Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II ...

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Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikWegen der fehlenden Ahnung vom Musikgeschmack gelten fürderhin die bedingten Wahrscheinlichkeitenund natürlichP(B|A) = 3/4, P( ¯B|A) = 1/4P(B|Ā) = 0.(Wenn nicht in Disco, dann auch nicht auf einen der ersten drei Floors). Daraus ergibt sichsofort auch das komplementäre Ereignis P( ¯B|Ā) = 1. Die ”totale Wahrscheinlichkeit” istP( ¯B) = P(A)P( ¯B|A) + P(Ā)P( ¯B|Ā) = p + (1 − p). (5)4Gesucht ist die bedingte WahrscheinlichkeitAus dem Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitenergibt sich der Satz von Bayesw = P(A| ¯B). (6)P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)(7)und damitw =P( ¯B|A)P(A)P( ¯B)= 1 q.e.d. (8)− 3,4pLösungsvorschlag zu Aufgabe 4a: Lösung über ElementarereignisseDie Elementarereignisse sind:A 0 : Freundin nicht in DiskoA i : Freundin in Raum i ∈ 1, 2, 3, 4.Offenbar sind alle komplementär. Wir sind interessiert an dem Ereignis A = A 4 . Weiterhingibt für das Ereignis aus dem vorigen Abschnitt B = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 = A 0 ∪ A 4 . Damit ergibtsichP(A|B) ==P(A ∩ B)P(B)P(A 4 )P(A 0 ) + P(A 4 ) == P(A 4 ∩ (A 4 ∪ A 0 ))P(A 0 ∪ A 4 )p41 − p + p 4= 14p − 3.www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Satz von Bayes, Seite 6
Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikAufgabe 5: KrankheitEine Krankheit kommt bei ca. 5% der Bevölkerung vor. Ein Test zur Erkennung der Krankheitführt bei 99% der Kranken zu einer Reaktion, aber auch bei 2% der Gesunden. Wiegroß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der die Reaktion eintritt, die Krankheitwirklich hat?Lösungsvorschlag zu Aufgabe 5: KrankheitZum Selbermachen ...Aufgabe 6: Mit dem LKW in die TürkeiEine Speditionsfirma transportiert unter anderem Maschinenteile von Deutschland in dieTürkei (Wegstrecke: 4000 km). Da eine verzögerte Lieferung mit hohen Konventionalstrafenverbunden ist, ist vor jedem dieser Transporte eine Inspektion des LKW vorgesehen, diejedoch von den Fahrern aus Bequemlichkeit in 20% der Fälle nicht durchgeführt wird. OhneInspektion erleidet der LKW pro 1000 gefahrene km mit 3% Wahrscheinlichkeit eine Panne,die zu einer unzulässigen Verzögerung führt, mit Inspektion nur mit 0,5%.(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens einer Panne auf der 4000 km langenStrecke ohne und mit Inspektion?(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein auf der Strecke liegengebliebener Fahrer die Inspektionnicht durchgeführt ? Hinweis: Berechnen Sie zunächst die mittlere Pannenwahrscheinlichkeitdurch entsprechende Gewichtung der in (a) berechneten Wahrscheinlichkeiten(Lösung: 3,88%) und wenden Sie dann den Satz von Bayes an!(c) Neben Pannen gibt es mit P(D) = 1% Wahrscheinlichkeit andere Gründe, die zu unzulässigenVerzögerungen führen wie z.B. Zoll oder Verkehrsstaus. Mit welcher Wahrscheinlichkeitkommen die Maschinenteile verspätet an?Lösungsvorschlag zu Aufgabe 6: Mit dem LKW in die TürkeiPannenwahrscheinlichkeit: Es seien folgende Ereignisse definiert:A: Inspektion wurde durchgeführtB: Es gab mindestens eine Panne auf der Fahrt in die TürkeiC: Es gab mindestens eine Panne auf 1000 km FahrtBekannt ist die unbedingte (totale) WahrscheinlichkeitP(A) = 0.8,sowie die bedingten WahrscheinlichkeitenP(C|A) = 0.005 Pannenwahrscheinlichkeit pro 1000 km bei durchgeführter InspektionP(C|Ā) = 0.03 Pannenwahrscheinlichkeit pro 1000 km, falls die Inspektion nicht durchgeführtwurdewww.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Satz von Bayes, Seite 7
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