbeispiele (z.B. physikalische Arbeit, Gesamtzuwachseiner Größe, Voluminabestimmung) hinreichend zu verankern.Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird eine Verbindung zwischen den OperationenDifferenzieren und Integrieren hergestellt. Der Begriff der Stetigkeit soll im Leistungskurs zumvertieften Verständnis dieses zentralen Lehrsatzes beitragen. Im Grundkurs wird man sich auf eineeher anschauliche Herleitung und die Herausarbeitung seines Nutzens für die Ermittlung bestimmterIntegrale beschränken.Neben der Einführung der Integralrechnung umfasst der Kurs Analysis II die Weiterführung derDifferentialrechnung. Dabei geht es um die weitergehende und vertiefende Untersuchung komplexererFunktionen unter Einbeziehung transzendenter, trigonometrischer und rationaler Funktionen und auchFunktionenscharen. Dazu wird die Erarbeitung eines angemessenen Kalkülvorrates als Fortführungdes Jahresthemas Analysis I abgeschlossen. Während man sich im Grundkurs auf die Produktregelund die Kettenregel (lineare Verkettung) beschränkt, müssen im Leistungskurs die Quotientenregelund die allgemeine Form der Kettenregel behandelt werden.Die notwendige Verzahnung der Differential- und Integralrechnung wird deutlich, wenn die partielle Integrationim Zusammenhang mit der Produktregel und die Integration durch Substitution im Zusammenhangmit der Kettenregel eingeführt und betrachtet werden, wobei sich der Grundkurs auf lineareSubstitution beschränkt. Weitere Verbindungen von Differential- und Integralrechnung kann die Behandlungvon Differentialgleichungen im Zusammenhang mit der Mathematisierung von Problemstellungenaus verschiedensten Anwendungsbereichen bieten.Hier ist die Durchführung von Schülerprojekten zu ausgewählten Sachthemen möglich, mit denen Bezügezu anderen Fachgebieten aufgezeigt werden können.Insgesamt bietet der Kurs vielfältige Möglichkeiten zum Aufgreifen von Realitätsbezügen und zur Modellierung.Dies gilt insbesondere für Mathematisierungen mittels transzendenter Funktionen, die einenwichtigen Unterrichtsgegenstand im Kurs darstellen. Während Exponential- und Logarithmusfunktionenvor allem Wachstums- und Zerfallsprozesse in vielfältigen Zusammenhängen beschreiben, stehentrigonometrische Funktionen hauptsächlich im physikalischen und technischen Kontext.Möglichkeiten der Approximation funktionaler Zusammenhänge als wichtiges Anwendungsfeld sollenvor allem im Leistungskurs behandelt werden. Zur Gewinnung passender Funktionsterme können einerseitstypische Verfahren der Analysis (z.B. TAYLOR-Polynome, Interpolation) leicht bereitgestelltwerden, andererseits aber auch mathematische Verfahren verwendet werden, bei denen aus konkretenempirischen Daten Näherungsfunktionen gewonnen werden. Für den Unterricht bietet sich die Behandlungder Regressionsrechnung an, weil diese theoretisch leicht erarbeitet werden kann und moderneRechner durchgängig unterschiedliche Regressionsmodelle bereitstellen (z.B. linear, quadratisch,exponentiell). Gerade hier gibt es eine Fülle realitätsbezogener Materialien, die sich methodischbesonders für von den Schülerinnen und Schülern selbstgesteuerte Unterrichtssequenzen, für Gruppenarbeitund für Projektaufträge eignen.51

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikSowohl im Grund- als auch im Leistungskurs ist auf die Einhaltung einer Balance zwischen Anwendungsorientierungund der theoretisch abgesicherten Erarbeitung der dazu notwendigen mathematischenVoraussetzungen zu achten.Die didaktischen und methodischen Möglichkeiten neuer Medien und moderner schulrelevanter Rechnerbzw. mathematischer Software können auch hier, ähnlich wie für die Jahrgangsstufe 11 beschrieben,in ausgewählten Unterrichtszusammenhängen genutzt werden.Anregungen zum fachübergreifenden und fächerverbindenden Arbeiten:Fächer des mathematisch-naturwissenschaftlich-technischenAufgabenfeldesFächerdesgesellschaftswissenschaftlichenAufgabenfeldesBiologie(Medizin)Integral als mathematische Grundlage des Arbeits- und Energiebegriffs; Integralals Gesamtzuwachs; Volumina-Bestimmung; Mathematisierung vonSchwingungs-, Wellen-, Zerfalls- , Lade-, Entlade- und AlterungsvorgängenGewinnung und Untersuchung funktionaler Zusammenhänge zur Beschreibunggegebener Daten; Untersuchung von Entwicklungen bei Populationen;Mittelwertbildung bei stetigen Wachstumsvorgängen; Mathematisierung vonWirtschaftskreisläufenAbbau von Medikamenten und Schadstoffen im Körper; Herzleistungsmessung52

