INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

3.2. Rekonstruktion der Netzwerktopologie 77Für einen gerichteten Graphen G =(V,E) mitKantengewichtenc : E → IR + ist einFluss∑f definiert als eine Abbildung f : E → IR mit 0 ≤ f(e) ≤ c(e) für alle e ∈ E undu∈N − (v) f(u, v) =∑ u∈N + (v) f(v, u). Der Wert eines Flusses f in unserem Flussnetzwerkist definiert als |f| = ∑ u∈N + (s)f(s, u). Der maximale Fluss f, der alle zu s und t Kantensaturiert, hat den Wertn∑ n∑|f| = b j = a j .j=1Der eigentliche Beweis, wann solch ein maximaler Fluss existiert, ergibt dann die Charaktierisierungin der Aussage des Satzes.j=13.2.3 Der Algorithmus von Havel und HakimiWir betrachten nunmehr Konstruktionen für ungerichteten Graphen.Lemma 3.20 Es sei D =(d 1 ,...,d n ) eine Folge natürlicher Zahlen mit d 1 ≥ ··· ≥ d nund d 1 ≤ n − 1. Es bezeichne G D die Menge aller ungerichteten Graphen G =(V,E) mitV =(v 1 ,...,v n ) und deg(v i )=d i .IstG D ≠ ∅, so existiert ein Graph G =(V,E) ∈G Dmit N(v 1 )={v 2 ,...,v d1 +1}.Beweis: Ist d 1 = n−1, so erfüllt jeder Graph in G D die Eigenschaft. Es sei also d 1 γ(G ∗ ). Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität vonγ(G ∗ ).Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007