INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

58 Kapitel 2. DatenanalyseAlgorithmus: findLMPEingabe: DP k A M =(Σ,Q,δ,q 0 ,F), Wort s = s 0 ...,s n−1 ∈ Σ ∗Aufgabe: f F (p) für spezifischstes Präfix p ∈ P (repräsentiert durch M)1. q := q 02. h := χ F (q)3. FOR i := 1 TO (n − 1)4. q := δ(q,s i )5. IF χ F (q) ≠16. h := χ F (q)7. RETURN hAbbildung 2.17: Der Algorithmus findLMPEs sei M =(Σ,Q,δ,q 0 ,F)einDP k A. Ein Zustand q ∈ Q ist von p ∈ Q genau dannerreichbar, wenneseinWortw ∈ Σ + (= Σ ∗ \{ε}) mitˆδ(p, w) =q gibt. Ein Zustandq ∈ Q heißt unerreichbar, falls q von q 0 nicht erreichbar ist. Wir definieren eine Relation≡ M ⊆ Q × Q wie folgt:q ≡ p ⇐⇒ deffür alle w ∈ Σ ∗ gilt χ F (ˆδ(q,w)) = χ F (ˆδ(p, w))Lemma 2.44 Es sei M =(Σ,Q,δ,q 0 ,F) ein DP k A ohne unerreichbaren Zustände.1. Die Relation ≡ M ist eine Äquivalenzrelation.2. Ist p ≡ M q,sogiltδ(p, a) ≡ M δ(q,a) für alle a ∈ Σ.Beweis: Wir beweisen die Aussagen einzeln.1. Reflexivität und Symmetrie von ≡ M sind offensichtlich. Zum Nachweis der Transitivitätseien p ≡ M q und q ≡ M r für p, q, r ∈ Q. Wirmüssen p ≡ M r zeigen. Diesfolgt jedoch sofort, da für w ∈ Σ ∗gilt.χ F (ˆδ(p, w)) = χ F (ˆδ(q,w)) (wegen p ≡ M q)= χ F (ˆδ(r, w)) (wegen q ≡ M r)2. Es sei w ∈ Σ ∗ und a ∈ Σ. Dann gilt:χ F (ˆδ(δ(p, a),w)) = χ F (ˆδ(p, aw)) (nach Definition von ˆδ)= χ F (ˆδ(q,aw)) (wegen p ≡ M q)= χ F (ˆδ(δ(q,a),w)) (nach Definition von ˆδ)Mithin ist δ(p, a) ≡ M δ(q,a).Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007