INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

2.4. Fallstudie: Klassifikation von IP-Paketen 59Damit ist das Lemma bewiesen.Ein klassisches Resultat der Automatentheorie ist der Satz von Myhill und Nerode. MitHilfe dieses Satzes kann ein Verfahren angegeben werden, um zu einem gegebenen deterministischenendlichen Automaten einen minimalen deterministischen Automaten zu bestimmen,der bis auf Umbenennung der Zustände eindeutig bestimmt ist. Benjamin Hummelübertrug den Satz auf den Partitionsfall. Wir geben das Resultat ohne Beweis an.Theorem 2.45 (Myhill & Nerode 1958, Hummel 2006) Es sei M = (Σ,Q,δ,q 0 ,F ) ein DP k A ohne unerreichbaren Zustände. Dann ist der DP k AM ′ =(Σ, {[q] ≡m |q ∈ Q},δ ′ , [q 0 ] ≡M ,F)mit δ ′ ([q] ≡M ,a)=[δ(q,a)] ≡Mmit L(M) =L(M ′ ).der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte minimale DP k AIn unserem Kontext tritt eine Besonderheit für die Automaten auf: Die Komponenten L imit i ≥ 2 sind alle endlich. Dies werden wir im Folgenden ausnutzen.Es sei M =(Σ,Q,δ,q 0 ,F)einDP k A. Für q ∈ Q definieren wirW (q) = def { w ∈ Σ ∗ | χ F (ˆδ(q,w)) ≠1}h(q) = def sup{ 1+|w| |w ∈ W (q)}Es sollte beachtet werden, dass h(q) = 0 gilt, falls W (q) leer ist, und dass h(q) =∞ gilt,falls ‖W (q)‖ = ∞ ist.Proposition 2.46 Es sei M = (Σ,Q,δ,q 0 ,F) ein DP k A. Es seien p, q ∈ Q, p ≠ q,Zustände, so dass q von p aus erreichbar ist. Dann gilt h(q) ≤ h(p). Die Gleichheit giltnur dann, falls h(q) =∞ oder h(p) =0ist.Beweis: Es sei w ∈ Σ ∗ so, dass ˆδ(p, w) =q. Dann gilt für v ∈ W (q) stets wv ∈ W (p).Damit gilt h(p) ≥ h(q). Ist ‖W (q)‖ = ∞, soist‖W (p)‖ = ∞, d.h.h(q) = ∞ undh(p) =∞. Ist andererseits ‖W (p)‖ =0,soist‖W (q)‖ =0,daq von p aus erreichbar ist.Somit gilt h(p) = 0 und h(q) =0.Es sei weiterhin M =(Σ,Q,δ,q 0 ,F)einDP k A. M heißt genau dann azyklisch, wennesein l ∈ IN gibt, so dass für L(M) =(L 1 ,...,L k ) gilt: L i ∩ Σ ≥l = ∅ für alle i ∈{2,...,k}.Äquivalent können wir auch azyklische Automaten M mittels der Bedingung h(q 0 ) < ∞definieren.Beispiel. Für unser Beispiel P und f ist der Automat azyklisch. Die Höhen sind:h(q 0)=4 h(q 1)=2 h(q 2)=3 h(q 3)=1h(q 4)=2 h(q 5)=0 h(q 6)=0Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007