INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

80 Kapitel 3. NetzwerkanalyseWir wissen bereits, dass all-paris shortest-paths in Zeit O(n 3 ) mit dem Algorithmus vonFloyd und Warshall gelöst werden kann.Es sei D G =(d G (u, v)) u,v∈V .Beispiel. Wir betrachten folgenden ungerichteten Graphen G mit Kantengewichten:113415222123Dazu korrespondiert folgende Abstandsmatrix D G:⎛⎞0 2 3 1 22 0 2 3 3D G =⎜ 3 2 0 2 1⎟⎝ 1 3 2 0 1 ⎠2 3 1 1 0Wir interessieren uns für die umgekehrte Frage: Wann existiert für Matrix ein passenderGraph?Definition 3.23 Es sei A ∈ IN n×n eine symmetrische Matrix.1. Ein (ungerichteter) gewichteter Graph G =(V,E,w) realisiert A exakt genau dann,wenn V = {1,...,n} und D G = A, d.h.a ij = d G (i, j) für alle i, j ∈{1,...,n}.2. Ein (ungerichteter) gewichteter Graph G =(V,E,w) realisiert A genau dann, wenn{1,...,n}⊆V und a ij = d G (i, j) für alle i, j ∈{1,...,n}.3.2.5 Charakterisierung graphischer MatrizenMatrizen, die eine exakte Realisierung durch Graphen zulassen, nennen wir auch graphischeMatrizen. Diese Matrizen lassen sich einfach charakterisieren und der zugehörige Graphauch einfach konstruieren.Theorem 3.24 Eine symmetrische Matrix A ∈ IN n×n ist genau dann graphisch, wennfolgende Bedingungen erfüllt sind:1. Für alle i ∈{1,...,n} gilt a ii =0.2. Für alle i, j, k ∈{1,...,n} gilt a ij + a jk ≥ a ik .Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007