¨Ubungen Nachrichtenübertragung I SS 2009 - Universität Bremen

I SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – ÜbungenInhaltsverzeichnis1 Partial Response 1Aufgabe 1 (pr03): Partial-Response-Vorcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Aufgabe 2 (pr04): Partial-Response-Codierung/Vorcodierung . . . . . . . . . . . . . 2Aufgabe 3 (pr05): Matched Filter,Partial-Response-Codierung . . . . . . . . . . . . 3Aufgabe 4 (pr07): Partial-Response-Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Aufgabe 5 (pr09): Partial-Response-Vorcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Matched Filter/Lineare Modulation 6Aufgabe 6 (mf11): Matched Filter, 1. & 2. Nyquist-Bedingung . . . . . . . . . . . . 6Aufgabe 7 (mf02): SNR mit und ohne Matched Filterung . . . . . . . . . . . . . . . 7Aufgabe 8 (mf08): Matched Filter, 1. Nyquistbedingung . . . . . . . . . . . . . . . 8Aufgabe 9 (lm14): ISI bei inkohärenter GMSK-Demodulation . . . . . . . . . . . . 9Aufgabe 10 (lm20): Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Aufgabe 11 (lm16): Minimum Shift Keying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Trägerregelung / Carrier phase recovery 13Aufgabe 12 (tp08): Trägerregelung 1. u. 2. Ordnung, Phasenjitter . . . . . . . . . . 13Aufgabe 13 (tp02): Trägerfrequenzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Aufgabe 14 (tp01): Trägerphasenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Aufgabe 15 (2007-03-carrier): Trägerphasenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Aufgabe 16 (tp10): Regelkreis 1.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Bitfehlerwahrscheinlichkeit 18Aufgabe 17 (ber08): Bitfehlerwahrscheinlichkeit für MSK und 2-DPSK . . . . . . . 18Aufgabe 18 (ber12): Bitfehlerwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Aufgabe 19 (ber15): Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei ISI . . . . . . . . . . . . . . . . 21Aufgabe 20 (ber16): Bitfehlerwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Aufgabe 21 (ber17): Bitfehlerwahrscheinlichkeit für QPSK . . . . . . . . . . . . . . 23

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 IIKonventionen und Nomenklatur• Alle Referenzen auf Textstellen (Kapitel- und Seitennummern) beziehen sich auf das Buch:K.-D. Kammeyer: “Nachrichtenübertragung”, 2. Auflage, B. G. Teubner Stuttgart, 1996,ISBN: 3-519-16142-7; Gleichungsreferenzen der Form (1.1.1) verweisen ebenfalls auf diesesBüch, solche der Form (1) auf die Lösungen zu den Übungsaufgaben.• Die Funktionen “rect (·)” und “tri (·)” sind definiert analog zu:N. Fliege: “Systemtheorie”, 1. Auflage, B. G. Teubner Stuttgart, 1991, ISBN: 3-519-06140-6.Daher hat “rect (t/T)” die zeitliche Ausdehnung T, wogegen “tri (t/T)” für ein Zeitintervallder Länge 2T ungleich null ist.• Die Buchstaben f und F stehen für Frequenzen (in Hertz), ω und Ω dagegen für Kreisfrequenzen(in rad/s). Auch ohne ausdrückliche Erwähnung gelten prinzipiell die Zusammenhängeω = 2πf bzw. Ω = 2πF (auch für die entsprechenden Größen mit Index etc.).• “δ 0 (t)” bezeichnet den kontinuierlichen(!) Dirac-Impuls, wogegen “δ(i)” für die diskrete(Einheits-)Impulsfolge steht.• Sogenannte “ideale” Tief-, Band- und Hochpaßfilter G(jω) nehmen im jeweiligen Durchlaßbereichden Betrag eins, im Sperrbereich den Wert null an.• Erregt eine diskrete Datenfolge d(i) der Rate 1/T ein kontinuierliches Filter mit derImpulsantwort g(t), so ist dies zu verstehen als[]∞∑x(t) = T d(i)δ 0 (t − iT) ∗ g(t) = TAbkürzungeni=−∞∞∑i=−∞d(i) · g(t − iT).AKF Autokorrelationsfunktion, -folge ISI Intersymbol-InterferenzBB Bandbreite; Basisband KKF Kreuzkorrelationsfunktion, -folgeBP Bandpaß NF NiederfrequenzDPCM Differentielle PCM PCM Pulse Code “Modulation”F{·} Fourier-Transformation PR Partial ResponseH{·} Hilbert-Transformation S/N=SNR Signal-to-Noise ratio (Signal-Stör-Verh.)HP Hochpaß TP TiefpaßVerfügbarkeit über InternetPDF (oder PS) -Dateien der Aufgaben können mit Hilfe eines WWW-Browsers vonhttp://www.ant.uni-bremen.deerhalten werden.

