INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

66 Kapitel 3. NetzwerkanalyseBeweis: Es sei die Menge D ⊆ V der Kardinalität l = def ‖D‖ zufällig im Graphen Ggewählt. Es seien Z 1 ,...,Z t alle möglichen Kantenmengen mit bis zu k Kanten (darunteralso auch alle (ε, k)-trennenden Mengen). Es giltt =k∑( ) ( )‖E‖ ‖E‖≤ k .i ki=1Für Z j sei R j ⊆ V eine Knotenmenge, so dass ‖R j ‖≥ε·n gilt und R j von V \R j getrenntist (d.h. es gibt keinen Pfad von R j nach V \ R j ). Dann giltP [D ∩ R j = ∅]( ) ( ) n −‖Rj ‖ n −1(n −‖R j ‖)! l! · (n − l)!≤· =·l l l! · (n −‖R j ‖−l)! n!= n −‖R j‖· n −‖R j‖−1· ··· · n −‖R j‖−l +1n n − 1n − l +1( ) n −‖Rj ‖ l ( ) n − εn l≤≤≤ (1 − ε) lnnWir erhalten folglichProb[ D ist nicht (ε, k)-erkennend ]t∑( ) ‖E‖≤ Prob[D ∩ R j = ∅] ≤ k · · (1 − ε) lkj=1( ) e ·‖E‖ k≤ k ·· (1 − ε) lk( ) e ·‖E‖ k≈ k ·· e −εl für ε>0 kleinkFür die Aussage des Satzes genügt es nun zu zeigen, für welche l der letzte Term höchstensδ ist. Durch Logarithmieren ergibt sichln k + k · ln e ·‖E‖k− εl ≤ ln δ.Folglich muss gelten:l ≥ 1 ε ln k + k e ·‖E‖ln − 1} {{ } ε k ε ln δ .} {{ }− 1 ε ln 1 1kε ln 1 δDamitgibteseinl = O( k εlne·‖E‖k+ 1 ε ln 1 δ), das die Eigenschaft erfüllt.Bemerkung. Die Größe von D hängt immer noch von der Graphengröße ab.Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007