INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

30 Kapitel 2. DatenanalyseFür die Komplexitätsanalyse erhalten wir nun:• Speicherplatz O( 1 ϑ)+O(c) (der additive Term O(c) kann eliminiert werden, indemleere Listen nicht verwaltet werden und stattdessen in L i immer die Anzahl k leererListen bis zur nächsten nicht-leeren Liste L i+k+1 notiert wird)• Laufzeit O(1) pro Datenstromelement im schlechtesten Fall (ohne Hashing)Theorem 2.24 Es gibt einen Zwei-Pass-Algorithmus für die Bestimmung von H(s, ϑ) aufeinem Datenstrom s der Länge N für ϑ ∈ (0, 1), dermitO( 1 ϑ) Platz und O(1) Schritten(ohne Hashing) pro Datenstromelement im schlechtesten Fall auskommt.Beweis: Der Algorithmus führt im ersten Pass den Algorithmus Compute Candidatesaus und bestimmt im zweiten Pass |s| a für alle a ∈ K und gibt alle a ∈ K mit |s| a >ϑ· Naus. Korrektheit folgt aus Proposition 2.23, die Platz- und Laufzeitschranken aus obigerImplementierung.Bemerkung. Für die Laufzeiten liegt das uniforme Kostenmodell zu Grunde.2.2.4 Exakte Algorithmen zur MomentenanalyseWir interessieren uns weiter für die statistische Auswertung ganzer Datenströme. Dazubetrachten wir folgende statistischen Größen.Definition 2.25 Es seien Σ ein endliches Alphabet der Größe n und s =(s 1 ,...,s N ) einDatenstrom der Größe N über Σ.1. Für k ∈ IN ist das (statistische) Moment F k (s) k-ter Ordnung von s definiert als∑F k (s) = def |s| k a .a∈Σ2. Das Moment F ∞ (s) der Ordnung ∞ von s ist definiert alsF ∞ (s) = def maxa∈Σ |s| a.Beispiele.• F 0(s) =‖{s 1,...,s N}‖ (Anzahl verschiedener Elemente in s).• F 1(s) =N.• F 2(s) heißt auch Homogenitätsindex von Gini (wird z.B. auch benutzt, um Einkommensverteilungvon Volkswirtschaften zu beurteilen oder um Bearbeitungspläne für Datenbankanfragen zu optimieren).Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007