INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

86 Kapitel 3. NetzwerkanalyseDiese Aufrufe führen zu folgender Konstellation nach Ablauf der zweiten Iteration. Die Veranschaulichungerfolgt mittels levelweiser Traversierung des Rekursionsbaums. Für den Knoten 3 rechnen wir aus:hub(8, 6, 3) = 1 (2 + 1 − 3) = 0 und hub(3, 8, 6) = 1 (1 + 3 − 2) = 1.2 2Bild für zweite Iteration von CRDer letzte nicht-triviale Aufruf ist Culberson-Rudnicki(8, {3}, [1]). Damit haben wir folgenden Baummit 6 Terminal- und 3 inneren Knoten konstruiert:Bild für Baumrealisierung der BeispielmatrixWir gehen zum Beweis der Korrektheit des Algorithmus über.Es seien G =(V,E,w) und G ′ =(V ′ ,E ′ ,w ′ ) gewichtete ungerichtete Graphen. Dann heißtG zu G ′ isomorph, symbolisch G ≃ G ′ , falls eine bijektive Abbildung ϕ : V → V ′ existiert,so dass {u, v} ∈E ⇔{ϕ(u),ϕ(v)} ∈E ′ für alle u, v ∈ V sowie w(u, v) =w ′ (ϕ(u),ϕ(v))für alle {u, v} ∈E gilt.Lemma 3.26 Es sei A ∈ IN n×n eine symmetrische Matrix, die sich durch Bäume realisierenlässt. Dann konstruiert der Algorithmus von Culberson und Rudnicki einen zuroptimalen Realisierung isomorphen Baum.Beweis: Der Algorithmus Culberson-Rudnicki wird stets mit einer Eingabe der Form(v, V, d), wobei v ein Knoten, V eine Menge von Terminalknoten und d eine Abstandsfunktionsind, aufgerufen. Es sei A[U]eineMatrixüber einer Indexmenge U. Es bezeichne T ∗ A[U]Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007