INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

34 Kapitel 2. Datenanalyse≤ n 1− 1 k ·= n 1− 1 k ·( n∑i=1( n∑i=1x k ix k i) 1 (k n∑) 2k−1k· x k ii=1) 2Bei der Abschätzung in der vorletzten Zeile haben wir benutzt, dass die Funktion f(x) =x kkonvex ist und somit die Jensensche Ungleichung angewendet werden kann. Wir erhaltenn( 1 ∑ nn i=1 x i) k ≤ n( 1 ∑ nn i=1 xk i ). Folglich gilt ∑ ni=1 x i ≤ n 1− 1 k ( ∑ ni=1 xk i ) 1 k .Korollar 2.30 Es sei Y [i] die Zufallsvariable, die von dem Algorithmus SampleCountin Zeile 12 für einen Datenstrom s berechnet wird. Dann giltIEY [i] =F k (s) und VarY [i] ≤ k · n 1− 1 k · F k (s) 2m 1.Beweis: Mit Hilfe von Proposition 2.27 erhalten wir für den ErwartungswertIEY [i] =IE 1 ∑m 1· X[i, j] = 1 ∑m 1· IEX = F k (s).m 1 m 1Für die Varianz ergibt sich⎛⎞VarY [i] = Var⎝ 1 ∑m 1X[i, j] ⎠m 1j=1j=1j=1= 1 · VarXm 1(mit Hilfe von Proposition 2.27)≤ 1 · IEX 2m 1≤ 1 · k · F 1 (s) · F 2k−1 (s)m 1(Lemma 2.28)≤k · n1− 1 km 1· F k (s) 2 (Lemma 2.29)Dies beweist die Aussage des Korollars.Unser Ziel ist es, die Fehlerwahrscheinlichkeit von SampleCount kleinzuhalten.Fürdiese gilt mit Korollar 2.30 und der Chebyshev’schen UngleichungProb[ |Y [i] − F k (s)| ≥δ · F k (s) ]≤VarY [i]δ 2 F 2 k (s) ≤ k · n1− 1 km 1 · δ 2 .Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007