INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

72 Kapitel 3. NetzwerkanalyseBeweis: Wir betrachten das Mengensystem (V,S k (G)). Nach Theorem 3.9 giltVC-Dim(V,S k (G)) ≤ 2k +1.Nach Lemma 3.7 existiert ein ε-Netz D ⊆ V für (V,S k (G)) der Größe( kf(2k +1,ε,δ)=Oε log 1 ε + 1 ε log 1 ).δHierbei kann D zufällig gewählt werden. Nach Lemma 3.3 ist jedes ε-Netz für (V,S k (G))auch eine (ε, k)-erkennende Menge in G.Bemerkung. Die im Theorem angegebene Größe der zufällig gewählten Knoten ist asymptotischoptimal.3.1.4 Erweiterungen von Kleinberg’s TechnikIm Folgenden betrachten wir zwei Erweiterungen des eben beschriebenen Ansatzes.1. Erweiterung: Wir teilen die Knotenmenge V von G auf in zwei Kategorien:• V 0 = Endknoten• V 1 = interne KnotenEs gilt V = V 0 ∪ V 1 . Monitore dürfen nur in V 0 platziert werden. Die (ε, k)-trennendenMengen und (ε, k)-erkennenden Mengen beziehen sich lediglich auf V 0 . An Stelle von S k (G)betrachten wir die Mengenfamilie:S k (G)| V0 = def {S ∩ V 0 | S ∈S k (G)}.Proposition 3.12 Es sei (Ω, F) ein endliches Mengensystem und Ω ′ ⊆ Ω. Es bezeichneF| Ω ′ die Familie {X ∩ Ω ′ | X ∈F}.DanngiltVC-Dim(Ω ′ , F| Ω ′) ≤ VC-Dim(Ω, F).Beweis: Für B ⊆ A ⊆ Ω ′ ⊆ Ω und X ′ = X ∩ Ω ′ ∈F| Ω ′gilt:Damit ist die Proposition bewiesen.B = A ∩ (X} {{ ∩ Ω }′ )=(A } {{ ∩ Ω }′ ) ∩ X = A ∩ X.∈F| Ω ′ =ASkriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007