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikGK 12.1Analysis IIUnterrichtsinhalteEinführung in die IntegralrechnungStichworteBerechnung von Flächeninhalten durch Approximationund Grenzprozesse, Definition des bestimmten Integrals,Entwicklung der Grundvorstellung des Integralbegriffsals verallgemeinerte Summation in AnwendungszusammenhängenEigenschaften und Anwendung des bestimmten Integrals(Summen- und Faktorregel)Begriff der Stammfunktion und unbestimmtes IntegralHauptsatz der Differential- und Integralrechnung undStammfunktionsintegrale, FlächeninhaltsberechnungErweiterung und Verknüpfung der DifferentialundIntegralrechnungUntersuchung komplexerer Funktionen, dazu Erarbeitungund Anwendung der Produkt- und Kettenregel (lineareVerkettung)Lineare Substitution als weiterführende IntegrationsmethodeHerausarbeitung des Zusammenhanges zur KettenregelVerständiger Umgang mit den erarbeiteten Kalkülender Analysis in bekannten Funktionsklassen:ganzrationale Funktionen, einfache rationale Funktionen,Exponential- und einfache trigonometrische FunktionenAnwendung und Vertiefung der DifferentialundIntegralrechnungFunktionsuntersuchungenExtremalproblemeVolumenintegral (Rotation um die x-Achse)Querverweise:Wirtschaftsprozesse: PoWi, G, Ek,E, F (GK/Profil É)Integralbegriff: PhyBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildungund MedienerziehungKulturelle Praxis53

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikLK 12.1Analysis IIUnterrichtsinhalteEinführung in die IntegralrechnungStichworteBerechnung von Flächeninhalten durch Approximationund Grenzprozesse, Definition des bestimmten Integralsals Grenzwert von Ober- und Untersumme, Entwicklungder Grundvorstellung des Integralbegriffs alsverallgemeinerte Summation in Anwendungszusammenhängen,Analyse des Integralbegriffs (Bedeutungder Beschränktheit und Stetigkeit von Funktionen)Eigenschaften und Anwendung des bestimmten Integrals(Summen- und Faktorregel)Begriff der Stammfunktion und unbestimmtes IntegralHauptsatz der Differential- und Integralrechnung undStammfunktionsintegraleNumerische IntegrationErweiterung und Verknüpfung der DifferentialundIntegralrechnungProduktregel, Quotientenregel, Kettenregel, Ableitungvon UmkehrfunktionenExponential- und Logarithmusfunktionen,Mathematisierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen,trigonometrische FunktionenPartielle Integration, Integration durch Substitution, Zusammenhangzur Produkt- und Kettenregel, uneigentlicheIntegraleUntersuchung komplexerer Funktionen und Extremalprobleme(auch mit Integration)Anwendung und Vertiefung der DifferentialundIntegralrechnungVolumenintegralIntegralbegriff in AnwendungszusammenhängenApproximation von Funktionen: Asymptotisches Verhalten,Approximation durch Polynome (z. B. TAYLOR-Entwicklung), Ausgleichskurven als mathematischeModelle für gegebene DatenQuerverweise:Wirtschaftsprozesse: PoWi, G, Ek,E, F (GK/Profil É)Integralbegriff: PhyBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildungund MedienerziehungKulturelle Praxis54

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik4.2.2 12.2 Lineare Algebra / Analytische GeometrieDidaktisch-methodische ÜberlegungenIn dem Kurs Lineare Algebra / Analytische Geometrie werden zwei Grundvorstellungen des Mathematikunterrichtsmiteinander in Verbindung gebracht. Es kann hier eine starke Anwendungsrelevanz gezeigt,andererseits können daraus theoretische Konzepte und Anfänge einer mathematischen Theorieentwickelt werden.Von diesen Basisvorstellungen ausgehend kann damit begonnen werden, einfache Objekte des dreidimensionalenAnschauungsraums mit Hilfe von Vektoren zu beschreiben und zu untersuchen. Beidiesem Einstieg, in dem die Geometrie im Vordergrund steht, soll auch das räumliche Vorstellungsvermögendurch die Betrachtung von Modellen und durch zeichnerische Darstellungen von räumlichenGebilden gefördert werden.Mit Hilfe von Vektoren werden Geraden und Ebenen dargestellt und geometrische Fragestellungenerklärt und beschrieben, so dass schließlich strukturelle Sachverhalte entwickelt werden können. Alsnotwendiges Handwerkszeug ist ein tragfähiges Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssystemeunerlässlich. Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, wie z.B. das Gauß-Verfahren, lasseneine Computerunterstützung angezeigt erscheinen.Neben Anwendungen in der Geometrie sollen die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass die hierentwickelten Begriffe, Konzepte und Verfahren auch in anderen Gebieten grundlegend und bedeutungsvollsind.Nur im Leistungskurs wird mehr Wert auf Begrifflichkeit und Systematik gelegt. Ebenso können wohlauch nur hier Kreis oder Kugel angesprochen werden.Neben geometrischen Fragestellungen eignet sich auch die Diskussion zahlreicher Anwendungenzum Einstieg in das Kursthema, die allesamt auf lineare Gleichungssysteme führen. Hier, bei größerenlinearen Gleichungssystemen, sollte dann die Behandlung des Gaußschen Algorithmus breitenRaum einnehmen. Aber auch bei diesem Weg ist eine geometrische Interpretation von Lösungsmengender linearen Gleichungssysteme zu empfehlen. Durch sie können strukturelle Aspekte verdeutlichtund herausgearbeitet werden. Durch die Matrix-Vektor-Schreibweise werden Matrizen eingeführt undmöglicherweise Matrizenaddition oder Matrizenmultiplikation motiviert.Eine umfangreichere Behandlung des Matrizenkalküls kann sich vor allem in Leistungskursen ergeben,wenn Matrizen mit linearen oder affinen Abbildungen in Zusammenhang gebracht werden. Hierausöffnen sich viele Querverbindungen z.B. zu iterierten Funktionensystemen der fraktalen Geometrieoder zur Stochastik. Matrizen werden in zahlreichen Berufsfeldern und angewandten Wissenschaftenzur Modellierung von Sachproblemen genutzt. Deshalb sollte der Anwendungsbezug nichtnur auf innermathematische Fragestellungen beschränkt bleiben. Beispiele für Anwendungsfelder, diefür Modellbildungen geeignet sind: Input-Output-Analyse, Beschreibung von Prozessen durch Übergangsmatrizen(Warteschlangen, Maschinenkontrolle, Irrfahrtmodelle usw.). Hierbei können auch Simulationsprogrammeeingesetzt werden.In den Unterrichtsinhalten soll es nicht um die Deduktion mathematischer Theorien gehen. Die Begriffeund mathematischen Sätze werden als Werkzeuge verstanden, deren Bedeutung mehr in derNützlichkeit liegt, geometrische Fragestellungen oder Problemstellungen aus anderen Gebieten zubeschreiben, zu erklären und zu lösen. So sollten auch im Leistungskurs exakte Beweise nur exemplarischdurchgeführt werden.Die Arbeit mit Tabellen, Formelsammlungen, Materialien aus Anwendungsbezügen, Zeitschriften usw.und der Einsatz von Medien erweitern die Möglichkeit der Selbstständigkeit und der Teamarbeit undbieten.55

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikAnregungen zum fachübergreifenden und fächerverbindenden Arbeiten:PhysikPhysik, GemeinschaftskundeFächer des gesellschaftswissenschaftlichenAufgabenfeldesKunst(Architektur)ErdkundeBiologieVektorrechnung, Skalarprodukt, VektorproduktLineare Gleichungssysteme im Zusammenhang mit VerkehrsleitsystemenMatrizenrechnung bei Produktionsabläufen, Skalarprodukt beim Rechnen mit Listen,usw.Räumliche Gebilde, Dach- und Fassadenflächen, Längen von Begrenzungslinien,Winkel zwischen Gebäudekanten usw.Abstandsbestimmungen in der Kartographie (z.B. unter Berücksichtigung von Höhenlinien)Matrizenrechnung bei Populationsentwicklungen56