1 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – Übungen1 Partial ResponseAufgabe 1 (pr03):Partial-Response-VorcodierungKlausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 10.03.95 (Aufgabe 5)Ein Datensignal d(i) durchläuft wie unten dargestellt einen Partial–Response–Coder, der dieKoeffizienten{α ν } = {1,2,1}enthält. Die Sendedaten d(i)∈{0,1} seien statistisch unabhängig und gleichverteilt.d(i)PR-Coderc(i)a) Welche Signalstufen weist das Signal c(i) am Ausgang des PR–Coders mit welcher Häufigkeitauf?b) Berechnen und skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum des Signals c(i) im Bereich0 ≤ f ≤ 1/(2T). T bezeichnet hierbei den Bittakt.c) Zur Vermeidung von Fehlerfortpflanzung soll der Datenquelle nun eine Partial–Response–Vorcodierung nachgeschaltet werden (die so codierten Daten werden mit b(i) bezeichnet).Bestimmen Sie die Koeffizienten α ′ νBlockschaltbild des Vorcodierers an!des Vorcodierers und geben Sie das entsprechended) Die angegebene Wertefolge stellt einen Ausschnitt aus einem Datenstrom dar:d(i) = ... 0 0 1 0 1 1 1 0 0...Berechnen Sie hieraus unter Berücksichtigung der Vorcodierung die Datenfolge c(i) amAusgang des PR-Coders! (Im Grundzustand sind alle Zustandsspeicher auf Null gesetzt.)e) Leiten Sie von dem Beispiel in Aufgabenteil d) eine Vorschrift zur Entscheidung der Datenˆd(i) aus dem empfangenen Signal c(i) am Empfänger ab!

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 2Aufgabe 2 (pr04):Partial-Response-Codierung/VorcodierungKlausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 19.09.96Gegeben sei der abgebildeted(i) b(i)Partial-Response-Vorcodierer.z1 z1a) Geben Sie die vorcodierte Folge b(i), i ≥ 0, für die Eingangsfolge d(i) = 1 an. Die beidenSpeicher des Vorcodierers enthalten zum Zeitpunkt i = 0 die Werte Null.b) Geben Sie alle möglichen Partial-Response-Coder für den obigen Vorcodierer an, derenKoeffizienten die Bedingungenα 0 = 1, α 1 ,α 2 ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}erfüllen. Welche dieser Codes sind gleichanteilfrei ?c) Wählen Sie unter den gleichanteilfreien Codes denjenigen aus, der zu einer dreistufigenSendefolge c(i) führt. Zeichnen Sie das Blockschaltbild dieses Partial-Response-Coders.d) Verwenden Sie im folgenden den in Aufgabenteil c) ausgewählten Code. Geben Sie für die unterAufgabenteil a) bestimmte vorcodierte Folge b(i) die Coder-Ausgangsfolge c(i), i = 0,... 7,an. Nehmen Sie dabei an, daß die Speicher des Coders zum Zeitpunkt i = 0 die Werte Nullenthalten.

