1. Aufgabe 1.1 Kreuz- bzw. Kontingenztabelle, auch bivariate ...

1. Aufgabe1.1 Kreuz- bzw. Kontingenztabelle, auch bivariate Häufigkeitsverteilung.Mermal X: nominal, Merkmal Y: ordinal.Tabelle der beobachteten Häufigkeiten mit Randverteilungen:Ich (mein Kind) fühlt sich an der Schule wohl . . .Sehr Einigermaßen Nichth 0 .iSchüler 150 50 50 250Lehrer 30 10 10 50Eltern 150 25 25 200h 0 .j 330 85 85 n=5001.2 W (Y = Nicht) = 85 = 0, 175001.3 Man berechnet die bedingte Wahrscheinlichkeit:W (Y = Nicht/X = Lehrer) = 10 = 0, 20501.4 Bei unabhängigen Merkmalen gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit:W (Y = Nicht/X = Lehrer) = W (Y = Nicht) = 0, 171.5 H 0 : Beide Merkmale sind statistisch unabhängig.H 1 : Beide Merkmale sind nicht statistisch unabhängig.1.6 Tabelle der erwarteten Häufigkeiten (h e ij ):Ich (mein Kind) fühlt sich an der Schule wohl . . .Sehr Einigermaßen NichtSchüler 165 42,5 42,5Lehrer 33 8,5 8,5Eltern 132 34,0 34,0Berechnung der Prüfgröße:∑i=r∑j=s(h oχ 2 ij=− he ij )2i=1 j=1h e ijBerechneten Summanden (ho ij − he ij )2:h e ijIch (mein Kind) fühlt sich an der Schule wohl . . .Sehr Einigermaßen NichtSchüler 1,364 1,324 1,324Lehrer 0,273 0,265 0,265Eltern 2,455 2,382 2,382χ 2 = 12, 032Kritischer Wert: χ 2 c = χ 2 1 − α; ν= 13, 277 für α = 0, 01 und ν = (r − 1)(s − 1) = 2 · 2 = 4Da χ 2 < χ 2 c gilt, wird H 0 nicht abgelehnt. Die Merkmale sind statistisch unabhängig.1

2. Aufgabe2.1 Werte der ampirischen Verteilungsfunktion an der Stelle x i :x i 0 1 2 3 4 5 6F (x i ) 0,12 0,45 0,70 0,85 0,95 0,99 1,002.2 Erwartungswert: E(X) = ∑ ix i · f(x i ) = 0 · 0, 12 + 1 · 0, 33 + . . . 6 · 0, 01 = 1, 94Varianz: V ar(X) = E(X − E(X)) 2 = E(X 2 ) − [E(X)] 2mitE(X 2 ) = ∑ ix 2 i · f(x i) = 0 2 · 0, 12 + 1 2 · 0, 33 + . . . 6 2 · 0, 01 = 5, 64Daraus folgt: V ar(X) = 5, 64 − [1, 94] 2 = 1, 88 unddie Standardabweichung: σ(X) = √ V ar(X) = √ 1, 88 = 1, 372.3 W (X ≥ 1) = 1 − W (X < 1) = 1 − W (X = 0) = 1 − 0, 12 = 0, 882.4 W (1 ≥ X ≥ 3) = f(1) + f(2) + f(3) = 0, 12 + 0, 33 + 0, 25 = 0, 732.5 Umsatzrückgang: 80 · 25 · E(X) = 80 · 25 · 1, 94 = 38802.6 Die untere Schranke des Umsatzrückgangs ergibt sich aus:80 · 25 · (E(X) − σ(X)) = 80 · 25 · (1, 94 − 1, 37) = 1140Die obere Schranke des Umsatzrückgangs ergibt sich aus:80 · 25 · (E(X) − σ(X)) = 80 · 25 · (1, 94 + 1, 37) = 66203. Aufgabe3.1 Durchschnittliche Betriebsgröße der ersten Klasse:15.000/1.900 = 7, 89 ≈ 8 haDurchschnittliche Betriebsgröße der letzten Klasse:1800.000/300 = 2666, 7 ≈ 2667 ha3.2 Das arithmetische Mittel der landwirtschaftlichen Nutzfläche je Betrieb lässt sich aus der Gesamtflächeund der Gesamtzahl der Betriebe berechnen.Daraus folgt:µ = 1500000/5.000 = 300 ha je Betrieb.Man kann auch einen Nährungswert berechnen, wenn man die Formel des arithmetischen Mittel fürklassierten Daten anwendet:∑µ = k x ′ i · h i/Ni=1Dazu braucht man die Klassenmitte x ′ i jeder Klasse sowie die entsprechenden Klassenhäufigkeiten h i.Berücksichtigen muss man hier, dass es für die zwei offenen Klassen keine Klassemitte gibt. Man kannals Repräsentant dieser Klassen die in 3.1 berrechneten Betriebsgrößen verwenden. Dann bekommtman in diesem Fall den Wert 308.2

