Fibonacci trifft Pythagoras.pdf - Hans & Meta Walser

Hans Walser, [20100514a]Fibonacci trifft PythagorasAnregung: Isang Yun1 Worum geht es?Mit den Fibonacci-Zahlen werden pythagoreische Dreiecke konstruiert, die im Limes zuden Fibonacci-Zahlen zurückführen. Als Nebenresultat ergibt sich eine Folge von Konstruktionenfür den goldenen Schnitt.2 Pythagoreische DreieckeErinnerung: Mit u,v , u > v > 0 erhalten wir durcha = u 2 v 2 , b = 2uv, c = u 2 + v 2ein ganzzahliges Zahlentripel, welches der Bedingung a 2 + b 2 = c 2 genügt. Damitkönnen wir auch ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen konstruieren.Wir verwenden nun für u und v die Fibonacci-Zahlen F n der folgenden Tabelle. Diesehaben die Startwerte F 1 = 1, F 2 = 1 und die Rekursion F n = F n1 + F n2 . In der Tabellesind auf Vorrat auch noch die Lucas-Zahlen L n aufgelistet, welche sich von den Fibonacci-Zahlennur durch andere Startwerte L 1 = 1, L 2 = 3 unterscheiden. Die Rekursionist dieselbe.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15F n 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610L n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 13642.1 Versatz 1In der folgenden Tabelle sind für u und v die Fibonacci-Zahlen mit einem Versatz von 1verwendet worden, das heißt es ist u n,1 = F n+1 und v n,1 = F n . Die u sind gegenüber denv um eine Stelle versetzt.n u n,1 v n,1 a n,1 b n,1 c n,1a n,1b n,1c n,1b n,11 2 1 3 4 5 0.750000 1.2500002 3 2 5 12 13 0.416667 1.0833333 5 3 16 30 34 0.533333 1.1333334 8 5 39 80 89 0.487500 1.1125005 13 8 105 208 233 0.504808 1.1201926 21 13 272 546 610 0.498168 1.1172167 34 21 715 1428 1597 0.500700 1.1183478 55 34 1869 3740 4181 0.499733 1.1179149 89 55 4896 9790 10946 0.500102 1.11808010 144 89 12815 25632 28657 0.499961 1.11801711 233 144 33553 67104 75025 0.500015 1.118041

Hans Walser: Fibonacci trifft Pythagoras 2/912 377 233 87840 175682 196418 0.499994 1.11803113 610 377 229971 459940 514229 0.500002 1.11803514 987 610 602069 1204140 1346269 0.499999 1.11803415 1597 987 1576240 3152478 3524578 0.500000 1.118034Wir vermuten auf Grund dieser Tabelle:a n,1c n,1= 5b n,1lim = 1nb n,1 2 = 0.5, limn2 1.118034Für n nehmen die pythagoreischen Dreiecke das Seitenverhältnisa :b : c = 1:2: 5an. Das ist das klassische rechtwinklige Dreieck, das sehr vielen Konstruktionen desgoldenen Schnittes zugrunde liegt.2.2 Versatz 2Nun ist u n,2 = F n+2 und v n,2 = F n . Die u sind gegenüber den v um zwei Stellen versetzt,die v bleiben unverändert.n u n,2 v n,2 a n,2 b n,2 c n,2a n,2b n,2c n,2b n,21 3 1 8 6 10 1.333333 1.6666672 5 2 21 20 29 1.050000 1.4500003 8 3 55 48 73 1.145833 1.5208334 13 5 144 130 194 1.107692 1.4923085 21 8 377 336 505 1.122024 1.5029766 34 13 987 884 1325 1.116516 1.4988697 55 21 2584 2310 3466 1.118615 1.5004338 89 34 6765 6052 9077 1.117812 1.4998359 144 55 17711 15840 23761 1.118119 1.50006310 233 89 46368 41474 62210 1.118002 1.499976Wir vermuten auf Grund dieser Tabelle:alim n,2= 5c 1.118034, lim n,2= 3nb n,2 2nb n,2 2 = 1.5Für n nehmen die pythagoreischen Dreiecke das Seitenverhältnisan.a :b : c = 5 :2:3