3 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – ÜbungenAufgabe 3 (pr05):Matched Filter,Partial-Response-CodierungKlausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 19.09.96Ein Datensender benutzt zur binären Datenübertragung (Bitrate 1/T) den abgebildeten Grundimpulsg(t).ag(t)-bT2Tta) Zeichnen Sie die Impulsantwort h(t) des zugehörigen Matched-Filters für den Empfänger(nichtkausale Darstellung).b) Bestimmen Sie die Gesamtimpulsantwort c(t) = g(t) ∗ h(t) durch “graphische Faltung” undskizzieren Sie sie für zunächst willkürliche Werte a und b.c) Wählen Sie die Konstanten a und b (a,b ≥ 0) so, daß sich am Empfänger nach derSymbolabtastung ein Partial-Response-Code der Form α ν = {−1,2, −1} ergibt.

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 4Aufgabe 4 (pr07):Partial-Response-CodierungKlausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 16.04.98Partial-Response-Coder können als nichtrekursive Filter (FIR-Filter) interpretiert werden, die imSymboltakt arbeiten. Eine Besonderheit dabei ist, daß für die Filterkoeffizienten nur ganzzahligeWerte gewählt werden.a) Geben Sie die Nullstellen-Diagramme der in der Vorlesung behandelten drei Codes mit denKoeffizienten {1,1}, {1,0, −1} und {−1,0,2,0, −1} an. Erläutern Sie anschaulich die Form derzugehörigen Leistungsdichtespektren, die in Bild 5.4.3 des Buches Nachrichtenübertragung“”von K.D. Kammeyer (Teubner-Verlag) abgebildet sind.b) Entwerfen Sie (durch entsprechende Wahl von Nullstellen im z-Bereich) einen reellwertigenPartial-Response-Code, der nur an den Stellen f = 1/(4T) und f = 1/(2T) Nullstellen imSendespektrum hervorruft. Geben Sie die Koeffizienten des Coders an.c) Bestimmen Sie die Koeffizienten des zu Aufgabenteil b) gehörenden Partial-Response-Vorcodierers und skizzieren Sie das entsprechende Blockschaltbid für die Vorcodierung.

5 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – ÜbungenAufgabe 5 (pr09):Partial-Response-VorcodierungKlausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 06.10.04 (Aufgabe 2)Ein Datensignal b(i) durchläuft einen Partial-Response-Coder, der die Koeffizienten{α ν } = {1,2,1}enthält. Die Sendedaten b(i)∈{0,1} seien statistisch unabhängig und gleichverteilt.b(i)PR-Coderc(i)(a) Welche Signalstufen weist das Signal c(i) am Ausgang des PR-Coders mit welcher Häufigkeitauf?(b) Zur Vermeidung von Fehlerfortpflanzung soll der Datenquelle d(i)∈{0,1} eine Partial-Response-Vorcodierung nachgeschaltet werden. b(i) entspricht damit nun den vorcodiertenSymbolen. Bestimmen Sie die Koeffizienten α ′ ν des Vorcodierers und geben Sie dasentsprechende Blockschaltbild des Vorcodierers an.d(i)Precoderb(i)PR-Coderc(i)(c) Die folgende Wertefolge durchläuft PR-Vorcodierer und PR-Codierer:d(i) = ...001011100...Berechnen Sie die Datenfolge c(i) am Ausgang des PR-Coders! (Im Grundzustand sind alleZustandsspeicher auf Null gesetzt.)(d) Leiten Sie von dem Beispiel in Aufgabenteil d) eine Vorschrift zur Entscheidung der Datenˆd(i) aus dem empfangenen Signal c(i) am Empfänger ab!

