Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II ...

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikAufgabe 3: SchwarzfahrerIn Dresden wird im Mittel zu 10% Schwarzgefahren. 70% der Schwarzfahrer haben keine Fahrkarte,während die anderen 30% gefälschte oder illegal besorgte Karten besitzen. Von denehrlichen Fahrgästen haben im Mittel 5% ihre Fahrkarte vegessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeitist ein kontrollierter Fahrgast, der keine Karte vorzeigen kann, ein Schwarzfahrer?(Lösung: 7/11.5=61%)Lösungsvorschlag zu Aufgabe 3: SchwarzfahrerAus der Aufgabe ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten:P(S = Schwarzfahrer) = 1 10 ,P(K = keine Karte|S) = 7 10 ,P(F = falsche Karte|S) = 3 10 ,P(K|E = ehrliche Fahrgäste) = 0.05.Uns interessiert das Ereignis P(Schwarzfahrer|keine Karte), was sich nach Bayes auch ausdrückenlässt alsP(K|S) · P(S)P(S|K) = . (1)P(K)Wir brauchen dafür P(K), also die totale Wahrscheinlichkeit über die disjunkte Zerlegungder ehrlichen Fahrgäste und der Schwarzfahrer:P(K) = P(K|E)P(E) + P(K|S)P(S) = 0.05 · 0.9 + 0.7 · 0.1 = 0.115, (2)so dass sich als Ergebnis ergibtP(S|K) =0.7 · 0.10.115≈ 60.8%. (3)www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Satz von Bayes, Seite 4