INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

88 Kapitel 3. NetzwerkanalyseBeweis: Die erste Aussage ist offensichtlich. Für den Nachweis der zweiten sei V = V 0 ∪V 1 ,wobei V 0 die Menge der Terminalknoten und V 1 die Menge der inneren Knoten ist. Definierek = def V 1 . Dann gilt für den optimalen Baum T :n ≤ ∑ v∈V 0deg T (v)= ∑ deg T (v) − ∑ deg T (v)v∈Vv∈V 1≤ 2(n + k − 1) − 3k (deg T (v) ≥ 3für alle v ∈ V 1 nach 1.)= 2n − k − 2Durch Umstellung folgt k ≤ n − 2.Theorem 3.29 Der Algorithmus von Culberson und Rudnicki kann so implementiert werden,dass er zu einer mit Bäumen realisierbaren symmetrischen Matrix A ∈ IN n×n eineoptimale Baumrealisierung in O(n 2 ) Schritten konstruiert.Beweis: Die Korrektheit folgt aus Lemma 3.26. Die Komplexitätsaussage ergibt sich wiefolgt: In jedem rekursiven Aufruf (mit U = ∅) wird mindestens eine Kante in den Baumeingefügt. Nach Proposition 3.28 hat der optimale Baum max. 2n − 2 Knoten und 2n − 3Kanten. Damit gibt es maximal 2n − 3 Aufrufe. Als amortisierte Laufzeit pro eingefügterKante ergibt sich:• Zeile 2 benötigt O(n) Schritte• Zeilen 4–11 benötigen O(n) Schritte• Zeilen 17–22 benötigen O(n) Schritte• Zeilen 3, 12–15 und 16 sind implementierbar mit O(n log l) Schritten bei Verwendungvon z.B AVL-Bäumen zur Speicherung der Werte hub(r, b, v)Ingesamt sind dies O(n) +O(n log l) Schritte für l ≥ 2. Dabei werden jedoch l Kanteneingefügt. Folglich ist der Aufwand pro Kante:O(n)+O(n log l)l= O(n)Damit benötigt der Algorithmus insgesamt O(n 2 ) Schritte.Bemerkungen.1. Algorithmus von Culberson und Rudnicki ist bezogen auf die Matrixgröße linear.Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007