INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

3.1. Dimensionierung und Positionierung von Monitorsystemen 69Dann gilt:∅ = {1, 2, 3}∩{4}{1} = {1, 2, 3}∩{1, 4}{2} = {1, 2, 3}∩{2, 4}{3} = {1, 2, 3}∩{3, 4}{1, 2} = {1, 2, 3}∩{1, 2, 4}{1, 3} = {1, 2, 3}∩{1, 3}{2, 3} = {1, 2, 3}∩{2, 3, 4}{1, 2, 3} = {1, 2, 3}∩{1, 2, 3}Die Menge S wird also von F zerschmettert, d.h. VC-Dim(Ω, F) ≥ 3. Auf der anderen Seite wird Ω nichtvon F zerschmettert, da z.B. die Menge {1, 3, 4} nicht darstellbar ist. Damit gilt also VC-Dim(Ω, F) =3.Proposition 3.5 Für jedes endliche Mengensystem (Ω, F) gilt VC-Dim(Ω, F) ≤ log ‖F‖.Beweis: Es sei S ⊆ Ω eine Menge, die von F zerschmettert wird. S enthält 2 ‖S‖ Teilmengen.Damit gilt ‖F‖ ≥ 2 ‖S‖ ,daF für jede Teilmenge A von S mindestens eine MengeX ∈Fbereit halten muss für A = S ∩ X. Für die Kardinalität einer größten Menge S max ,die von F zerschmettert wird, gilt mithinDamit ist die Proposition bewiesen.VC-Dim(Ω, F) =‖S max ‖≤log ‖F‖.Wir stellen nun einen Zusammenhang her zwischen VC-Dimension und (ε, k)-erkennendenMengen. Die Feststellung, dass D für alle S ∈S k (G) einen Knoten enthalten muss, führtzu folgender allgemeinen Definition.Definition 3.6 Es sei (Ω, F) ein endliches Mengensystem, ε>0. Eine Menge N ⊆ Ωheißt genau dann ε-Netz für (Ω, F), wennfür alle X ∈F mit ‖X‖ ≥ε‖Ω‖ gilt N ∩X ≠ ∅.Wir verwenden nun folgendes Lemma aus der Algorithmischen Lerntheorie (ohne Beweis).Lemma 3.7 (Blumer, Ehrenfeucht, Haussler & Warmuth 1990) Es seien (Ω, F)ein endliches Mengensystem mit VC-Dimension d, ε>0 und δ>0. Dann gibt es eineFunktion( df(d, ε, δ) =Oε log 1 ε + 1 ε log 1 ),δso dass eine zufällige Teilmenge aus Ω der Größe f(d, ε, δ) mit Wahrscheinlichkeit mindestens1 − δ ein ε-Netz für (Ω, F) ist.Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007