Durchschnittliche absolute Abweichung (MAD):∑MAD = k |x ′ i − µ| · h i/Ni=1Dabei muss man berücksichtigen, dass die offenen Klassen keine Klassenmitte haben. Als x ′ i für dieseKlassen werden die in 3.1 berechneten durchschnittlichen Betriebsgrößen verwenden. Da oben zwei unterschiedlichedurschnittliche Mittelwerte akzeptiert werden, sind hier vier Ergebnisse möglich. Diesesind: 360, 363, 363 und 364.3.3 Dieser Bereich befindet sich zwischen dem 1. und dem 3. Quartil. Um diese Quartile zu berechnen,braucht man die entsprechende Werte der empirischen Verteilungsfunktion an der unteren bzw. oberenGrenzen jeder Klasse. Die Werte der Verteilungsfunktion an der oberen Grenzen der Klassen sind:x 0 i 20 50 200 500 1000F (x 0 i ) 0,38 0,50 0,70 0,86 0,94Q 1 = x u i + 0, 25 − F (xu i )F (x o i ) − F (xu i ) · (xo i − x u 0, 25 − 0i ) = 0 + · (20 − 0) ≈ 130, 38 − 0Q 3 = x u i + 0, 75 − F (xu i )F (x o i ) − F (xu i ) · (xo i − x u 0, 75 − 0, 70i ) = 200 + · (500 − 200) ≈ 2940, 86 − 0, 703.4 Die kumulierten Merkmalswertanteile für die Konzentrationsmessung durch den Gini-Koeffizienten sinddie v i der Lorenzkurve. Sie lassen sich mit folgender Formel berechnen:i∑x ′ j · h jv i =j=1k∑x ′ j · h jj=1Die Gesamtnutzfläche beträgt 1.500 Tsd. ha.Z. B. die kumulierten Merkmalsanteile der 1. und der 2. Klasse berechnet man durch:v 1 = 151.500 = 0, 01, v 15 + 252 = = 0, 031.500i 1 2 3 4 5 6v i 0,01 0,03 0,10 0,27 0,47 1,003.5 Berechnung des Gini-Koeffizienten für klassierte Daten:G = 1 − 1 k∑N · h i · (v i−1 + v i ) = 1 − 1 · 1194, 33 = 0, 765.000i=13

4. Aufgabe4.1 Die Veränderungsrate des Verbraucherpreisindex gesamt bzw. für Nahrungsmittel der betrachtetenMonate 2006 gegenüber des Vorjahresmonats ergibt sich aus:pr kj = P ILkj 2006P IL kj − 1 mit k=2 (Februar), 3 (März), und 4 (April), und2005j= 1 (gesamt) und 2 (Nahrungsmittel)Darus folgt:P IL kj2005 = P ILkj 2006pr kj + 1Dabei muss man berücksichtigen, dass die Veränderungsrate in Prozent gegeben ist. Man muss vorherdurch 100 dividieren.Die Ergebnisse findet man in der folgenden Tabelle:April 2005 März 2005 Februar 2005Verbraucherpreisindex gesamt 1,077 1,076 1,072Verbraucherpreisindex Nahrungsmittel 1,057 1,054 1,0554.2 Aus der Agreggierbarkeit des Preisindex von Laspayres:P IL A+B = P IL A · G A + P IL B · G B ergibt sich für April 2006:P IL B = (P IL A+B − P IL A · G A )/G B = (1, 099 − 1, 070 · 0, 103)/0, 897 = 1, 102mit A=(Nahrungsmittel) und B=(andere Warenkorbpositionen)5. Aufgabe5.1 Korrelationskoeffizienten:r xy =s xy78.000= √ √ = 0, 827s x · s y 516.916 · 17.2095.2 Regressionskoefizienten:√b 2 = r · sy17.209= 0, 827 · √ = 0, 15s x 516.916b 1 = ȳ − b 2 · ¯x = 446 − 2.042 · 0, 15 = 137, 8735.3 Wenn das monatliche Haushaltsnettoeinkommen in einem 2-Personenhaushalten um 100 Euro steigt,erhöhen sich die Ausgaben für Nahrungsmittel und alkoholfreie Getränke um 15 Euro.√ √√SQR5.4 s E =n − 2 = (1 − r 2 ) · (n − 1) · s 2 y (1 − 0, 8272 ) · (400 − 1) · 17.209== 73, 8n − 2400 − 2s Es B2 = √=n∑(x i − ¯x) 2i=1s E√(n − 1) · s2 x=73, 8√(400 − 1) · 516.916= 0, 0054

