INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

3.1. Dimensionierung und Positionierung von Monitorsystemen 673.1.3 Kleinberg’s Technik für den KantenzusammenhangDas Ziel für den weiteren Verlauf ist vorgegeben: Wir wollen D unabhängig machen vonder Graphengröße.Im Beweis von Proposition 3.2 überschätzen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die MengeD getrennt ist von einer Knotenmenge R j mit ‖R j ‖≥εn (insbesondere für große MengenR j ). Wir analysieren den Zusammenhang von G bei Entfernung von bis zu k Kantengenauer.Es seien G =(V,E) ein ungerichteter Graph und Z ⊆ E. MitC1 Z,...,CZ l Zbezeichnenwir die Zusammenhangskomponenten von (V,E \ Z). Die Menge S ⊆ V heißt genaudann trennbar mit k Kanten, wenneseinZ ⊆ E gibt mit ‖Z‖ ≤k, so dass eine MengeI ⊆{1,...,l Z } mit S = ⋃ i∈I CZ i existiert.Beispiel.C 1 C 2C 3Die Mengen ∅,C 1,C 2,C 3,C 1 ∪ C 2,C 1 ∪ C 3,C 2 ∪ C 3, und C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 sind alle trennbar mit 2 Kanten.Wir definieren für einen Graphen G =(V,E):S k (G) = def {S ⊆ V | S ist trennbar mit k Kanten}.Lemma 3.3 Es seien G =(V,E) ein ungerichteter Graph, ε>0 und k ∈ IN.SeiD ⊆ Veine Knotenmenge mit D ∩ S ≠ ∅ für alle S ∈S k (G) mit ‖S‖ ≥ε‖V ‖. DannistD eine(ε, k)-erkennende Menge.Beweis: Es seien Z ⊆ E eine Kantenmenge mit ‖Z‖ ≤ k und A, B ⊆ V getrennteKnotenmengen in (V,E \ Z) mit‖A‖, ‖B‖ ≥ε · n. Es seien A 1 ,...,A r und B 1 ,...,B s dieZusammenhangskomponenten von A und B. Wir definieren Mengen A ′ und B ′ vermöge⋃⋃A ′ = def Cj Z und B ′ = def Cj Z .A i ⊆C Z jB i ⊆C Z jVersion 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007