INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

16 Kapitel 2. DatenanalyseDiese Argumentation können wir nun auch für die anderen Vorkommen durchführen underhalten unter der Vereinbarung n 0 = m − 1:⎛⎞r∑V (n, m, r) ≤ ⎝ 3(n j − n j−1 + m − 1) ⎠ + rm + V (n − n r + m − 1,m,0)j=1⎛⎞r∑≤ 3 ⎝ (n j − n j−1 ) ⎠ +3rm − 6r + rm +3(n − n r + m − 1)j=1= 3n r − 3n 0 +4rm − 6r +3n − 3n r +3(m − 1)= 3n +4rm − 6rDies beweist die Aussage des Satzes.Die Einsicht, die nun zu Galil’s Erweiterung des Algorithmus führt, ist die, dass ein Suchwortnur dann sehr häufig in t vorkommt, wenn die Vorkommen sich häufig überlappen.Mithin muss das Wort s in einem bestimmten Sinne periodisch sein. Wir formalisieren diesim Folgenden.Definition 2.10 Es sei w ein Wort über Σ.1. Ein Präfix u von w heißt genau dann Periode von w, wennw ein Präfix von u k fürk ≥ 1 ist.2. Das Wort w heißt genau dann periodisch, wennw ein Periode u mit |u| ≤ 1 2 |w|besitzt. Anderenfalls heißt das Wort w aperiodisch.Um Beispiele für die Begriffsbildungen zu geben, betrachten wir das Wort abaabaabaa.DiesesWort hat die Perioden aba, abaaba, abaabaaba und natürlich abaabaabaa. DiePeriodeaba belegt, dass abaabaabaa ein periodisches Wort ist.Eine alternative Charakterisierung für Perioden eines Wortes enthält die folgende Proposition.Proposition 2.11 Es seien u und w Wörter über Σ, wobeiu ein Präfix von w ist. Dannist u genau dann eine Periode von w, wenneseinv gibt, so dass w = uv gilt und vwiederum ein Präfix von w ist.Beweis:Übungaufgabe!Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007