5.5 Symetrisches Konfidenzintervall für β 2 : b 2 − ts B2 ≤ β 2 ≤ b 2 + ts B2Konfindenzniveau: 1 − α = 0, 95. Daraus ergibt sich t = 1, 96 und damit0, 15 − 1, 96 · 0, 05 ≤ β 2 ≤ 0, 15 + 1, 96 · 0, 0050, 14 ≤ β 2 ≤ 0, 165.6 Durchschnittliche Ausgaben eines Haushaltes mit 1.000 Euro Nettoeinkommen:ŷ 0 = b 1 + b 2 · x 0 = 137, 873 + 0, 15 · 1.000 = 289 EuroStandardfehler für den durchnittlichen Prognosewert:√ √√√√√1sŷ0 = s En + (x 0 − ¯x) 2 1n∑= s E(x i − ¯x) 2 n + (x 0 − ¯x) 2(n − 1) · s 2 xi=1√1 (1.000 − 2.042)2=73, 8 +400 (400 − 1) · 516.916 = 6, 55.7 Symetrisches Konfidenzintervall für E(Y 0 ):ŷ 0 − tsŷ0 ≤ E(Y 0 ) ≤ ŷ 0 + tsŷ0Konfindenzniveau: 1 − α = 0, 95. Daraus ergibt sich t = 1, 96 und289 − 1, 96 · 6, 5 ≤ E(Y 0 ) ≤ 289 + 1, 96 · 6, 5276 ≤ E(Y 0 ) ≤ 3026. Aufgabe6.1 µ = 26.2 W (X = 0) = f(0) = 0, 1353 bzw. W (X ≤ 4) = F (4) = 0, 94736.3 Wenn die Anzahl (X) der eintreffenden Gespräche je Zeiteinheit poissonverteilt mit dem Parameter µist, dann ist die Zeit (Y) zwischen zwei aufeinander folgenden Gesprächen exponentialverteilt mit demParameter λ = µ. Daraus ergibt sich λ = 2.6.4 E(Y ) = 1 λ = 1 = 0, 5 Minuten. Das entspricht 30 Sekunden.26.5 W (Y ≥ E(Y )) = W (Y ≥ 0, 5) = 1 − W (Y ≤ E(Y ))= 1 − [1 − e −λ·0,5 ] = e −λ·0,5 = e −1 = 0, 3679W (Y ≤ E(Y )) = 1 − W (Y ≥ E(Y )) = 1 − 0, 3679 = 0, 63216.6 Da die kleineren Werte die häufigsten sind, gilt es Me < µ. Die Verteilung ist damit linkssteil bzw.rechtsschief.5

7. Aufgabe7.1 Gleitende Durchschnitte dritter Ordnung:ỹ t = 1 1∑y t+j3j=−1ỹ 2 = 1 3 [y 1 + y 2 + y 3 ] = 1 [767.000 + 734.480 + 719.250] = 740.2433ỹ 3 = 1 3 [y 2 + y 3 + y 4 ] = 1 [734.480 + 719.250 + 706.720] = 720.1503ỹ 4 = 1 3 [y 3 + y 4 + y 5 ] = 1 [719.250 + 706.720 + 705.620] = 710.53037.2 Relative Veränderung mit konstanter Basis (2000): I k/00 = Y kY 00Die Indexreihe mit konstanter Basis (2000) ist:I 00/00 = 1.00, I 01/00 = 0, 96, I 02/00 = 0, 94, I 03/00 = 0, 92, I 04/00 = 0, 927.3 Die relativen jährlichen Veränderungen (in Prozent) gegenüber dem Vorjahr berechnet man durch:p t+1 = Y t+1Y t· 100p 2001/2000 = 734.480767.00 · 100 = 95, 8 p 2002/2001 = 719.250 · 100 = 97, 9734.480p 2003/2002 = 706.720719.250 · 100 = 98, 3 p 2004/2003 = 705.620 · 100 = 99, 8706.720Durchschnittliche Veränderungsrate in Prozent:√ √¯pr n = ( n − 1 yn− 1) · 100 = ( 4 705.620− 1) · 100 = 2y 1 767.0007.4 Um die durchschnittliche Veränderung des Verhältnisses zwischen Lebendgeborenen je Frauen im Alter15 bis unter 45 Jahre zu berechnen, muss man zuerst die Verhältniszahlen für den betrachtetenZeitraum berechnen:v i = LG iB i, für i = 1, 2, . . . , 5Die durchschnittliche Veränderung der v i vo 2000 bis 2005 berechnet man durch:√√ √√ √√√LG 5 √√√LG 5v5¯p 5 = 4 = 4 B 5vLG 1= 4 LG 1B 51B 1B 1=4√4LG 5LG 1=B 5B 10, 984√ 0, 99= 0, 986