Hans Walser: Fibonacci trifft Pythagoras 4/9Wir erkennen bei den a und c im Wechsel die Lucas-Zahlen und die Fibonacci-Zahlen.Wir vermuten somit:m ungerade: a m = L m , b m = 2, c m = F m 54 Beweisem gerade: a m = F m 5, b m = 2, c m = L m4.1 Schreibweisen und FormelnFür den goldenen Schnitt verwenden wir die Schreibweisen: = 1+ 52 1.618034, = 1+ 52Es ist = 1.Ferner verwenden wir die Formeln von Binet:F n = 1 5 n ( ) n 0.618034( ) und L n = n + ( ) nWegen < 1 ist lim ( )n = 0 ; wir können bei Grenzwertprozessen den -Anteiln weglassen.Schließlich die Formel von Catalan:2F r ( 1)rs 2 Fs = Fr+s F rsMit r = n + m und s = n lässt sich diese Formel von Catalan in folgender Form schreiben:2F n+m( 1) m 2F n = F2n+m F m4.2 GrenzdreieckeWir zeigen zunächst:2a m +2 bm =2 cmFür ungerades m erhalten wir unter Verwendung von = 1:L m2 + 4 =?5Fm2( ( )) 2( m + ( ) m) 2 + 4 = ? 5 1 5 m ( ) m 2m + 2( ) m + ( ) 2m + 4 = ? 2m 2( ) m + ( ) 2m2( ) m + 4 = ? 2( ) m2 + 4 = ? 2Für gerades m verläuft die Rechnung analog.ok

Hans Walser: Fibonacci trifft Pythagoras 5/94.3 GrenzwerteZu zeigen ist:m ungerade:alim n,m= L mnb n,m 2 , limnc n,m= F m 5b n,m 2am gerade: lim n,m= F m 5 c, lim n,m= L mnb n,m 2nb n,m 2Wegen der oben bewiesenen Pythagoras-Beziehung haben wir in jedem der beiden Fällenur einen der beiden Grenzwerte nachzuweisen.Zunächst sei wiederum m ungerade. Die Formel von Catalan lautet in diesem Fall:2F n+m2+ F n = F2n+m F mAufgrund der Formeln für die Konstruktion der pythagoreischen Dreiecke erhalten wirdamit:Weiter ist:Damit erhalten wir:limnc n,mb n,m= limn2c n,m = u n,m2+ v n,m2= F n+m+ F n2 = F2n+m F mb n,m = 2u n,m v n,m = 2F n+m F nF 2n+m F m2F n+m F n= F m2 limnF 2n+mF n+m F n= F m2 limn15 2n+m= F m 51 n+m 1 n 25 5Damit ist der Fall für ungerades m vollständig bewiesen.aFür gerades m läuft der Beweis analog, es wird lim n,m= F m 5bewiesen.nb n,m 25 Konstruktionen des goldenen Schnittes im QuadratrasterAufgrund der TabelleVersatz m a m b m c m1 1 2 1 52 1 5 2 33 4 2 2 54 3 5 2 75 11 2 5 56 8 5 2 187 29 2 13 58 21 5 2 47

Hans Walser: Fibonacci trifft Pythagoras 6/9ergibt sich eine Folge von Konstruktionen des goldenen Schnittes im Quadratraster,allerdings mit einer Fallunterscheidung bezüglich der Parität von m.In beiden Fällen beginnen wir mit einem Rechteck im Karoraster, das 3F m Einheitenlang und 2 Einheiten hoch ist.Für ungerades m arbeiten wir dann gemäß Figur (Figur exakt für m = 3). Am oberenRand wird durch Dritteln die Fiboancci-Zahl F m sichtbar gemacht. Am unteren Randtragen wir von rechts her den Abstand L m ein. Dann schlagen wir einen Bogen um dieEcke rechts oben gemäß Figur und erhalten auf dem oberen Rand einen Teilpunkt, welcherdas aus den ersten beiden Fibonacci-Strecken gebildete Intervall im Verhältnis desgoldenen Schnittes teilt. Der Kreisbogen verläuft von unten nach oben.F m F m F m2L mF m F m F m2L mm ungeradeDie blaue und die rote Strecke sind dann im Verhältnis des goldenen Schnittes.Für gerades m sieht das so aus (Figur exakt für m = 4 ). Nun werden die drei Fibonacci-Strecken am unteren Rand eingezeichnet und L m am oberen Rand von rechts her abgetragen.Der Kreisbogen hat immer noch die Ecke rechts oben als Zentrum, verläuft nunaber von oben nach unten.

Hans Walser: Fibonacci trifft Pythagoras 7/9L mF m F m F m2L mF m F m F m2Nun explizite Beispiele.m gerade5.1 m = 1Es ist F 1 = 1, L 1 = 1.m = 1

Hans Walser: Fibonacci trifft Pythagoras 8/95.2 m = 2Es ist F 2 = 1, L 2 = 3 .5.3 m = 3Es ist F 3 = 2, L 3 = 4 .m = 25.4 m = 4Es ist F 4 = 3, L 4 = 7 .m = 3m = 4

Hans Walser: Fibonacci trifft Pythagoras 9/95.5 m = 5Es ist F 5 = 5, L 5 = 11.m = 5