INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

3.2. Rekonstruktion der Netzwerktopologie 81Beweis: Wir müssen zwei Richtungen zeigen.(⇒) Es sei G =(V,E,w) ein Graph mit D G = A. Bedingung 1 ist trivial. AngenommenBedingung 2 gilt nicht. D.h. es gibt i, j, k ∈ V mit d G (i, j) +d G (j, k) 1. Es sei (i, t 1 ,...,t l−1 ,j)einkürzester Weg zwischeni und j. Dannist(i, t 1 ,...,t l−1 )einkürzester Weg zwischen i und t l−1 über l − 1Kanten. Mit der Induktionsvoraussetzung erhalten wirDamit gilt d G (i, j) =a ij .Damit ist das Theorem bewiesen.d G (i, j) =d G (i, t l−1 )+d G (t l−1 ,j)=a i,tl−1 + a tl−1 ,j ≥ a ij .Bemerkungen.1. Eine Matrix ist durch ungerichteten Graphen exakt realisierbar genau dann, wenndie Matrix eine Metrik beschreibt.2. Theorem 3.24 lässt sich mit den gleichen Bedingungen auch für gerichteter Graphenund nicht-symmetrische Matritzen formulieren.3. Es lassen sich auch Charakterisierungen für exakte Realisierbarkeit durch ungewichteteGraphen angeben.3.2.6 Der Algorithmus von Culberson und RudnickiDie Konstruktion des Graphen im Beweis von Theorem 3.24 enthält nur wenig Informationüber die Graphenstruktur einer exakten Realisierung. Im Folgenden wollen Realisierungenfinden, die sinnvoll hinsichtlich weitere Nebenbedingungen wie z.B. der Graphgrößen sind.Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007