INSTITUTFÜRINFORMATIK - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen ...

96 Kapitel 3. NetzwerkanalyseTheorem 3.39 Der Algorithmus TopologicalSort kann so implementiert werden,dass er für eine Pfadmenge P der Größe N = |P | = ∑ p∈P |p| (wobei |(v 1,...,v k )| = kist) eine Hierarchisierung für G P bezüglich {←, →} in O(N) Schritte bestimmt, falls eineexistiert.Beweis: Wir zeigen lediglich die Korrektheit: P erlaubt ein Hierarchisierung genau dann,wenn TopologicalSort ein totales ϕ ausgibt. Zwei Richtungen sind zu zeigen:(⇐) Es gilt U = V , falls TopologicalSort ein totales ϕ ausgibt. D.h. jedes u ∈ V wirdirgendwann in Zeile 7 aus Queue ausgelesen. Zu diesem Zeitpunkt gilt u ∈ V \ U.Nach Zeile 9 gilt deg − G P [V \U] (u) =0.Damitistϕ(G P ) azyklisch nach Proposition3.38. Die Senkenfreiheit ist offensichtlich.(⇒) Wir verwenden Induktion über |P | = ∑ p∈P |p|.Induktionsanfang: Der Fall |P | = 1 ist offensichtlich.Induktionsschritt: Es sei |P | > 1. Es gebe eine Hierarchisierung für P .Danngibtesein u ∈ V (P ), so dass u auf keinen p ∈ P in der Mitte liegt (nach Proposition 3.37und Proposition 3.38). Entferne v aus allen Pfaden (wie in Zeile 15). Dies führt zueiner neuen Pfadmenge P ′ mit folgenden Eigenschaften:1. |P ′ | < |P |.2. P ′ erlaubt eine Hierarchisierung.3. P ′ entspricht der Konstellation von TopologicalSort (in Zeilen 8–14), d.h.V \ U = V (P ′ ) und für alle v ∈ V (P ′ )istA[v] gerade die Anzahl der Pfade vonP ′ mit v in der MitteNach Induktionsvoraussetzung bestimmt TopologicalSort eine Hierarchisierungϕ(G P ′). Fügen wir u nun wieder zu den entsprechenden Pfaden hinzu mit den Orientierungϕ(u, v) =→ and ϕ(v, u) =← (wie in Zeile 8), so ist ϕ(G P )offenbareinetotale, azyklische (nach Proposition 3.38) und senkenfreie (nach Proposition 3.37)Orientierung.Damit ist die Korrektheit bewiesen.Bemerkungen.1. Es gibt heuristische Ansätze basierend auf Gradverteilungen in P und G P (aber sehrsensibel gegenüber der Pfadmenge).2. Zu entscheiden, ob es eine nichttriviale Hierarchisierung bezüglich {←, →, ↔} gibt,ist NP-vollständig.3. Der Algorithmus TopologicalSort kann so erweitert werden, dass er beliebigeswiderspruchsfreies Vorwissen respektiert.Skriptum zu Internet-Algorithmik WS 2006/2007