INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

68 Kapitel 3. NetzwerkanalyseVergleiche dazu auch folgende Abbildung.A ′ B ′Es gilt nun:• A ′ ∩ B ′ = ∅• ‖A ′ ‖≥‖A‖ ≥ε · n und ‖B ′ ‖≥‖B‖ ≥ε · n• A ′ ,B ′ ∈S k (G)DamitgibtesinD Knoten v 1 ∈ A ′ (der runde Knoten in der Abbildung) und v 2 ∈ B ′(der eckige Knoten in der Abbildung), v 1 ≠ v 2 . Diese Knoten liegen in verschiedenenZusammenhangskomponenten von (V,E\Z). Damit ist D eine (ε, k)-erkennende Menge.Wir bestimmen die Menge D also nicht bezüglich (ε, k)-trennender Mengen sondern bezüglichdes Mengensystems S k (G). Insbesondere muss D so gewählt werden, dass aus jederMenge S ∈S k (G) ein Knoten in D ist.Wir kümmern uns zunächst um die generelle Ausdrucksstärke von Mengensystemen.Definition 3.4 Es sei Ω eine endliche Grundmenge und es sei F eine Familie von Teilmengenvon Ω.1. Eine Menge A ⊆ Ω wird von F zerschmettert (engl. shattered) genau dann, wennes für alle B ⊆ A ein X ∈F gibt mit B = A ∩ X.2. Die Vapnik-Chervonenkis-Dimension (kurz VC-Dimension) von (Ω, F) ist diemaximale Kardinalität einer Teilmenge von Ω, dievonF zerschmettert wird, d.h.VC-Dim(Ω, F) = def max{l | es gibt S ⊆ Ω mit ‖S‖ = l und F zerschmettert S }.Beispiel. Wir betrachten folgendes Mengensystem (Ω, F) zusammen mit der Menge S ⊆ ΩΩ = {1, 2, 3, 4},F = {{4}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}}S = {1, 2, 3}Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007