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 62 Matched Filter/Lineare ModulationAufgabe 6 (mf11):Matched Filter, 1. & 2. Nyquist-BedingungKlausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 10.09.92 (Aufgabe 6)Eine Datenquelle liefert die redundanzfreie Folge d(i)∈{−1,1}. Im Datensender erfolgt einerechteckförmige Impulsformung durch⎧⎨1/T für − T/2 ≤ t < T/2g(t) =⎩0 sonstAuf dem Übertragungswege wird additives weißes Rauschen überlagert.d(i)n(t)iTg(t)x(t)h(t)d^(t)+r(t) d^(i)+r(i)Sendefilter Empfangsfilter Entscheidera) Geben Sie die Matched-Filter-Impulsantwort für den Empfänger an. Skizzieren Sie die aufeins normierte Gesamtimpulsantwort y(t) des Übertragungssystems.Für die weiteren Aufgabenteile soll die Normierung der Gesamtimpulsantwort auf eins beibehaltenwerden. Ferner ist die Rauschquelle abgeschaltet.b) Konstruieren Sie das Augendiagramm am Matched-Filter-Ausgang. Prüfen Sie, ob dieerste und die zweite Nyquist-Bedingung erfüllt sind und begründen Sie dieses anhandder Gesamtimpulsantwort.c) Am Matched-Filter-Ausgang erfolgt eine Abtastung zu den Zeitpunktent i = iT + ∆t ;|∆t| ≤ T/2.Bei nichtidealer Abtastung (∆t ≠ 0) ergibt sich Intersymbol-Interferenz. Berechnen Siedas zugehörige (S/N) ISI -Verhältnis als Funktion von ∆t. Wie groß ist das (S/N) ISI für∆t = T/2?

9 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – ÜbungenAufgabe 9 (lm14):ISI bei inkohärenter GMSK-DemodulationGeben Sie das ISI–S/N–Verhältnis bei inkohärenter Demodulation eines GMSK–Signals mitf 3dB T = 0.3 an. Der Impuls ∆q(t) ist Bild 12.3.6 auf S. 446 zu entnehmen. Die Daten seienunkorreliert.

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 10Aufgabe 10 (lm20):ModulationDie Signalräume sowie die entsprechenden Komplexen Einhüllenden s(t) verschiedener Modulationsartensind in Abbildung 1 bzw. 2 dargestellt.(1) Im(2)11Im-11Re-11Re-1-1(3) Im(4)11Im-11Re-11Re-1-1Abbildung 1: Signalräume der Komplexen Einhüllenden s(t)s(t)(i)T 2T 3T 4T 5TtReIms(t)s(t)(ii)T 2T 3T 4T 5T(iii)tReImtReImT 2T 3T 4T 5Ts(t)(iv)T 2T 3T 4T 5TtReImAbbildung 2: Real- und Imaginärteil der Komplexen Einhüllenden s(t)(a) Ordnen Sie jedem in Abbildung 1 dargestellten Signalraum die entsprechende KomplexeEinhüllende aus Bild 2 zu.(b) Benennen Sie die vier hier dargestellten Modulationsarten.

11 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – Übungen(c) Bestimmen Sie die jeweiligen Bitraten für T = 2µs.(d) Bestimmen Sie für die in Abbildung 2 (iv) dargestellte Komplexe Einhüllende die gesendeteBitfolge unter der Annahme, dass die Daten sendeseitig vorcodiert wurden.