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikGK 12.2Lineare Algebra / Analytische GeometrieUnterrichtsinhalteAnalytische GeometrieStichworteVektorenGeraden und Ebenen (Parameter- und Koordinatendarstellung)Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von VektorenLagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenenim RaumZur Vertiefung können Geradenbüschel, Ebenenbüschelbetrachtet werdenSkalarproduktLänge eines VektorsWinkel zwischen zwei Vektoren, OrthogonalitätAbstandsbestimmungen (außer Abstandsbestimmungenbei windschiefen Geraden)Schnittwinkel von Geraden im RaumAnwendungen des SkalarproduktesLineare GleichungssystemeAnwendungen linearer GleichungssystemeLösungsverfahren (insbesondere Gauß-Algorithmusbei umfangreicheren Gleichungssystemen)Geometrische Interpretation von LösungsmengenQuerverweise:Datenbanken: Inf, PoWi, G, Ek, ChVektoren: PhyBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildungund Medienerziehung57

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikLK 12.2Lineare Algebra / Analytische GeometrieUnterrichtsinhalteAnalytische GeometrieStichworteVektorenGeraden und Ebenen (Parameter- und Koordinatendarstellung)Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von VektorenLagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenenim RaumGeradenbüschel, EbenenbüschelTeilverhältnisseSkalarproduktLänge eines VektorsWinkel zwischen zwei Vektoren, OrthogonalitätNormalenform von Geraden und EbenengleichungenAbstandsbestimmungenSchnittwinkel von Geraden und Ebenen im RaumAnwendungen des SkalarproduktesLineare GleichungssystemeAnwendungen linearer GleichungssystemeLösungsverfahren, auch Gauß-AlgorithmusGeometrische Interpretation von LösungsmengenVektorräumeMatrizen und lineare Abbildungen *)Fortführung der Analytischen Geometrie **)Begriff des VektorraumsBasis und DimensionBegriff der Matrix, Produkt von Matrizen, Inverse Matrix,Anwendungen in der Geometrie oder bei nicht-geometrischenProblemenVektorprodukt mit AnwendungenKreis, KugelLagebeziehungen zwischen Kugel und EbeneQuerverweise:Datenbanken: Inf, PoWi, G, Ek, ChVektoren: PhyBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildungund Medienerziehung*) und **): Einer der beiden Unterrichtsinhalte Kernbereiche ist verbindlich.58

