Eine Visualisierung des Kosinussatzes - Hans & Meta Walser

Hans Walserblau + blau + grün = rotEine Visualisierung des KosinussatzesSLA-Herbsttagung 2008St. Gallen

IN HEAVEN 2ASSEMBLY INSTRUCTIONS from 02/2007Please note: Corner-posts, head, and side elements are numbered.CAUTION: Do not use a hammer! The pieces can be tapped togetherusing the heel of the hand if necessary.Always assemble the bed on a soft, clean surface.Two people are necessary for the assembly.1. Crew the threaded bolts into the corner-posts.Remove the cover from the headboard.Set the round SISO-joiners in the holes in the headboard and turnto the correct position.1Fit the pieces together until they can be tightened with theSISO-joiners (turn clockwise). An allen-key is provided.2. Repeat step 1 with the foot-board.3. Fix the sides to the corner-posts (head end).4. Fix the sides to the corner-posts (foot end).25. Now fit the transverse and longitudinal poles into the slots andtighten immediately (wrench provided) to prevent them falling downand causing damage or injury.6. Mount the base supports (right and left) in the holes in the bedsides and screw together.Similarly mount the brackets for the central support to the headand foot-boards.Slot the central support and foot into place.We recommend that 5cm (2 inches) of the mattress remainsshowing above the bed frame.55 55513 32ZEITRAUM GmbH · Äußere Münchner Str.2 · D-82515 Wolfratshausen · Tel +49 (0)8171 - 418130 · Fax +49 (0)8171 - 418141 · info@zeitraum-moebel.de · www.zeitraum-moebel.de

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 3/151 Worum es gehtEs wird eine zum Pythagoras-Piktogramm analoge Figur für nicht rechtwinklige Dreieckebesprochen. Dabei werden ähnliche gleichschenklige Dreiecke mit Basiswinkel oder 180° aufgesetzt.2 BildspracheDer relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreieckehaben den Basiswinkel 180° :blau + blau + grün = rotDer relevante Winkel im grünen Dreieck ist spitz; dies ist auch der Basiswinkel dergleichschenkligen Dreiecke:blau + blau = grün + rotDies erinnert an das Piktogramm für den Satz des Pythagoras, in welchem allerdings derFlächeninhalt des Dreieckes keine Rolle spielt:

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 6/15BBA= CBA= AB B = AB C = Wegen BBA= und AB C = ist BA= AC (gleiche Peripheriewinkel übergleich langen Sehnen). Da das Dreieck ACB gleichschenklig ist, folgt sogarCB = AC . Analog kann CA = BC gezeigt werden; das Viereck BC AC ist alsoein Parallelogramm.CB A CBACParallelogrammDaher ist:A CBA = A CBCund A ACB = A ACCAlso gilt:A ABC = A ABC = A ABC + A CBA + A ACBDamit ist der Flächensatz bewiesen.4 Link zu PythagorasDer Kosinus-Satz enthält für = 90° als Sonderfall den Satz des Pythagoras. Leiderkönnen wir in unserem Flächensatz den Winkel nicht als rechten Winkel wählen, dadie gleichschenkligen Dreiecke sonst zu Halbstreifen mit unendlich großem Flächeninhaltausarten würden. Zudem wäre die Frage, auf welcher Seite die Dreiecksfläche nunzu rechnen wäre, da = 90° als Grenzfall sowohl eines stumpfen wie eines spitzenWinkels zu sehen wäre. Allerdings könnte man argumentieren, dass eine endliche Dreiecksflächeim Vergleich zu den unendlichen Halbstreifen ohnehin quantité négligeableist. Aber statt über das Unendliche zu philosophieren, bleiben wir bei den Leuten undstutzen die gleichschenkligen Dreiecke. Wir schneiden sie bei relativ gleicher Höhe ab,so dass gleichschenklige Trapeze der respektiven Höhen µa , µb , µc mit frei wählba-

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 7/15rem µ übrig bleiben. Als Referenz an das übliche Pythagoras-Piktogramm wählen wirµ = 1.Die Frage ist, wie wir das zentrale Dreieck stutzen müssen, damit der Flächensatz wiedergilt. Dies sehen wir, wenn wir die abgeschnittenen Teile der gleichschenkligen Dreieckeneu zusammensetzen. Es entsteht dann ein kleines zentrales Dreieck, das zum ursprünglichenDreieck ähnlich ist und von diesem abgeschnitten werden muss. Übrigbleibt ein (im allgemeinen nicht gleichschenkliges) Trapez.Trapeze als gestutzte Dreiecke. Rest neu zusammengesetztWir erhalten so einen Flächensatz mit Trapezen:blau + blau + grün = rotFür einen spitzen Winkel gilt ein analoger Flächensatz:

