vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik
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Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 84 Die Sprungantwort am Ausgang nimmt ohne Verzögerung den Maximalwert an und klingt dann mit der Zeitkonstante = 1 !g (Erinnerung an oben: RC-TP: !g = 1 RC , RL-TP: !g = R L ) bis auf Null ab. 5.8 weitere Tiefpässe und Hochpässe erster Ordnung Neben den eben besprochenen elementaren Tiefpässen 1.Ordnung, gibt es weitere Tiefpassschaltungen 1.Ordnung. So führt z.B. die folgende Schaltung auf eine tiefpassartige Übertragungsfunktion, läßt sich jedoch nicht auf die oben abgeleitete Form eines elementaren Tiefpasses bringen. Die Berechnung der Übertragungsfunktion ergibt H(s) = = = = = R2 (R3+ 1 sC ) R2+(R3+ 1 sC ) R1 + R2 (R3+ 1 sC ) R2+(R3+ 1 sC ) R2 + CsR2R3 R1 + R2 + CsR1R2 + CsR1R3 + CsR2R3 R2 (1 + R3C s) R1 + R2 + Cs(R1R2 + R1R3 + R2R3) 1 + R3C s R2 R1 + R2 R2 R1 + R2 1 + Cs R1R2+R1R3+R2R3 R1+R2 1 + R3C s 1 + C R3 + R1R2 R1 + R2 | {z } Entlade-Zeitkonstante Man stellt fest, dass die die Übertragungsfunktion o¤ensichtlich zwei Grenzfrequenzen hat, nämlich im Zähler !gz = 1 R3C und im Nenner !gn = C R3 + R1R2 R1+R2 , so dass folgende Schreibweise H(s) = R2 R1 + R2 1 + s !gz 1 + s !gn gerechtfertigt ist. Der s-abhängige, rechte Ausdruck läßt sich als Produkt von zwei Funktionen 1 + s !gz 1 + s !gn 1 = 1 + s ! !gn | {z } Nennerpolynom 1 + s !gz | {z } Zählerpolynom darstellen. Der linke Term ist identisch mit dem oben abgeleiteten Tiefpass. Er besteht aus einem Nennerpolynom. Der rechte Term besteht aus einem Zählerpolynom und hat folgenden s
Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 85 Amplitudenfrequenzgang (s = j!). Hz(s) = 1 + s !gz = 1 + j! !gz jHz(s)j = 1 + ! !gz daraus folgt der Amplitudenfrequenzgang 2 : Die Amplitudenfrequenzgänge beider Terme, nämlich des Nennerpolynoms und des Zählerpolynoms, sind im folgenden Diagramm zusammengestellt. Als Grenzfrequenzen wurden !gz = 2 10 kHz und !gn = 2 1 kHz gewählt. Da in der logarithmischen Darstellung die Multiplikation in eine Addition übergeht, entsteht die Produktkurve einfach durch Addition der Kurven für das Zähler- und das Nennerpolynom. Besonders einfach wird die Addition der asymptotischen Geraden, zu deren Konstruktion lediglich die beiden Grenzfrequenzen benötigt werden. Nach diesem Vorgehen, kann jede Übertragungsfunktion die folgendes Aussehen hat H(s) = 1 + s !gz 1 + s !gn sofort - praktisch ohne Rechnung! - in der Bode-Darstellung dargestellt werden. Für !gn < !gz ergibt sich ein tiefpassartiges- und für !gz < !gn ein hochpassartiges Verhalten. Das hochpassartige Verhalten ist ohne weiteren Kommentar im folgenden Diagramm, mit !gz = 2 1 kHz und !gn = 2 10 kHz dargestellt.
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<strong>Skript</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong> <strong>ES1</strong>, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 84<br />
Die Sprungantwort am Ausgang nimmt ohne Verzögerung den Maximalwert an und klingt<br />
dann mit der Zeitkonstante = 1<br />
!g (Erinnerung an oben: RC-TP: !g = 1<br />
RC , RL-TP: !g = R<br />
L )<br />
bis auf Null ab.<br />
5.8 weitere Tiefpässe und Hochpässe erster Ordnung<br />
Neben den eben besprochenen elementaren Tiefpässen 1.Ordnung, gibt es weitere Tiefpassschaltungen<br />
1.Ordnung. So führt z.B. die folgende Schaltung<br />
auf eine tiefpassartige Übertragungsfunktion, läßt sich jedoch nicht auf die oben abgeleitete<br />
Form eines elementaren Tiefpasses bringen. Die Berechnung der Übertragungsfunktion ergibt<br />
H(s) =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
R2 (R3+ 1<br />
sC )<br />
R2+(R3+ 1<br />
sC )<br />
R1 + R2 (R3+ 1<br />
sC )<br />
R2+(R3+ 1<br />
sC )<br />
R2 + CsR2R3<br />
R1 + R2 + CsR1R2 + CsR1R3 + CsR2R3<br />
R2 (1 + R3C s)<br />
R1 + R2 + Cs(R1R2 + R1R3 + R2R3)<br />
1 + R3C s<br />
R2<br />
R1 + R2<br />
R2<br />
R1 + R2<br />
1 + Cs<br />
R1R2+R1R3+R2R3<br />
R1+R2<br />
1 + R3C s<br />
1 + C R3 + R1R2<br />
R1 + R2<br />
| {z }<br />
Entlade-Zeitkonstante<br />
Man stellt fest, dass die die Übertragungsfunktion o¤ensichtlich zwei Grenzfrequenzen hat, nämlich<br />
im Zähler !gz = 1<br />
R3C und im Nenner !gn = C R3 + R1R2<br />
R1+R2<br />
, so dass folgende Schreibweise<br />
H(s) =<br />
R2<br />
R1 + R2<br />
1 + s<br />
!gz<br />
1 + s<br />
!gn<br />
gerechtfertigt ist. Der s-abhängige, rechte Ausdruck läßt sich als Produkt von zwei Funktionen<br />
1 + s<br />
!gz<br />
1 + s<br />
!gn<br />
1<br />
=<br />
1 + s<br />
!<br />
!gn<br />
| {z }<br />
Nennerpolynom<br />
1 + s<br />
!gz<br />
| {z }<br />
Zählerpolynom<br />
darstellen. Der linke Term ist identisch mit dem oben abgeleiteten Tiefpass. Er besteht aus<br />
einem Nennerpolynom. Der rechte Term besteht aus einem Zählerpolynom und hat folgenden<br />
s
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