INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

40 Kapitel 2. DatenanalyseWas ist nun eine gute Schätzung für die Anzahl der Einsen in einer Klasse C i mit abgelaufenenElementen? Die Antwort ist einleuchtend: 1 2 n i. Mit dieser Antwort ergibt sichunmittelbar folgende Aussage.Proposition 2.34 Es seien C 1 ,...,C m Histogrammklassen, die den Fensterinhalt einesMonitors zu einem beliebigen Zeitpunkt repräsentieren. Dabei gelte t 1 < ··· 0. Wir definieren k = def ⌈ 1 ε ⌉. Es seien C 1,...,C m die Histogrammklassen (sonummeriert, dass t 1 < ··· 0 (die Behandlung des Falles D = 0 ergibt sicht durchein einfache Abänderung unseres Algorithmus). Dann gilt D ≥ 1+ ∑ m−1j=1 n j. Mit Hilfevon Proposition 2.34 ergibt sich daraus für den relativen Fehler δ:δ ≤n m2 · D ≤ n m2 · (1 + ∑ m−1j=1 n j)Wenn wir also von unserem Algorithmus zur Aktualisierung der Histogrammklassen verlangen,dass er der BedingungInvariante. Zu jedem Zeitpunkt erfüllen die Histogrammklassen C 1 ,...,C mdie Eigenschaftn j2 · (1 + ∑ j−1i=1 n i) ≤ 1 kfür alle 1 ≤ j ≤ m.genügt, so bewegt sich der relative Fehler unserer Schätzung gerade im vorgegebenenGütebereich ±ε.Aus gewissen technischen Gründen wird es uns nicht möglich sein, die Invariante wiegefordert für alle 1 ≤ j ≤ m zu erfüllen sondern lediglich für alle k +2≤ j ≤ m. Diesistjedoch behebbar, wenn wir für den Fall m ≤ k + 1 eine präzisere Schätzung verwenden.Für m ≥ k + 2 garantiert uns die Invariante die Korrektheit unserer Approximation.Der in Abbildung 2.13 angegebene Algorithmus zeigt eine Umsetzung unserer Anforderungen.Dabei wird vorausgesetzt, dass wir nur Klassengrößen der Form 2 r betrachten, wasaber durch die verwendeten Verschmelzungsregeln impliziert ist.Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007