INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

70 Kapitel 3. NetzwerkanalyseWir müssen nun noch zeigen, dass die VC-Dimension von (V,S k (G)) konstant ist.Die Idee, wie dies zu zeigen wäre, ist die folgende: Für eine hinreichend große KnotenmengeA ⊆ V betrachten wir für alle Knoten aus A ”benachbarte“ Knoten außerhalb vonA, dieüber paarweise kantendisjunkte Pfade erreichbar sind. Dann kann die Herausnahmevon k Kanten nicht alle Pfade zerstören. Es gibt also stets zwei Knoten in einer Zusammenhangskomponente,von denen einer zu A gehört und der andere nicht. Damit kann Anicht zerschmettert werden.Lemma 3.8 Es sei G = (V,E) ein ungerichteter zusammenhängender Graph. Es seiT ⊆ V ein Knotenmenge mit ‖T ‖ =2l für l ∈ IN. Dann gibt es paarweise kantendisjunktePfade p 1 ,...,p l , so dass alle v ∈ T Endpunkte für genau einen Pfad sind.Beweis: Es genügt, die Aussage für Bäume zu betrachten (ansonsten: ziehe Spannbaumheran). Wir beweisen die Aussage mittels Induktion über die Anzahl der Knoten in Bäumen.Induktionsanfang: Für n = 2 ist die Aussage offensichtlich.Induktionsschritt: Es sei H ein Baum mit n ≥ 3 Knoten. Sei T eine Knotenmenge mit denangegebenen Eigenschaften. Wir betrachten zwei Fälle:1. Es gibt ein Blatt v in H mit v/∈ T .Dannentfernev aus H und wende die Induktionsvoraussetzungan. Übernehme die Pfade für H.2. T enthält alle Blätter von H. Esseiv ein Blatt von H. Betrachten Nachbar w vonv. Wir unterscheiden wieder zwei Fälle:(a) Es gilt w ∈ T . Definiere H ′ als Baum H ohne Knoten v (und Kante {v, w}).Setze T ′ = def T \{v, w}. Wir wenden die Induktionsvoraussetzung auf H ′ undT ′ an. Es seien p 1 ,...,p r die Pfade nach Induktionsvoraussetzung. Dann sindp 1 ,...,p r , {v, w} die gesuchten Pfade für H.(b) Es gilt w /∈ T . Definiere H ′ als Baum H ohne Knoten v (und Kante {v, w}).Setze T ′ = def (T \{v}) ∪{w}. Wir wenden die Induktionsvoraussetzung aufH ′ und T ′ an. Es seien p 1 ,...,p r die Pfade für H ′ und T ′ nach Induktionsvoraussetzung.O.B.d.A. ende Pfad p r =(u 1 ,...,u t ,w)imKnotenw. Dannsindp 1 ,...,p r , (u 1 ,...,u t ,w,v) die gesuchten Pfade in H.Damit ist die Aussage bewiesen.Theorem 3.9 Es seien G = (V,E) ein ungerichteter Graph und k ∈ IN. Dann giltVC-Dim(V,S k (G)) ≤ 2k +1.Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007