Kapitel 1.3A Entscheidbarkeit und Komplexität - Fakultät für ...

Kapitel 1.3AEntscheidbarkeit und KomplexitätMathematische Logik (WS 2010/11) K. 1.3A: Entscheidbarkeit und Komplexität 1 / 1

Daten und WörterHierbei sind Daten endliche Darstellungen mathematischer Objekte.Bei natürlichen Zahlen werden also nicht die Zahlen selbst sondernderen Unär-, oder Binär- oder Dezimaldarstellung verwendet.Meist werden Daten als Wörter über einem gegebenen endlichenAlphabet A (d.h. als endliche Folgen von Symbolen (Buchstaben) ausA) gewählt. Die Menge aller Wörter über A wird mit A ∗ bezeichnet.Das Alphabet der Sprache der Aussagenlogik istA = {¬, ∨, ∧, →, ↔, (, ), A, 1}wobei die Aussagenvariable A i durch A1 i beschrieben wird.Aussagenlogische Formeln sind dann spezielle Wörter über diesemAlphabet.Mathematische Logik (WS 2010/11) K. 1.3A: Entscheidbarkeit und Komplexität 3 / 1

Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit:BeziehungenEine Funktion f : A ∗ → A ∗ ist genau dann berechenbar, wenn deren Graphentscheidbar (oder: aufzählbar) ist.Graph(f ) = {(w, v) : f (w) = v}Eine Menge M ⊆ A ∗ ist genau dann entscheidbar, wenn derencharakteristische Funktion{1 falls w ∈ Mc M (w) =0 sonstberechenbar ist.Eine Menge M ⊆ A ∗ ist genau dann entscheidbar, wenn die Menge A undderen Komplement M = A ∗ \ M aufzählbar sind.Insbesondere ist also jede entscheidbare Menge aufzählbar.(Wie man in der Berechenbarkeitstheorie zeigt, gibt es aber aufzählbareMengen, die nicht entscheidbar sind. Wir werden hierauf im letzten Teil derVorlesung zurückkommen.)Mathematische Logik (WS 2010/11) K. 1.3A: Entscheidbarkeit und Komplexität 5 / 1

Entscheidbarkeit und Berechenbarkeit in der AussagenlogikFür ein Wort w über dem AlphabetA = {¬, ∨, ∧, →, ↔, (, ), A, 1}der Sprache der Aussagenlogik ist entscheidbar, ob dieses eine al. Formel ist.D.h. die Menge F AL ⊆ A ∗ ist entscheidbar.Da man für eine Belegung B der in einer Formel ϕ vorkommenden Variablenden Wahrheitswert B(ϕ) berechnen kann und da man die endlich vielenBelegungen von V (ϕ) effektiv angeben kann, sind folgende Mengenentscheidbar:◮◮◮die Menge der erfüllbaren Formeln: {ϕ ∈ F AL : erf[ϕ]}die Menge der allgemeingültigen Formeln: {ϕ ∈ FAL : ag[ϕ]}die Menge der kontradiktorischen Formeln: {ϕ ∈ FAL : kd[ϕ]}Mathematische Logik (WS 2010/11) K. 1.3A: Entscheidbarkeit und Komplexität 6 / 1

Entscheidbarkeit und Berechenbarkeit in der Aussagenlogik(Forts.)Entsprechend kann man für Formeln ϕ und ψ entscheiden, ob dieseäquivalent sind. D.h. die (2-dim.) Menge {(ϕ, ψ) : ϕ äq ψ} ist entscheidbar.Aus den Normalformsätzen (für DNF und KNF) folgt, dass es berechenbareFunktionen f DNF und f KNF gibt, die jeder Formel ϕ eine äquivalente Formelin DNF bzw. KNF zuordnen.Zusammenfassend kann man feststellen, dass die grundlegenden syntaktischenund semantischen Begriffe der Aussagenlogik entscheidbar sind.Mathematische Logik (WS 2010/11) K. 1.3A: Entscheidbarkeit und Komplexität 7 / 1

KomplexitätDie Ausführung eines Algorithmus A erfolgt in Schritten, wobei in jedemSchritt eine elementare Operation ausgeführt wird.Bemerkung: Um dies zu präzisieren, muss man den Algorithmenbegriffformalisieren (was wir aber erst im letzten Teil der Vorlesung tun werden).Die Anzahl der von A bei einer Eingabe w durchgeführten Schrittebezeichnet man auch als die Rechenzeit time A (w) von A bei Eingabe w.Man sagt, dass der Algorithmus A f (n)-zeitbeschränkt ist (für eine Funktionf : N → N), falls für jede Eingabe w der Länge n die Rechenzeit von Alinear in f (n) beschränkt ist, d.h. time A (w) ∈ O(f (|w|)) gilt.Ein Problem (d.h. eine Menge) M ⊆ A ∗ ist in Zeit f (n) lösbar, wenn es einf (n)-zeitbeschränktes Entscheidungsverfahren für M gibt.Insbesondere heißt M in Linearzeit (Quadratzeit, Polynomialzeit) lösbar,wenn M in Zeit f (n) = n (f (n) = n 2 , f (n) = p(n) für irgendein Polynom p)lösbar ist.Die Komplexität von Berechnungsverfahren und (berechenbaren) Funktionen istentsprechend definiert.Mathematische Logik (WS 2010/11) K. 1.3A: Entscheidbarkeit und Komplexität 8 / 1

Komplexität in der Aussagenlogik: BeispieleDie Frage, ob ein Wort über dem Alphabet A der AL einen Formel ist, lässtsich in Quadratzeit entscheiden.Ebenso lässt sich für eine al. Formel ϕ und eine gegebene Belegung B derVariablenmenge V (ϕ) in Quadratzeit entscheiden, ob B die Formel ϕwahrmacht.Da die Anzahl der Belegungen von V (ϕ) exponentiell in |V (ϕ)| und daheri.a. exponentiell in der Länge von ϕ ist, erfordern die naiven Verfahren zurÜberprüfung der Erfüllbarkeit bzw. Allgemeingültigkeit von ϕExponentialzeit.Die in Kapitel 1.3 eingeführten schnellen Verfahren zeigen jedoch dass◮◮das Erfüllbarkeitsproblem für Formeln in DNF in Quadratzeit unddas Allgemeingültigkeitsproblem für Formeln in KNF ebenfalls inQuadratzeitlösbar sind.Mathematische Logik (WS 2010/11) K. 1.3A: Entscheidbarkeit und Komplexität 9 / 1

Komplexität in der Aussagenlogik: ein offenes ProblemDie Frage, ob das Erfüllbarkeitsproblem für Formeln in KNF ebenfalls inPolynomialzeit lösbar ist, gehört zu den interessantesten offenen Problemender Mathematik.Diese Frage ist äquivalent zu dem sog. P-NP-Problem, das viele als daszentrale offene Problem der Theoretischen Informatik ansehen und das zuden Milleniumsproblemen gehört:http://www.claymath.org/millennium/Erwartet wird eine negative Lösung, die zugleich zeigen würde, dasshunderte interessanter Optimisierungprobleme keine schnellen (allgemeinen)Lösungen besitzen. Auch basiert die Sicherheit gängigerVerschlüsselungsverfahren auf dieser Annahme.Eine unerwartete positive Lösung könnte daher auch für die Praxis vonenormer Bedeutung sein.LITERATUR: Garey, Michael R.; Johnson, David S. Computers and intractability.A guide to the theory of NP-completeness. W. H. Freeman and Co., 1979.Mathematische Logik (WS 2010/11) K. 1.3A: Entscheidbarkeit und Komplexität 10 / 1