INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

3.2. Rekonstruktion der Netzwerktopologie 75Beweis: Wir beweisen die Aussagen einzeln.1. Angenommen in G gibt es keinen Knoten v mit deg(v) = 0. Dann gilt für alle v ∈ V :1 ≤ deg(v) ≤ n − 1.Damitgibtesuntern Knoten zwei Knoten mit gleichem Grad(Schubfachschluss). Angenommen es gibt genau einen Knoten v mit deg(v) =0.Somit gilt für die restlichen n − 1Knotenu ∈ V \{v}: 1≤ deg(u) ≤ n − 2. Der Restist nun analog zum ersten Fall.2. Für gerichtete Graphen G =(V,E) gilt ∑ v∈V deg− (v) =‖E‖ = ∑ v∈V deg+ (v).Damit ergibt sich ∑ v∈V deg(v) =∑ v∈V deg− (v)+deg + (v) =2‖E‖. Für ungerichteteGraphen ist jede eingehende auch eine ausgehende Kante; ersetze {u, v} ∈E durch(u, v) und (v, u) und wende Aussage für gerichtete Graphen an.Damit ist die Proposition bewiesen.Definition 3.17 Es sei G = (V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph mitV = {v 1 ...,v n }.1. Ist G gerichtet, so heißt die FolgeGradfolge von G.D(G) = def ((deg − (v 1 ), deg + (v 1 )),...,(deg − (v n ), deg + (v n )))2. Ist G ungerichtet, so heißt die FolgeGradfolge von G.D(G) = def (deg(v 1 ),...,deg(v n ))Definition 3.18 Es sei D =(d 1 ,...,d n ) eine Folge natürlicher Zahlen. Die konjugierteZahlenfolge D ∗ =(d ∗ 1 ,...,d∗ n) ist definiert alsd ∗ i = def ‖{j ∈{1,...,n}|d j ≥ i}‖.Beispiel. Wir betrachten die Zahlenfolge D =(4, 3, 3, 2, 2, 2, 2). Das zugehörige Ferrers-Diagramm sinddann wie folgt aus:d ∗ 1 d ∗ 2 d ∗ 3 d ∗ 4∑d 1 • • • • 4d 2 • • • 3d 3 • • • 3d 4 • • 2d 5 • • 2d 6 • • 2d 7 • • 2∑ 7 7 3 1 18Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007