13 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – Übungen3 Trägerregelung / Carrier phase recoveryAufgabe 12 (tp08):Trägerregelung 1. u. 2. Ordnung, PhasenjitterKlausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 06.10.97Über einen Fernsprechkanal werden Daten mittels 8-PSK übertragen; die Symbolrate beträgt1/T = 2.4 kBaud. Es sollen die Einflüsse einer Frequenzverwerfung von ∆f = 75 Hz sowie einesPhasenjitters mit dem Phasenhub ∆φ j = π/3 und der Frequenz f j = 100 Hz untersucht werden,wobei additives Rauschen und lineare Kanalverzerrungen vernachlässigt werden.Im kohärenten Empfänger wird zunächst eine entscheidungsrückgekoppelte Trägerphasenregelung1. Ordnung verwendet.a) Berechnen Sie den statischen Phasenfehler ∆Θ und die resultierende Jitter-Amplitude ∆ˆΘ j ,wenn die Schleifenkonstante des Trägerphasen-Regelkreises a 0 = 1.0 beträgt.b) Kommt es infolge der beiden Einflüsse der Trägerregelung zu Symbolfehlentscheidungen?Begründen Sie Ihre Antwort.c) Welche Bedingung muß die Summe der Koeffizienten a 1 und a 2 einer Trägerregelung zweiterOrdnung erfüllen, um Entscheidungsfehler auszuschließen?d) Legen Sie nun bei der Trägerregelung 2. Ordnung die Konstante a 1 = 1.0 fest. Geben Sieden möglichen Wertebereich für a 2 an, wenn sowohl Entscheidungsfehler nach Aufgabenteilc) ausgeschlossen sein sollen als auch die Stabilität des Regelkreises gewährleistet werden soll.

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 14Aufgabe 13 (tp02):TrägerfrequenzregelungKlausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 07.04.04 (Aufgabe 4)Eine Datenquelle liefert eine Bitrate von 20 kbit/s. Bei der Übertragung mittels 8-PSK erfährt dasDatensignal eine Frequenzverwerfung von 100 Hz. Außerdem wird ein sinusförmiger Phasenjittermit der Amplitude ∆φ = π/2 und einer Jitterfrequenz von f j = 150Hz eingebracht. Am Empfängerwird eine entscheidungsrückgekoppelte Trägerregelung eingesetzt.(a) Dimensionieren Sie einen Regelkreis 1. Ordnung so, dass der maximale Phasenfehler um 50%unterhalb der Entscheidungsschwelle liegt.(b) Es wird eine Regelung 2. Ordnung eingesetzt, wobei der Koeffizient a 1 auf den Wert a 1 = 2gesetzt ist; Welche Bedingung muss der Koeffizient a 2 erfüllen, damit die Stabilität des Systemsgewährleistet wird und der maximale Phasenfehler 75% unterhalb der Entscheidungsschwelleliegt?

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 16Aufgabe 15 (2007-03-carrier):TrägerphasenregelungEin QPSK-Signal wird über einen gedächtnisfreien Kanal mit vernachlässigbaren Rauschenübertragen; die Symbolrate beträgt 1/T = 1,2 kBaud. Im kohärenten Empfänger wird eineTrägerphasenregelung 1.Ordnung eingesetzt. Die Regelkreiskonstante ist auf a 0 = 0,85 festgelegt.Der Frequenzoffset des lokalen Oszillators beträgt ∆f = 90 Hz. Das Empfangssignal enthält einensinusförmigen Phasenjitter der Frequenz 100 Hz mit einem Phasenhub von ∆Φ j = 30 ◦ .a) Bestimmen Sie den resultierenden Phasenverlauf ∆Ψ j (iT) nach der Phasenregelung undskizzieren Sie ihn über den Abtastzeiten iT. Tragen Sie die Symbol-Abtastwerte ein.Hinweis: Phasenjitter und Symboltakt seien so feinsynchronisiert, dass die Maximalwerteder Phasenjitterschwingung mit dem Symboltakt übereinstimmen.b) Bestimmen Sie die Symbolfehlerrate.c) Wie muss die Regelkreiskonstante geändert werden, damit die Fehlerrate gerade 0 wird.