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik4.3 Die Jahrgangsstufe 13: - Stochastik- Kursthemen zu den drei Sachgebieten4.3.1 13.1 StochastikDidaktisch-methodische ÜberlegungenIm Rahmen dieses Kurses werden die Schülerinnen und Schüler mit den Denkweisen und Methodender Wahrscheinlichkeitstheorie und der beschreibenden und beurteilenden Statistik vertraut. Sie erfahrenMathematik als stark anwendungsbezogene Wissenschaft, es können auch in größerem Umfangaktuelle, reale Daten verwendet werden. Sie lernen, dass in Situationen, die anscheinend keine klareEntscheidungen und Beurteilungen gestatten, es durchaus sinnvoll sein kann, soweit es sich um stochastischeProzesse handelt, diese durch geeignete mathematischen Modelle zu beschrieben undquantitative Aussagen über Wahrscheinlichkeiten und Erwartungen bei Abläufen zu machen, derenjeweiliger Ausgang unbekannt ist.Die Modellbildung stellt einen wesentlichen Gesichtspunkt bei der Behandlung stochastischer Themendar. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass es zu einer Fragestellung durchaus verschiedeneModellbildungen geben kann. Dabei sind auch die Grenzen der benutzten Modelle aufzuzeigen.Die Begriffe Ereignis und Wahrscheinlichkeit spielen bei diesen Überlegungen eine fundamentaleRolle. Jedoch ist eine ausführliche Bearbeitung des Themas „Ereignisalgebra“ im Rahmen diesesKurses nicht erforderlich, es genügt, die aussagenlogischen Relationen „und“ bzw. „oder“ zur Verbindungvon Ereignissen zu verwenden. Der Begriff Wahrscheinlichkeit kann zunächst im Hinblick aufsich stabilisierende Häufigkeiten bei oft wiederholten Zufallsexperimenten diskutiert werden. Der klassischeWahrscheinlichkeitsbegriff sollte jedoch - auch in Grundkursen - problematisiert werden. DieWahrscheinlichkeitsverteilungen sind so zu wählen, dass den empirischen Befunden entsprechen. Dieaxiomatische Definition (Kolmogoroff) des Wahrscheinlichkeitsbegriffs führt in Leistungskursen zu einemtieferen Verständnis des Begriffes der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Abbildungscharaktervon Wahrscheinlichkeit, Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung erhält hier stärkeres Gewicht,spielt aber im Allgemeinen eine eher untergeordnete Rolle.Die Binomialverteilung gilt als grundlegende Verteilungsfunktion, dennoch sollte eine Berechnung derWerte nur in Einzelfällen durchgeführt werden. Hier ist in geeigneter Weise das Arbeiten mit statistischenTabellen oder Taschenrechnern in den Unterricht einzubeziehen. Einfache Rekursionen erlaubenauch mittels programmierbarer Taschenrechner die eigenständige Berechnung der Werte derBinomialverteilung.Sowohl im Grundkurs als auch im Leistungskurs kann das Testen von Hypothesen an vielen anwendungsorientiertenProblemen ausgeführt werden. Im Grundkurs betrachtet man dabei solche Probleme,die eine Modellierung erlauben, bei der die Binomialverteilung zum Tragen kommt. Im Leistungskurssind auch Approximationen der Binomialverteilung anzuwenden. Durch den kritischen Umgangmit Datenmaterial gewinnen die Schülerinnen und Schüler die Einsicht, dass beim Testen vonHypothesen unvermeidbar durch die Konstruktion des Testes Fehler entstehen. Wesentlich ist die Erkenntnis,dass eine Abhängigkeit zwischen dem Fehler erster Art und dem Fehler zweiter Art besteht.In besonderer Weise kann in diesem Kurs das selbstständige Erarbeiten und die kritische Betrachtungder Ergebnisse durch die Schülerinnen und Schüler - aber auch das Arbeiten im Team - gefördertwerden, denn auf eine strenge Abfolge der Unterrichtsinhalte kann teilweise verzichtet werden, sodass hierbei stärker die Problemorientierung als Unterrichtsprinzip zum Tragen kommt. Die Möglichkeiten,aktuelles Datenmaterial als Ergänzung zum Lehrbuch zu verwenden, sollten genutzt werden,da dadurch eine verstärkte Motivation erreicht wird und in besonderer Weise fachübergreifende undfächerverbindende Themen im Unterricht bearbeitet werden können. Zur Begründung von Sätzenreicht in den Grundkursen meist eine Plausibilitätsbetrachtung aus. In den Leistungskursen kann aufeinige exemplarische Beweise nicht verzichtet werden.59

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikAnregungen zum fachübergreifenden und fächerverbindenden Arbeiten:BiologiePhysikChemieFächer des gesellschaftswissenschaftlichenAufgabenfeldesErdkundeVererbung, Ansteckungsrisiko, Wirksamkeit von Medikamenten und Tests,VerhaltensforschungZerfallsvorgänge, Thermodynamik, AtommodelleOrbitalmodellMeinungsumfragen, Wahlprognosen, demographische Statistik (Abhängigkeitenvon Merkmalen), Planungen von Verkehrseinrichtungen, StatistischeKontrollmethoden bei der Massenproduktion, Anwendung der Spieltheorie beiLösung wirtschaftsmathematischer Fragen, VersicherungswesenMeteorologie60

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikGK 13.1StochastikUnterrichtsinhalteGrundlegende Begriffe der StochastikStichworteZufallsexperimente und EreignisseAbsolute und relative Häufigkeit, Häufigkeitsverteilungenund deren graphische DarstellungenLage- und StreumaßeWahrscheinlichkeitsbegriff (Laplace-Wahrscheinlichkeitsoll als Sonderfall erkannt werden)Empirisches Gesetz der großen ZahlenBerechnung von WahrscheinlichkeitenAdditionssatzPfadregeln (Summe, Produkt)Unabhängigkeit von zwei EreignissenBedingte WahrscheinlichkeitenKombinatorische Zählprobleme(Zählverfahren sollten nur so weit behandeltwerden, wie sie für das Verstehen der nachfolgendenFragestellungen nötig sind.)Wahrscheinlichkeitsverteilung von ZufallsgrößenGeordnete Stichprobe (mit/ohne Zurücklegen)Ungeordnete Stichprobe (ohne Zurücklegen)Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz undStandardabweichung einer ZufallsgrößeBernoulliketteBinomialverteilungHypothesentestQuerverweise:Quantenphysik: Phy, D, PhilManipulation: D, E, Mu, GVerhaltensforschung: BioEin- und zweiseitiger TestAnnahmebereich, AblehnungsbereichFehler erster und zweiter Art; die Binomialverteilung erlaubt,das Testen von Hypothesen ausführlich zu besprechen:Nullhypothese, Alternativhypothese sowieSignifikanzniveau sind an Beispielen aus verschiedenenGebieten zu formulierenBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildungund MedienerziehungGesundheitserziehung61

