¨Ubungsblatt 5

Dr. S. Reifferscheid, 07.12.2011Übungsblatt 5Diskrete Optimierung“ im Wintersemester 2011/2012”Abgabe ist am 21.12.2011 um 10.15 Uhr in der Vorlesung, Besprechung ist am09.01.2012 in der Übungsgruppe1. Betrachten Sie das Blatt ”Kombination verschiedener Lösungsmöglichkeiten“ ausder Vorlesung und geben Sie zu jeder der möglichen Kombinationen ein Beispielan.2. Sei A ∈ R m×n und b ∈ R m . Beweisen Sie folgende Alternativsätze:(4 Punkte)• Entweder exisiert ein x ∈ R n mit Ax = b oder es existiert ein y ∈ R m mitA T y = 0 und b T y = 1.• Entweder exisiert ein x ∈ R n mit Ax ≥ b, x ≥ 0 oder es existiert ein y ∈ R mmit A T y ≤ 0, y ≥ 0 und y T b > 0.3. Gegeben sei das folgende Polyeder:(5 Punkte)P = {x ∈ R 2 | x 1 , x 2 ≥ 0, −4x 1 + 6x 2 ≤ 9}.Bestimmen Sie ein Polytop Q und einen Kegel K (vgl. Vorlesung, Beweis von Satzvon Meyer), so dass P = Q + K, und stellen Sie dies graphisch dar.(2 Punkte)4. Gegeben sei ein ganzzahliges lineares Programm (ILP) und die zugehörige LP-Relaxation (LP). Weiter sei(I) Das Programm hat eine optimale Lösung.(II) Das Programm hat zulässige Lösungen, aber die Zielfunktion ist auf der Mengeder zulässigen Lösungen unbeschränkt.(III) Das Programm besitzt keine zulässigen Lösungen.Überlegen Sie sich sich analog zum Blatt Kombination verschiedener”Lösungsmöglichkeiten“ aus der Vorlesung (für ILP und LP statt primales undduales Programm) welche Kombinationsmöglichkeiten möglich sind.(3 Punkte)

5. Gegeben sei das folgende ganzzahlige lineare Programm (ILP): Minimiere x 1 −2x 2 ,so dass gilt−4x 1 + 6x 2 ≤ 9x 1 + x 2 ≤ 4x 1 , x 2 ≥ 0, x 1 , x 2 ganzzahlig(a) Stellen Sie die LP-Relaxation dieses Problems auf und beweisen Sie, dassdiese eine optimale Lösung besitzt. Zeigen Sie weiter, dass auch das ILP eineoptimale Lösung besitzt.(b) Bestimmen Sie eine optimale Lösung x ∗ der LP-Relaxation graphisch. Istdiese ganzzahlig? Falls nein, bestimmen Sie eine Ungleichung, die von allenganzzahligen Lösungen erfüllt ist, nicht aber von x ∗ . Lösen Sie das um obigeUngleichung erweiterte LP und iterieren Sie das Verfahren, bis Sie eineoptimale Lösung des ILP erhalten haben.(3 Punkte)