INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

3.1. Dimensionierung und Positionierung von Monitorsystemen 71Beweis: Es sei A ⊆ V eine Knotenmenge mit ‖A‖ =2k +2. Wir müssen zeigen, dassA nicht von S k (G) zerschmettert wird. Nach Lemma 3.8 gibt es kantendisjunkte Pfadep 1 ,...,p k+1 , so dass jeder Knoten aus A als Endpunkt für genau einen Pfad vorkommt.O.B.d.A. seien die Elemente von A so nummeriert, dass a i und a i+k+1 die Endpunkte vonPfad p i sind. Wir betrachten die Menge B = {a 1 ,...,a k+1 }.Für jede Menge Z ⊆ E mit‖Z‖ ≤k gibt es einen Pfad p i ,derauchin(V,E \ Z) bestehen bleibt. Dann sind a i unda i+k+1 in der gleichen Zusammenhangskomponente, d.h. für S ∈S k (G) gilt:D.h. für alle S ∈S k (G) gilt B ≠ A ∩ S.a i ∈ S ⇐⇒ a i+k+1 ∈ SProposition 3.10 Es gibt Graphen G =(V,E) mit VC-Dim(V,S k (G)) = 2k +1.Beweis: Es gilt VC-Dim(V,S k (G)) ≤ 2k +1 für alle Graphen G (nach Theorem 3.9). Wirmüssen also Graphen finden, so dass eine (2k+1)-elementige Teilmenge von V durch S k (G)zerschmettert wird. Dazu betrachten wir den Sterngraphen K 1,2k+1 .EsseiA die Mengeder Blätter von K 1,2k+1 .WeiterhinseiB ⊆ A eine beliebige Teilmenge. Wir unterscheidenzwei Fälle.1. Es gelte ‖B‖ ≤k. DannseiZ die Menge der Kanten von Knoten in B zum Zentrumc, ‖Z‖ ≤k. DannistB die Vereinigung von Zusammenhangskomponenten. D.h.B = A ∩ X für X ∈S k (K 1,2k+1 )..C.BA \ B2. Es gelte ‖B‖ >k. Dann gilt ‖A \ B‖ = ‖V ‖−‖B‖ ≤k. Wir argumentieren nunweiter wie im ersten Fall (wobei wir B durch A \ B ersetzen).Damit wird A von (V,S k (K 1,2k+1 ) zerschmettert. Es gilt ‖A‖ ≥ 2k + 1. Daraus folgtVC-Dim(V,S k (K 1,2k+1 )) ≥ 2k +1.Theorem 3.11 Es seien ε>0, δ>0 und k ∈ IN.EsseiG =(V,E) ein ungerichteterGraph. Eine zufällig gewählte Knotenmenge D ⊆ V (unter Gleichverteilung) der Größe( kOε log 1 ε + 1 ε log 1 )δist mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1 − δ eine (ε, k)-erkennende Menge.Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007