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikLK 13.1StochastikUnterrichtsinhalteGrundlegende Begriffe der StochastikStichworteZufallsexperimente und EreignisseAbsolute und relative Häufigkeit, Häufigkeitsverteilungenund deren graphische DarstellungenLage- und StreumaßeWahrscheinlichkeitsbegriff (Laplace-Wahrscheinlichkeitsoll als Sonderfall erkannt werden)Empirisches Gesetz der großen ZahlenBerechnung von WahrscheinlichkeitenAdditionssatzPfadregeln (Summe, Produkt)Unabhängigkeit von EreignissenBedingte WahrscheinlichkeitenKombinatorische Zählprobleme(Zählverfahren sollten nur so weit behandeltwerden, wie sie für das Verstehen der nachfolgendenFragestellungen nötig sind.)Wahrscheinlichkeitsverteilungen von ZufallsgrößenGeordnete Stichprobe (mit/ohne Zurücklegen)Ungeordnete Stichprobe (ohne Zurücklegen)Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz, StandardabweichungWahrscheinlichkeitsverteilungen mehrerer Zufallsgrößen(Summe oder Produkt)Spezielle WahrscheinlichkeitsverteilungenBernoulliketteBinomialverteilungNormalverteilung (Dichte- und Verteilungsfunktion)Näherungsformeln für die BinomialverteilungHypothesentestQuerverweise:Quantenphysik: Phy, D, PhilManipulation: D, E, Mu, GVerhaltensforschung: BioEin- und zweiseitiger TestAnnahmebereich, Ablehnungsbereich, Fehler ersterund zweiter Art; die Binomialverteilung erlaubt, dasTesten von Hypothesen ausführlich zu besprechen:Nullhypothese, Alternativhypothese sowie Signifikanzniveausind an Beispielen aus verschiedenen Gebietenzu formulierenOperationscharakteristiken dienen zur Verdeutlichungdes Zusammenhanges zwischen dem Fehler erster Artund dem Fehler zweiter ArtBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildungund MedienerziehungGesundheitserziehung62

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik4.3.2 13.2 Kursthemen zu den drei SachgebietenDidaktisch-methodische ÜberlegungenIm Kurshalbjahr 13.2 besteht die Möglichkeit, verstärkt fachübergreifend und fächerverbindend zu arbeiten.Um dies zu verwirklichen, sollen Kernbereiche aus den Sachgebieten Analysis, Lineare Algebra/ Analytische Geometrie und Stochastik verbunden und vertieft werden.Es sollen bewusst Bezüge zwischen diesen Sachgebieten hergestellt werden. Hierzu sind Kursthemenvorgegeben. Eines der Kursthemen ist verbindlich auszuwählen.− Über die Auswahl des Kursthemas sowie− über die Auswahl, Ergänzungen und Reihenfolge der den Kursthemen zugeordneten möglichenUnterrichtsinhalteentscheiden die Fachlehrerinnen und Fachlehrer in Zusammenarbeit mit den Fachkonferenzen ausmethodischen und didaktischen Überlegungen. Eine Behandlung von nicht aufgeführten Kursthemenist möglich und bedarf der Genehmigung des zuständigen Staatlichen Schulamtes.Bei der Behandlung der Kursthemen ist sicherzustellen, dass folgende Ziele erreicht werden:− Anwendung von erworbenen Kenntnissen bei praxisnahen Fragestellungen,− Vertiefung und Erweiterung von bearbeiteten Unterrichtsinhalten,− Aufzeigen von Querverbindungen zwischen den drei Sachgebieten.Neben innermathematischen Erweiterungen und Vertiefungen empfiehlt es sich, geeignete Anwendungsproblemeaus Technologie, Wirtschaft und Gesellschaft in Projekten zu bearbeiten. Dazu kannein mathematisches Modell konstruiert werden, um das Ausgangsproblem darin zu bearbeiten, gegebenenfallsdas Modell anzupassen und die sich ergebenden Konsequenzen zu interpretieren. DieGrenzen des Modells sind zu reflektieren. Die den Kursthemen 13.2 zugeordneten möglichen Unterrichtsinhaltesind in diesem Zusammenhang als geeignete Werkzeuge für einen solchen mathematischenModellierungsprozess zu verstehen und haben Anregungscharakter.Im Schulcurriculum sind die Grundsätze für die Ausdifferenzierung von Grund- und Leistungskurs zuberücksichtigen (vgl. Teil A, Ziff. 3).63

