INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

38 Kapitel 2. DatenanalyseWir betrachten hier nur Monitore auf Basis der Reihenfolge. Schematisch lässt sich dasVerarbeitungsmodells wie folgt darstellen:Fenster (sliding window){ }} {32 31 ··· 3 2 1Indizesabg.Zeit··· 35 36 37 ··· 65 66 67 68 69 70 ··· i ···Datenstrom··· 1 0 1 ··· 1 0 1 1 0 1 ··· 1 ···} {{ }} {{ }} {{ }Abgelaufene Elemente Aktive ElementeZukunftige Elemente32 ··· 4 3 2 1··· 35 36 37 ··· 65 66 67 68 69 70 ··· i ······ 1 0 1 ··· 1 0 1 1 0 1 ··· 1 ···2.3.2 Exponenzielle HistogrammeExponenzielle Histogramme sind eine grundlegende Datenstruktur zur statistischen Auswertungvon Datenströmen. Die Datenstruktur geht auf Entwicklungen von Mayur Datar,Aristides Gionis, Piotr Indyk und Rajeev Motwani zurück.Wir betrachten dazu das folgende elementare Zählproblem: Ein Bitstream s ist ein unendlichesWort über {0, 1}. EsseiN ∈ IN + gegeben. Für einen Bitstream s wollen wir zu jedemZeitpunkt die Anzahl der Einsen unter den N letzten Datenstromelementen bestimmen;d.h. wir interessieren uns für die Größe |s i+1−N ...s i | 1 für alle i ≥ N.Proposition 2.331. Es gibt einen exakten Algorithmus für das elementare Zählproblem bei FenstergrößeN, dermitO(N) Speicherplatz auskommt.2. Jeder exakte Algorithmus für das elementare Zählproblem bei Fenstergröße N benötigtΩ(N) Speicherplatz.Beweis: Die erste Aussage ist offensichtlich (wenn wir einfach den gesamten Fensterinhaltabspeichern). Die zweite Aussage folgt unmittelbar aus der Behauptung, dass wirSkriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007