INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

2.1. Texte 21Hierbei ist s = abacb ein Wort über dem Alphabet Σ = {a, b, c}. Die nicht gezeichnetenÜbergänge führen immer in den Zustand ε. Dies wollen wir als generelle Vereinbarungbeibehalten.Allgemein konstruieren wir den endlichen Automaten wie folgt: Es seien Σ ein festes endlichesAlphabet und s ∈ Σ ∗ . Wir definieren eine Abbildung σ s :Σ ∗ → IN alsσ s (x) = def max{ j | s 0 ...s j−1 ist ein Suffix von x }.Besteht keine Verwechselungsgefahr bezüglich des Wortes s, so lassen wir den Index weg.Nun betrachten wir den folgenden Automaten M s =(Q, δ, q 0 ,F + ):• Q = def { s ′ | s ′ ist ein Präfix von s }• δ(s ′ ,a)= def s 0 ...s σ(s ′ a)−1 für s ′ ∈ Q und a ∈ Σ• q 0 = def ε• F + = def {s}Die Korrektheit der Konstruktion gilt wegen:Proposition 2.17 Es sei M s der deterministische endliche Automat für ein Wort s ∈ Σ ∗ .Für alle t ∈ Σ ∗ und für alle 0 ≤ i ≤|t| gilt ˆδ(t 0 ...t i−1 )=s 0 ...s σ(t0 ...t i−1 )−1.Beweis: Wir verwenden Induktion über i.1. Zum Induktionsanfang sei i = 0. Dann gilt die Aussage trivialerweise (ε = ε).2. Für den Induktionsschritt sei i > 0 (und i ≤ |t|). Es sei t ′ = def t 0 ...t i−2 unda = t i−1 ∈ Σ. Dann gilt für t 0 ...t i−1 = t ′ a:ˆδ(t ′ a) = δ(ˆδ(t ′ ),a) (nach Definition von ˆδ)= δ(s 0 ...s σ(t ′ )−1,a) (nach Induktionsvoraussetzung)= s 0 ...s σ(t ′ a)−1 (nach Definition von δ)Damit ist die Proposition bewiesen.Wenden wir uns nun dem zweiten, eingangs erwähnten Problem zu: Wie berechnen wir M s ,d.h. insbesondere die Übergangsfunktion δ? Haltenwirzunächst fest: ‖Q‖ =1+m. Esgibtalso keine trivialen Gründen, warum δ nicht berechnet werden können sollte. Weiterhingilt nach Definition σ s (s ′ )=|s ′ | für alle Präfixe s ′ von s. Insgesamt ergibt sich somit für0 ≤ i ≤ m − 1:σ s (s 0 ...s i−1 a) ={ i + 1 falls si = a gilt|∂(s 0 ...s i−1 a)| sonstVersion 0.6 Fassung vom 16. Februar 2007