n Eck in n-2 Dreiecke - WWW-Seiten von Angehörigen der PH ...

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 3 DEISSLER4.3 Besondere Linien und Punkte im DreieckKapitel4_03_PP_Exp.docSatz 4.2 (Satz vom Mittendreieck)Verbindet man die Seitenmitten eines Dreiecks, so liegen dieSeiten des entstehenden Dreiecks parallel zu Seiten desAusgangsdreiecks und sind halb so lang.Beweis trivial mit Hilfe der Strahlensätze (⇒ Übungen)Beweis ohne Strahlensätze (Schule):Ausgangsdreieck ABC,Mittendreieck A‘B‘C‘.Spiegle das Mittendreieck A‘B‘C‘ anseinen Seitenmitten Ma‘, Mb‘, Mc‘ .⇒ ∆ ABC.Bei Punktspiegelung gilt:Bildstrecke || Originalstrecke.Hinweis: Eigentlich wird so nur bewiesen, dass man, ausgehend von ∆ A‘B‘C‘ ein Dreieck ∆ABCerhält, dessen Mittendreieck ∆ A‘B‘C‘ ist. Es wäre zu zeigen, dass man - ausgehend von ∆ABC unddessen Mittendreieck ∆A‘B‘C‘ - durch diese Spiegelung wieder zu ∆ABC gelangt.AB'Ma'C'Mc'M b'CA'B

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 4 DEISSLERKapitel4_03_PP_Exp.docSatz 4.3 (Besondere Linien im Dreieck)In einem Dreieck schneiden sicha) die Mittelsenkrechten im Umkreismittelpunkt U;Dreieck spitzwinklig: U innerhalb des DreiecksDreieck rechtwinklig: U auf der längsten DreiecksseiteDreieck stumpfwinklig: U außerhalb des Dreiecksb) die Winkelhalbierenden im Inkreismittelpunkt;c) die Seitenhalbierenden im Schwerpunkt S;dieser teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1;d) die Höhen im Höhenschnittpunkt.

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 6 DEISSLEREuler-GeradeUmkreismittelpunkt U, Schwerpunkt S und Höhen-Schnittpunkt Hliegen auf einer Geraden. Diese heißt Euler-Gerade.Kapitel4_03_PP_Exp.docCEs ist | | = 2⋅| | .SH USFbMbHFaMaBeweis nicht ausgeführt,verwendet Strahlensätze.SUA Fc Mc B

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 8 DEISSLERKapitel4_03_PP_Exp.docWir haben in den vorangehenden Kapiteln gezeigt:Je zwei in allen Bestimmungsstücken übereinstimmenden Dreieckekönnen durch genau eine Kongruenzabbildung aufeinander abgebildetwerden.Damit wird der Sachverhalt als richtiger Kongruenzsatz formuliert:Stimmen zwei Dreiecke in• den drei Seiten (sss),oder• den zwei an eine Seite anliegenden Winkeln (wsw),oder• zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws),oder• zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Ssw),überein, dann können sie durch eine Kongruenzabbildung aufeinanderabgebildet werden.

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 10 DEISSLERKapitel4_03_PP_Exp.docBemerkung:Die Gleichheit von Längenverhältnissen gilt nicht nur für Längen von Streckensondern auch für die Längen nicht geradliniger Linien (z.B. Kreisbögen usw.)abk⋅ak⋅bUm die Ähnlichkeit von Dreiecken nachzuweisen benutzt man häufig dieÄhnlichkeitssätze für Dreiecke.Man gewinnt sie unmittelbar aus den entsprechenden Kongruenzsätzen fürDreiecke.

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 11 DEISSLERKapitel4_03_PP_Exp.docÄhnlichkeitssatzentsprechender KongruenzsatzStimmen zwei Dreiecke inStimmen zwei Dreiecke inden Verhältnissen der drei Seitenoderzwei Winkelnoderden Verhältnissen von zwei Seitenund dem eingeschlossenen Winkeloderden Verhältnissen von zwei Seitenund dem der größeren Seitegegenüber liegenden Winkelüberein,dann sind sie zueinander ähnlich .den drei Seiten (sss)odereiner Seite und den anliegendenWinkeln (wsw)oderzwei Seiten und demeingeschlossenen Winkel (sws)oderzwei Seiten und dem der größerenSeite gegenüber liegenden Winkel(Ssw)überein,dann sind sie zueinander kongruent.

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 12 DEISSLERKapitel4_03_PP_Exp.doc4.6 Geometrische OrteGegeben: Dreieck ABC. Die Seite AB wird festgehalten.C wird so bewegt, dassC• der Flächeninhalt,• der Umfang,• der Winkel γAunverändert bleibt.BAuf welcher Linie läuft C? An welchem Ort befindet sich C?Man nennt diese Kurven (Punktmengen) den „geometrischen Ort derPunkte mit einer gewissen Eigenschaft“.

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 13 DEISSLERKapitel4_03_PP_Exp.docAufgabeDefinieren Sie die folgenden Kurven jeweils als „geometrischenOrt“:Der Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r.Die Mittelsenkrechte der Strecke AB.Die Winkelhalbierende des Winkels ∠h f , h g mit den Halbgeradenh f , h g als Schenkel.*Die Seitenhalbierende s c zur Seite c im Dreieck ABC.Welche Definition einer Ellipse als Ortslinie ergibt sich aus der2. Eigenschaft der Beispiele der vorangehenden Seite?

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 14 DEISSLER4.7 Winkelsätze: UmfangwinkelsatzKapitel4_03_PP_Exp.docSatz 4.5a) Die Umfangswinkel ( Peripherie-Winkel ) auf einem Kreisbogensind alle gleich groß (und ½ so groß wie der zugehörendeMittelpunktswinkel)b) Die Scheitel C aller Dreiecke ABC mit gleichem Winkel π bei Cüber einer Strecke AB liegen auf einem Kreisbogen, der durch Aund B verläuft.Kurz:Der geometrische Ort aller Punkte C, für die die Strecke AB unterdem gleichen Winkel π erscheint, ist ein Kreisbogen durch diePunkte A und B.Sonderfall: Satz des Thales

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 15 DEISSLERA4.7 Winkelsätze: Umfangwinkelsatzzu (a):ααCγβλδβBUmfangswinkel = α + βMittelpunktswinkel = λ2α+γ = 180°2β+δ = 180°λ = 360°- γ - δ= 360°- (180°-2α) - (180°-2β)= 2α + 2βUmfangswinkel = 1/2 λkonstant!Andere Lagen des Punktes C?Zu (b)Sei K der Kreis über zum Winkel π aus (a).Für Punkte C’ außerhalb des Kreises K ist der Winkel bei C’ kleiner als π,für C’ innerhalb von K größer als π .Begründung?Kapitel4_03_PP_Exp.doc

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 03 16 DEISSLER4.8 Flächensätze: Satzgruppe des PythagorasSatz 4.6Im rechtwinkligen Dreieck• ist das Hypotenusenquadrat so groß wie die Summe derKathetenquadrate,• ist ein Kathetenquadrat so groß wie das Rechteck aus Hypotenuseund anliegendem Hypotenusenabschnitt,• ist das Quadrat über der Höhe so groß wie das Rechteck aus denbeiden Hypotenusenabschnitten .Kapitel4_03_PP_Exp.docCCCAbphcaqBbA phcaqBAbpchaqB