INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

74 Kapitel 3. Netzwerkanalyse3.2 Rekonstruktion der NetzwerktopologieWir gehen zur Untersuchung von Netzwerkrekonstruktionsproblemen über. Diese Problemehaben die folgende Form: Gegeben die Informationen aller Beobachtungspunkte,wie sieht die Graphenstruktur im unbekannten Netzwerkbereich aus?3.2.1 Graphenrealisierung von GradfolgenZunächst besteht unser Ziel darin, dass wir aus beobachteten Gradfolgen (Definition später)Rückschlüsse darauf ziehen wollen, wie der gegebene Graph aussehen könnte.Notationen. Es sei G =(V,E) ein (einfacher) gerichteter Graph. Für v ∈ V definierenwir folgende Größen:• N − (v) = def { u ∈ V | (u, v) ∈ E }• N + (v) = def { u ∈ V | (v, u) ∈ E }(Vorgänger)(Nachfolger)• N(v) = def N − (v) ∪ N + (v)• deg − (v) = def ‖N − (v)‖• deg + (v) = def ‖N + (v)‖(Eingangsgrad)(Ausgangsgrad)• deg(v) = def deg − (v)+deg + (v)(Grad;beachte:i.A.deg(v) ≠ ‖N(v)‖)Ist G ungerichtet, so definieren wir für v ∈ V :• N(v) = def { u ∈ V |{u, v} ∈E }• deg(v) = def ‖N(v)‖Wir verwenden weiterhin stets für G =(V,E):• n = def ‖V ‖• m = def ‖E‖Proposition 3.161. Jeder ungerichtete Graph G =(V,E) ohne Schleifen mit mindestens zwei Knotenenthält zwei Knoten u, v ∈ V mit deg(u) =deg(v).2. Für alle (gerichteten und ungerichteten) Graphen G =(V,E) gilt∑deg(v) =2‖E‖.v∈VSkriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007