17 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – ÜbungenAufgabe 16 (tp10):Regelkreis 1.OrdnungKlausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 06.10.04 (Aufgabe 4)Ein QPSK-Signal wird kohärent demoduliert. Die Bitrate beträgt 2kbit/s. Es wird eine Trägerregelung1.Ordnung verwendet. Die z-Transformierte des geschlossenen Regelkreises lautetNehmen Sie das Schleifenfilter G(z) alsan.F(z) =11 + G(z) .G(z) = 1z + c(a) Untersuchen Sie die Stabilität des geschlossenen Regelkreises für verschiedene Werte vonc. Für welchen der beiden Werte c 0 = √ 2 oder c 1 = −1 ist das Gesamtsystem stabil?(Begründung)(b) Bestimmen Sie für das stabile System den statischen Phasenfehler, wenn ein Frequenzoffsetvon ∆f = 10Hz am Empfängereingang vorhanden ist.(c) Der Übertragungskanal bewirkt zusätzlich einen Phasenjitter von 50 Hz mit einem Phasenhubvon φ j = 30 ◦ . Bestimmen Sie für das stabile System die Amplitude des Phasenjitters nachder Trägerphasenregelung.Hinweis: Bestimmen Sie die Schleifenkonstante a 0 anhand der Übertragungsfunktion des stabilengeschlossenen Regelkreises.

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 184 BitfehlerwahrscheinlichkeitAufgabe 17 (ber08):Bitfehlerwahrscheinlichkeit für MSK und 2-DPSKKlausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 06.10.97Bei einer MSK-Übertragung über einen AWGN-Kanal wird am Empfänger bei idealer kohärenterDemodulation eine Bitfehlerrate von P b = 2 · 10 −4 gemessen.a) Wie hoch ist unter den gleichen Kanalbedingungen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei 2-DPSK-Übertragung mit inkohärenter Demodulation?b) Um welchen Wert (in dB) müßte das Signal-/Störverhältnis erhöht werden, um bei inkohärenter2-DPSK ebenfalls die Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b = 2 · 10 −4 zu erhalten?Benötigte Werte der erfc-Funktion sind der untenstehenden Graphik zu entnehmen.10 -210 -3erfc(x) →10 -410 -52 2.2 2.4 2.6 2.8 3x →

19 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – ÜbungenAufgabe 18 (ber12):BitfehlerwahrscheinlichkeitKlausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 07.04.04 (Aufgabe 3)Das Ergebnis eines Fußballspiels ( A: Sieg der Heim-Mannschaft, B: Unentschieden, C: Niederlageder Heim-Mannschaft) soll einem Empfänger mitgeteilt werden, wobei die Ereignisse A, B und Cdie gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit haben. Dazu wird eine digitale Übertragung im Basisbandrealisiert, wobei die Ereignisse auf ein zweistufiges Alphabet mitA → d(1) = 1; d(2) = 0B → d(1) = 0; d(2) = 1C → d(1) = 1; d(2) = 1abgebildet werden. Auf dem Übertragungsweg wird das Signal d(i) von weißem Rauschen mit derLeistung σn 2 = 0.1 und der Verteilungsdichtefunktionp n (ζ) =1√2πσnexp(−ζ 2 /(2σ 2 n ))überlagert.(a) Bestimmen Sie die diskrete Verteilungsdichtefunktion des binären Signals d(i).(b) Legen Sie eine Schwelle S für die Datenentscheidung von d(i) so fest, dass die Wahrscheinlichkeiteiner Fehlentscheidung ˆd(i) ≠ d(i) am Empfänger minimiert wird. BerücksichtigenSie dabei die in Aufgabenteil (a) ermittelten a-priori Wahrscheinlichkeiten Pr{d(i) = 0} undPr{d(i) = 1}.(c) Bestimmen Sie nun mit Hilfe der Funktion erfc (siehe Graphik) die bedingte WahrscheinlichkeitPr{ ˆd(i) = 1|d(i) = 0} (die Wahrscheinlichkeit, dass unter der Bedingung d(i) = 0 dasgeschätzte Datum ˆd(i) den Wert 1 annimmt). Berechnen Sie außerdem auch die bedingtenWahrscheinlichkeiten Pr{ ˆd(i) = 0|d(i) = 1}, Pr{ ˆd(i) = 1|d(i) = 1} und Pr{ ˆd(i) = 0|d(i) = 0}.(d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die entschiedenen Daten keinem der EreignisseA, B oder C sinnvoll zugeordnet werden können.

