INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

3.1. Dimensionierung und Positionierung von Monitorsystemen 65Im Folgenden sei erschwerend angenommen, dass wir die Netzwerktopologie nicht kennen!Definition 3.1 Es sei G =(V,E) ein ungerichteter Graph, ε>0,k ∈ IN.1. Knotenmengen A, B ⊆ V heißen getrennt (in G), wenn für alle Knoten a ∈ A undb ∈ B kein Pfad von a nach b in G existiert.2. Die Menge Z ⊆ E heißt genau dann (ε, k)-trennend, wenn(a) ‖Z‖ ≤k und(b) der Graph (V,E\Z) enthält getrennte Knotenmengen A, B ⊆ V mit ‖A‖ ≥ε·nund ‖B‖ ≥ε · n.3. Die Menge D ⊆ V heißt genau dann (ε, k)-erkennend, wenn für alle (ε, k)-trennenden Mengen Z Knoten u, v ∈ D existieren, die in unterschiedlichen Zusammenhangskomponentenvon (V,E \ Z) liegen.Bemerkungen.1. V ist trivialerweise (ε, k)-erkennend für alle ε>0,k ∈ IN.2. Angenommen wir würden ε in der Definition weglassen, dann sieht die Definitionfür k-erkennend wie folgt aus: D ′ ⊆ V heißt genau dann k-erkennend, wennfür alleZ ⊆ E mit ‖Z‖ ≤k Knoten u, v ∈ D ′ in unterschiedlichen Zusammenhangskomponentenvon (V,E \ Z) existieren, falls (V,E \ Z) nicht zusammenhängend ist. Danngilt D ′ = V ,z.B.für jeden Kreis und k =2.3. Angenommen wir würden k in der Definition weglassen, dann sieht die Definitionfür ε-erkennend wie folgt aus: D ′′ ⊆ V heißt genau dann ε-erkennend, wennesfüralle Z ⊆ E Knoten u, v ∈ D ′ in unterschiedlichen Zusammenhangskomponenten Aund B mit ‖A‖, ‖B‖ ≥ε · n gibt, falls (V,E \ Z) nicht zusammenhängend ist. Danngilt ‖D ′ ‖≥(1 − ε) · n beispielsweise für den vollständigen Graphen K n .3.1.2 Eine einfache Analyse für den KantenzusammenhangWir analysieren die Strategie, die Menge D zufällig zu wählen.Proposition 3.2 Es seien ε>0, δ>0 und k ∈ IN.EsseiG =(V,E) ein ungerichteterGraph. Eine zufällig ausgewählte Knotenmenge D ⊆ V (unter Gleichverteilung) der Größe( k ‖E‖O logε k+ 1 ε log 1 )δist mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1 − δ eine (ε, k)-erkennende Menge.Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007