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik13.2 Kursthemen zu den drei SachgebietenKursthemen und mögliche Unterrichtsinhalte *)Gewöhnliche DifferentialgleichungenRichtungsfeld, Differentialgleichungen erster Ordnung, Existenz- und Eindeutigkeitssatz,elementare Lösungsmethoden, Differentialgleichungen zweiter OrdnungPotenzreihenGanzrationale Funktionen als Näherungsfunktionen, Exponentialreihe, Potenzreihen,Taylorsche Formel, Taylorsche ReihenNumerische Näherungsverfahren/Approximation von FunktionenInterpolation durch Polynome, Approximationsverfahren, Fixpunkte, Newton-Verfahren,Numerische Integration (Sehnen-Trapezverfahren, Simpsonsche Regel), RegressionsmodelleKreis und KugelKreis in der Ebene, Kugel, Ebene und Gerade, Lagebeziehungen zwischen Kugel, Ebenenund Geraden, SchnittmengenKegelschnitteVektorgleichung des Doppelkegels, Scheitelgleichung der Kegelschnitte, Arten der Kegelschnitte(Kreis, Parabel, Ellipse und Hyperbel)Praktische StochastikOperations-Charakteristik (Anwendung der Binomialverteilung - Anteiltest, Anwendungder Normalverteilung - Mittelwerttest, Gütefunktion), Schätzung des Mittelwerts einernormalverteilten Grundgesamtheit, Vorzeichentest, Chi-Quadrat-Test, Monte-Carlo-Methode,Markow-Ketten, SimulationenDeterminanten und MatrizenLineare Gleichungssysteme und Determinanten, Determinanten und Volumen, Abbildungsmatrizenund DeterminantenAffine AbbildungenDefinition und Eigenschaften affiner Abbildungen, Darstellung affiner Abbildungen, Anwendungenin der fraktalen GeometrieMathematische Strukturen und BeweisverfahrenGruppen und Körper; Beweisverfahren: direkter und indirekter Beweis; vollständigeInduktionQuerverweise:Deterministisches Chaos: Phy, InfNaturwissenschaftliches Denken:Bio, Phy, Eth, Phil, ChComputergraphik: Inf, KuComputersimulationen: Inf, Bio,Ch, D, PhyBerücksichtigung von Aufgabengebieten (§6 Abs. 4 HSchG):Informations- und kommunikationstechnische Grundbildungund MedienerziehungKulturelle PraxisGesundheitserziehung*) s. 4.3.2, zweitletzter Absatz64

