INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

2.2. Datenströme 33Beweis: Wir rechnen wie folgt aus:IEX 2 = 1 N ·= N ·|s| n∑ ∑ aii=1 j=1() 2N · (j k − (j − 1) k )|s| n∑ ∑ ai(j k − (j − 1) k ) · (j k − (j − 1) k )i=1 j=1An dieser Stelle verwenden wir folgende Ungleichung, die für beliebige x>y>0 gilt:x k − y k =(x − y) · (x k−1 + x k−2 y + ···+ xy k−2 + y k−1 ) ≤ (x − y) · k · x k−1DamitergibtsichIEX 2 ≤ N ·≤ k · N ·= k · N ·Dies beweist die Aussage des Lemma.|s| n∑ ∑ aik · j k−1 · (j k − (j − 1) k )i=1 j=1|s| n∑ ∑ ai|s| k a i · (j k − (j − 1) k )i=1n∑i=1|s| 2k−1a ij=1= k · F 1 (s) · F 2k−1 (s)Lemma 2.29 Für alle Zahlen x 1 ,...,x n ∈ IR + gilt( n∑) ( n∑) ( n∑) 2x i · x 2k−1i≤ n 1− 1 k · x k i .i=1 i=1i=1(Für x 1 = n 1/k ,x 2 = ... = x n =1gilt Gleichheit bis auf konstanten Faktor.)Beweis: Es sei M =max 1≤i≤n x i . Dann gilt M k ≤ ∑ ni=1 xk i . Damit ergibt sich( n∑) ( n∑) ( n∑) ()n∑x i · xi2k−1 ≤ x i · M k−1 · x k ii=1 i=1i=1 i=1≤( n∑) ( n∑x i ·i=1 i=1x k i) k−1k·( n∑i=1x k i)≤( n∑) ( n∑x i ·i=1 i=1x k i) 2k−1kVersion 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007