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 2010 0 erfc(x) →10 −1x →10 −210 −30.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9

21 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – ÜbungenAufgabe 19 (ber15):Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei ISIKlausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 06.10.97Das untenstehend abgebildete Symboltaktmodell eines Übertragungskanals in nichtkausaler Darstellungsei durchH(z) = αz 1 + 1 + αz −1 mit 0 ≤ α ≤ 1gegeben.Die Sendedaten d(i)∈{−1,1} im Symboltakt seien statistisch unabhängig und gleichverteilt. AmKanalausgang steht das Signal y(i) zur Entscheidung an. Eine Rauschstörung ist nicht vorhanden.( )( ) ( )a) Wie lautet die Impulsantwort h(i) des Übertragungskanals?b) Erläutern Sie, ob das dargestellte Übertragungssystem die 1. Nyquistbedingung erfüllt.c) Bestimmen Sie für allgemeines α die Verteilungsdichtefunktion des empfangenen Signals y(i)(z.B. in Tabellenform oder als gewichtete Dirac-Folge) und skizzieren Sie diese für α = 0.25.d) Bestimmen Sie die resultierende Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die Wahl von α = 0.625, wennSie für die Schwelle S im nachfolgenden Entscheider den optimalen Wert verwenden.

“Nachrichtenübertragung I” – Übungen SS 2009 22Aufgabe 20 (ber16):BitfehlerwahrscheinlichkeitKlausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 10.04.03 (Aufgabe 6)Die Bitfehlerrate einer gray-codierten QPSK-Übertragungsstrecke mit den Sendedatend(i)∈ √ 1 2{1 + j; −1 + j;1 − j; −1 − j} beträgt P b = 2 · 10 −3 .a) Bestimmen Sie das E S /N 0 -Verhältnis in dB.b) Am Sender wird zur Impulsformung ein Rechteckimplus{1 0 ≤ t ≤ Tg TX (t) =0 sonstverwendet. Wie groß ist die spektrale Leistungsdichte N 0 /2 am Kanalausgang, wenn dasNutzsignal auf dem Übertragungsweg um dem Faktor √ 3 abgeschwächt wird?(Empfehlung: Setzen Sie Energien und Leistungsdichten im Bandpaßbereich an.)c) Auf welchen Wert muß die Amplitude für ein 8-PSK-Signal gegenüber dem QPSK-Signal ausAufgabenteil a) erhöht werden, um am Empfänger die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit von2 · 10 −3 zu erhalten?Benutzen Sie den folgenden Graph zur Bestimmung von Werten der erfc-Funktion.10 0 x10 −1erfc(x)10 −210 −310 −40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

23 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – ÜbungenAufgabe 21 (ber17):Bitfehlerwahrscheinlichkeit für QPSKEine Gray-codierten QPSK Übertragung mit dem Symbolalphabet{d(i)∈ d 0 = 1 √ + j ,d 1 = −1 √ + j ,d 2 = −1 √ − j ,d 3 = 1 − j }√2 2 2 2wird durch weißen Gauss’sches Rauschen überlagert. Das Signal zu Störverhältnis am Empfängerbeträgt E s /N 0 = 10[dB].10 −2 x →10 −3erfc(x) →10 −410 −52 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3(a) Wie hoch ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das entsprechende System?(b) Nehmen Sie an, dass das Symbol s1 gesendet worden ist. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeitanstelle des gesendeten Symbols das Symbol s2 zu detektieren? Geben Sie auch dieWahrscheinlichkeit für die Detektion der Symbole s2 und s3 an.I{ b =1, b =1}0 1j2{ b =0, b =0}0 1- 1212R{ b =0, b =1}0 1- j2{ b =1, b =0}0 1(c) Welcher E s /N 0 Verlust stellt sich ein, wenn am Sender die Bits entsprechend der unterenAbbildung auf den Symbolen abbgebildet wurden (anstatt Gray-Mapping)?