INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

2.2. Datenströme 27Es sei (k 1 ,...,k r ) ∈ K N .Für dieses Tupel können wir jedoch für jedes i ∈{1,...,n−1} diezugehörigen Grenzen zu den Blöcken i − 1bzw.i + 1 unabhängig um bis zu ⌊ N 4n ⌋≤ 1 2 ⌊ N 2n ⌋nach links und rechts verschieben und es gilt⌈ N2n⌉+⌊ N4n⌋≤ 3N4n +1≤ 3 · ϑ · N +116 ist. Mithin gilt( ⌊ N n−1‖K N ‖≥ 2 +1).4n⌋Folglich erhalten wir log ‖K N ‖ =Ω(n log N n) als untere Schranke für den Speicherplatzvon A.2.2.3 Hot-List-Analyse mit zwei PässenWir gehen zur Betrachtung von Zwei-Pass-Algorithmen über. Der hier vorgestellte Algorithmusbasiert auf einer Idee von Richard M. Karp, Christos H. Papadimitriou und ScottJ. Shenker.Zunächst halten wir folgende einfache Abschätzung der Kardinalität von Hot-List-Mengenfest.Proposition 2.22 Für jedes s ∈ Σ ∗ und ϑ ∈ (0, 1) gilt ‖H(s, ϑ)‖ < 1 ϑ .Beweis: Es gilt für alle s ∈ Σ ∗ , ϑ ∈ (0, 1):N = |s| ≥∑|s| a >ϑ· N ·‖H(s, ϑ)‖.a∈H(s,ϑ)Damit folgt sofort nach Umstellung: ‖H(s, ϑ)‖ < 1 ϑ .Wir verwenden folgende Idee:Wenn alle Elemente im Datenstrom so angeordnet werden können, dass immerBlöcke der Größe ⌊ 1 ϑ⌋ mit paarweise verschiedenen Elementen entstehen, sokann ein Element höchstens ⌊ϑ · N⌋-mal im Datenstrom vorkommen.Für einen Datenstrom s und ein festes ϑ ∈ (0, 1) berechnen wir mit Hilfe dieser Ideezunächst in einem Pass eine Kandidatenmenge K mit ‖K‖ ≤⌊ 1 ϑ⌋ und H(s, ϑ) ⊆ K. Dieserfolgt mit dem Algorithmus ComputeCandidates wie in Abbildung 2.10 beschrieben.Proposition 2.23 Der Algorithmus ComputeCandidates ist korrekt.Version 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007