INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

3.1. Dimensionierung und Positionierung von Monitorsystemen 73Korollar 3.13 Es seien ε>0, δ>0 und k ∈ IN.EsseiG =(V,E) ein ungerichteterGraph mit V 0 ⊆ V .Einezufällig gewählte Knotenmenge D ⊆ V 0 der Größe( kOε log 1 ε + 1 ε log 1 )δist mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1 − δ eine (ε, k)-erkennende Menge für V 0 .2. Erweiterung (nur skizzenhaft). Wir wollen auch Knotenausfälle entdecken. Dafür nehmenwir folgende Anpassungen vor:• Eine Menge Z ⊆ V ∪ E mit ‖Z‖ ≤ k ist (ε, k)-trennend, falls A, B ⊆ V 0 mit‖A‖, ‖B‖ ≥ε‖V 0 ‖ existieren, die in G \ Z =(V \ Z, E \ Z) getrennt sind.• Eine Menge D ⊆ V 0 ist (ε, k)-erkennend, falls für alle (ε, k)-trennenden Z Knotenu, v ∈ D in unterschiedlichen Zusammenhangskomponenten von G \ Z liegen.Erste Idee: Eine Menge S ⊆ V ist trennbar durch k Elemente, falls Z ⊆ V ∪ E mit‖Z‖ ≤ k existiert, so dass S die Vereinigung von Zusammenhangskomponenten vonG \ Z ist. Es ergibt sich folgendes Problem: Betrachte den Stern K 1,n−1 . Jede Teilmengeder Blätter ist trennbar durch einen Knoten (Zentrum von K 1,n−1 ). Damit istVC-Dim(V,S 1 (K 1,n−1 )) ≥ n − 1.Es gibt folgenden Ausweg: Sei V geordnet, d.h. V =(v 1 ,v 2 ,...,v n ). Es seien A, B ⊆ Vmit A ∩ B. Definiere: A ≤ B ⇐⇒ def min A ≤ min B. EineMengeS ⊆ V ist ein k-Segment,falls eine Menge Z ⊆ V ∪ E mit ‖Z‖ ≤k existiert mit S = U p ∪ U p+1 ∪···∪U q ,wobeiU 1 ,U 2 ,...,U s die lexikographisch geordneten Zusammenhangskomponenten von G \ Zsind.Proposition 3.14 Es seien G =(V,E) ein ungerichteter Graph mit V 0 ⊆ V , ε>0 undk ∈ IN, k< 1 3 ε‖V 0‖. SeiD ⊆ V 0 eine Knotenmenge mit D ∩ S = ∅ für alle k-Segmente Smit ‖S ∩ V 0 ‖≥ 1 3 ε‖V 0‖. DannistD eine (ε, k)-erkennende Menge für V 0 .Theorem 3.15 Es seien ε>0, δ>0 und k ∈ IN.EsseiG =(V,E) ein ungerichteterGraph mit V 0 ⊆ V .Einezufällig gewählte Knotenmenge D ⊆ V 0 der Größe( k3Oε log 1 ε + 1 ε log 1 )δist mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1−δ eine (ε, k)-erkennende Menge für V 0 (bezüglichKanten- und Knotenausfall).Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007