INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

2.4. Fallstudie: Klassifikation von IP-Paketen 61Algorithmus: MinimalAcyclicDP k AEingabe: azyklischer DP k A M =(Σ,Q,δ,q 0 ,F)Aufgabe: minimaler DP k A M ′ mit L(M ′ )=L(M)1. Eliminiere alle unerreichbaren Zustände2. Berechne die Höhen der Zustände mittels ComputeHeight3. Q:=Zustandsmenge nach Verschmelzung aller Zustände in { q ∈ Q | h(q) =0}4. FOR i := 1 TO h(δ(q 0 ))5. H[i] :={ q ∈ Q | h(q) =i }6. FOR q ∈ H[i]7. I(q) :=(χ F (q),δ(q,a 1 ),...,δ(q,a m ))8. Q:=Zustandsmenge nach Verschmelzung aller p, q ∈ H[i] mitI(p) =I(q)9. RETURN (Σ,Q,δ ′ ,q 0 ′ ,F), wobei δ′ ,q 0 ′ und F ′ durch die berechnete Zustandsmenge10. Q induziert werdenAbbildung 2.19: Der Algorithmus MinimalAcyclicDP k ABeweis: Offensichtlich.Für die Komplexität des Algorithmus MinimalAcyclicDP k A ergibt sich folgendes Bild:• Zeile 1 benötigt O(‖Σ‖·‖Q‖) Schritte• Zeile 2 benötigt O(‖Σ‖·‖Q‖) Schritte• Zeile 3 benötigt O(‖Q‖) Schritte• Zeilen 4–8 ( benötigen, falls Zeile 8 in der Laufzeit O(‖Σ‖·‖H[i]‖) realisiert werden∑h(q0))kann, Oi=1 ‖Σ‖·‖H[i]‖ = O(‖Σ‖·‖Q‖)Insgesamt ergibt sich also eine Laufzeit von O(‖Σ‖ ·‖Q‖) unter der Voraussetzung dereffizienten Realisierbarkeit von Zeile 8. Dies wird von dem Algorithmus SortState (sieheAbbildung 2.20) gewährleistet, der BucketSort als Sortierverfahren verwendet.Die Korrektheit von SortStates folgt aus der Stabilität von BucketSort. DieAnalyseder Komplexität ergibt eine Laufzeit von O(k+‖H[i]‖+‖Σ‖·‖H[i]‖) =O(k+‖Σ‖·‖H[i]‖).Ist k fest (und das ist natürlich bei gegebenem Router stets der Fall), so entspricht dieLaufzeit genau der geforderten.Theorem 2.49 Der Algorithmus MinimalAcyclicDP k A kann so implementiert werden,dass ein minimaler äquivalenter azyklischer DP k A zu gegebenem DP k A über einemAlphabet der Größe m und mit n Zuständen in der Zeit O(n · m) bestimmt wird.Beweis: Die Aussage folgt aus der angegebenen Herleitung und Analyse.Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007