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach Mathematik5 Abschlussprofil am Ende der Qualifikationsphase: 13.1 und 13.213.1Die insbesondere in der Jahrgangsstufe 11 erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten bilden dieGrundlage für Analysis II in 12.1 und sind somit in das Abschlussprofil am Ende der Qualifikationsphaseentsprechend einbezogen.Unbeschadet unterschiedlicher schulcurricularer bzw. in der pädagogischen Entscheidung der einzelnenLehrkraft liegender didaktischer und methodischer Planungen der Kurse ist bezüglich der SachgebieteAnalysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie und Stochastik am Ende von 13.1 vondem im nachfolgenden Schaubild aufgezeigten Abschlussprofil auszugehen.Diese Vorgaben sind die Grundlagen für die Wahl von Mathematik als schriftliches Abiturprüfungsfachsowohl als Leistungs- als auch als Grundkursfach.13.2Am Ende der Qualifikationsphase (13.2) ergibt sich der Kenntnisstand aus dem Schaubild zu 13.1 sowiedem für den Unterricht jeweils gewählten Kursthema aus 13.2.Abschlussprofil am Ende der Qualifikationsphase (13.1)Das Abschlussprofil ergibt sich aus den Sachgebieten der Kurse 12.1 bis 13.1GrundkursLeistungskurs(zusätzlich zum Grundkurs)Analysis1. Differentialrechnung und IntegralrechnungDifferenzenquotient, Ableitung an einer StelleAbleitungsregeln:Summenregel, Faktorregel, Produktregel, Kettenregel(lineare Verkettung)Grenzwerte, GrenzwertsätzeKettenregel (allgemein)Verkettung von FunktionenQuotientenregelAbleitungsfunktionen und ihre geometrischen DeutungenUntersuchungen von Funktionen und ihrer Graphen:Symmetrie zur y-Achse, Punktsymmetrie zumKoordinatenursprungNullstellen, relative und absolute Extremalpunkte,WendepunkteMonotonieverhalten, KrümmungsverhaltenAchsensymmetrie, PunktsymmetrieKrümmungsverhalten: Bestimmung derLösungsmenge von UngleichungenTangentengleichungenUmkehrfunktionAbleitung der UmkehrfunktionBestimmung von Funktionen oder Funktionenscharen zu vorgegebenenBedingungenExtremwertaufgaben65

Bildungsgang GymnasiumBestimmtes IntegralStammfunktionSummen- und FaktorregelHauptsatz der Differential- und IntegralrechnungBerechnung des Inhalts eines begrenzten FlächenstücksIntegrialbegriffUnterrichtsfach MathematikBegründung des Hauptsatzesuneigentliches Integral und AnwendungenVolumenintegralIntegration durch lineare SubstitutionIntegration durch SubstitutionPartielle Integration2. Auswahl der FunktionsklassenGanzrationale Funktionsscharen mit ParameterExponentialfunktionen mit ParameterLogarithmusfunktionen mit Parametertrigonometrische Funktionen mit Parameter(ohne Umkehrfunktion)Lineare Algebra / Analytische GeometrieAnalytische Geometrie:VektorenGeraden und EbenenParameter- und Koordinatendarstellung von Gerade undEbene im RaumLagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen imRaumGeradenbüschel, EbenenbüschelSkalarproduktBetrag eines VektorsWinkel zweier VektorenAbstandsbestimmungen (außer bei windschiefen Geraden)Schnittwinkel von Geraden im RaumAnwendungen des SkalarproduktesLineare Gleichungssysteme:Homogene und inhomogene lineare GleichungssystemeLösungsverfahren, LösungsmengeNormalenform von Geraden- undEbenengleichungenAbstandsbestimmungen windschieferGeradenBesondere Linien und Punkte imDreieckSchnittwinkelGauß-AlgorithmusStruktur der LösungsmengeLineare Abbildungen und Matrizen:*)Begriff der MatrixMatrix-Vektor-MultiplikationAbbildungenProdukt von MatrizenInverse MatrixAnwendungenFortführung der Analytischen Geometrie:**)Vektorprodukt; Kreis, Kugel; Lagebeziehungenzwischen Kugel undEbene66

Bildungsgang GymnasiumUnterrichtsfach MathematikStochastikErgebnis und Ereignis:Relative HäufigkeitEmpirisches Gesetz der großen ZahlenWahrscheinlichkeit eines EreignissesLaplace-WahrscheinlichkeitBerechnen von Laplace-Wahrscheinlichkeiten:Geordnete Stichprobe (mit und ohne Zurücklegen)Ungeordnete Stichprobe (ohne Zurücklegen)BaumdarstellungenSummen- und ProduktregelBedingte Wahrscheinlichkeit (Baumdarstellung)Unabhängigkeit von zwei EreignissenBernoulli-Kette, BinomialverteilungWahrscheinlichkeitsfunktion einer ZufallsgrößeErwartungswert, Varianz und StandardabweichungEinseitiger und zweiseitiger Hypothesentest (nur mittels Binomialverteilung)Unabhängigkeit von drei EreignissenNormalverteilung als Näherungsformelfür die Binomialverteilung, Dichte - undVerteilungsfunktionEinseitiger und zweiseitiger Hypothesentest(auch mittels Normalverteilung)Annahmebereich, AblehnungsbereichFehler erster und zweiter Art*) und **): Einer der beiden Schwerpunkte ist verbindlich67