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 8/15blau + blau = grün + rotIn beiden Fällen werden für 90° die blauen und das rote Trapez zu Quadraten unddas grüne Trapez verschwindet. Es entsteht das Pythagoras-Piktogramm.5 Iterationen. SpiralenDas Pythagoras-Piktogramm kann iteriert werden, indem wir der einen Kathete einzweites rechtwinkliges Dreieck aufsetzen.IterationDas zweite rechtwinklige Dreieck kann beliebig geformt sein. Es gibt jedoch zwei Sonderfälle,die bei der Weiterführung der Iteration je zu Spiralen führen.Der eine Sonderfall besteht darin, dass wir das zweite rechtwinklige Dreieck ähnlich(formgleich) zu ersten zeichnen. In der üblichen Beschriftung des rechtwinkligen Dreieckesheißt das, das der Winkel konstant bleiben soll. Bei der weiteren Iteration führtdas zu einer logarithmischen Spirale.Im zweiten Sonderfall soll die Kathete a konstant bleiben. Was entsteht in diesem Fall?Wir wollen nun diese beiden Fälle auch auf unsere neuen Figuren übertragen.

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 9/155.1 Formgleiche DreieckeEs entstehen logarithmische Spiralen.5.1.1 Rechtwinklige DreieckeIm folgenden Beispiel ist = 15° .blau + ··· = rot5.1.2 Stumpfwinklige und spitzwinklige DreieckeIm Beispiel links ist = 100°, = 15° , im Beispiel rechts = 70°, = 60° .blau + ··· + grün + ··· = rotblau + ··· = grün + ··· + rot

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 10/155.2 Konstante Seite5.2.1 Rechtwinklige DreieckeWir wählen die Kathete a konstant. Dabei muss sie so gewählt werden, dass es mit denQuadratflächen aufgeht. Die Figur enthält nur endlich viele Dreiecke. Die Figur zeigtder Reihe nach 1, 2, 3 und 100 Dreiecke. Es entsteht eine archimedische Spirale. Fürden Beweis siehe [Walser 2004].Archimedische Spirale

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 11/155.2.2 Stumpfwinklige DreieckeIn der folgenden Figurenfolge ist jeweils = 100° . Es sind der Reihe nach 1, 10, 100,1000 grüne Dreiecke gezeichnet.Logarithmische SpiraleWider Erwarten entsteht eine logarithmische Spirale. Beweis siehehttp://www.math.unibas.ch/~walser/Miniaturen/D/Dreiecksketten/Dreiecksketten.htm

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 12/155.2.3 Spitzwinklige DreieckeIn der folgenden Figurenfolge ist zunächst = 70° . Es sind der Reihe nach 1, 2, 10,100 grüne Dreiecke gezeichnet.DurcheinanderWir erkennen nichts als ein Durcheinander von Überlappungen.

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 13/15Wenn wir jedoch die ersten 20 Fälle weglassen, also nur die grünen und blauen Dreieckevon Nr. 21 bis 100, zeichnen, sieht es so aus:Das Ende vom BohnenliedEs ergibt sich ein regelmäßiger Stern mit neun Spitzen. Dies lässt sich so einsehen: Esist 2 = 140° ; das ist aber der Innenwinkel des regelmäßigen Neuneckes. Analog erhaltenwir eine regelmäßige Figur, wenn ein rationaler Teil des vollen Winkels von 360°ist. Für = 18° zum Beispiel ergibt sich folgende Pentagramm-Figur:Pentagramm

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 14/15Wir wählen jetzt einen zum vollen Winkel irrationalen spitzen Winkel , nämlich imBogenmaß = 1.22 69.90085100596°. In der folgenden Figurenfolge sind der Reihenach 1, 2, 10, 100 grüne Dreiecke gezeichnet.Irrationaler Winkel

Hans Walser: Eine Visualisierung des Kosinus-Satzes 15/15Weglassen der ersten 20 Fälle bringst nun nicht mehr; in der folgenden Figur sind von100 beziehungsweise 500 Fällen je die ersten 20 Fälle weggelassen worden.KreissägeblattLiteratur[Walser 2004]Walser, Hans: Pythagoras, eine archimedische Spirale und eineApproximation von . Praxis der Mathematik (6/46), 2004, S.287-288Websiteshttp://www.math.unibas.ch/~walser/Miniaturen/D/Dreiecksketten/Dreiecksketten.htm