INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

76 Kapitel 3. NetzwerkanalyseAls Beobachtung halten wir fest: Es gilt stets ∑ ni=1 d i = ∑ i≥1 d∗ i .Beispiele für natürliche Gradfolgen.• Power-Law-Folgen (Zipf-Verteilungen) sind Gradfolgen D mit d ∗ i ≃ i −α und α>0. Wichtige Eigenschaften:Skalenfreiheit (Durchschnittsgrad für α>2 konstant, d.h. unabhängig von Anzahl derKnoten), kleiner Durchmesser (log n) im Erwartungswert. Power-Law-Folgen können beobachtetwerden in der Internetkonnektivität, WWW-Hyperlinkstruktur, Einwohnerverteilungen.• Log-Normal-Verteilungen• doppelte Pareto-VerteilungenWir untersuchen die Frage: Welche Folgen natürlicher Zahlen sind Gradfolgen von Graphen?3.2.2 Der Satz von Gale und RyserFür gerichtete Graphen gibt der folgende Satz eine vollständige Charakterisierung derrealisierbaren Gradfolgen.Theorem 3.19 (Gale & Ryser 1957) Eine Folge ((a 1 ,b 1 ),...,(a n ,b n )) von Paarennatürlicher Zahlen mit a 1 ≥ ··· ≥ a n und a j ,b j ≤ n ist die Gradfolge eines gerichtetenGraphen G =(V,E) (mit Schleifen) genau dann, wenn folgende Bedingungen erfülltsind:n∑a i = ∑ n∑b ∗ j ( = b j )i=1 j≥1j=1k∑k∑n∑≤ b ∗ j ( = min(b j ,k) ) für alle k ∈{1,...,n− 1}i=1a ij=1j=1Beweis: (Idee) Wir betrachten das folgende Flussnetzwerk:v + 1v − 1v + 2v − 2Sv + 3v − 3t..v + nv − nSkriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007