vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik
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Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 74 Die Abhängigkeit in Form einer Potenz der Frequenz wird in der doppellogarithmischen Darstellung als Gerade jaj dB | {z } y f = 20 log10 a0 f0 wiedergegeben. Es ergeben sich folgende Abhängigkeiten a in dB 20dB/dec (f/f0) 40dB/dec (f/f0) 2 60dB/dec (f/f0) 3 n f = 20 ( n) log10 + const. f0 | {z } x 20dB/dec (f/f0) 1 40dB/dec (f/f0) 2 Frequenz in f/f0 60dB/dec (f/f0) 3 Daraus ergibt sich die für Frequenzgänge typische Steigung von 20 ( n) dB / Frequenzdekade . Man bezeichnet diese Steigung auch als den Omega-Gang der Frequenz. 5.3.5 Phasendiagramm Die Phase wird im Bode Diagramm linear über der logarthmischen Frequenzachse dargestellt. 5.4 Übertragungsfunktion einer linearen Schaltung Ganz allgemein ist die Übertragungsfunktion einer linearen Schaltung de…niert als Funktion der Laplacevariablen19 s Ausgangsgröße (s) H (s) = Eingangsgröße (s) 19 allgemein gilt: s = + j!; ist dabei der Realteil und ! der Imaginärteil der Frequenz. Ist = 0; so ist s identisch mit dem gut bekannten Ausdruck j!:
Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 75 Die Aus- und die Eingangsgrößen können dabei Ströme oder Spannungen sein. Wir werden hier i.d.R. mit dem Spannungsquotienten H (s) = ua (s) ue (s) rechnen. Sinngemäßgelten aber alle Resultate auch für die Stromquotienten. Interessiert man sich nur für das frequenzabhängige Verhalten also für die periodischen Lösungen bei harmonischer Anregung der Schaltung, so ersetzt man s durch j! und erhält mit H (!) = ua (!) ue (!) eine Funktion 20 , die den Frequenz- und Phasenverlauf der Übertragungsfunktion beschreibt. Sie ist immer dann ausreichend, wenn das Einschwingverhalten der Schaltung nicht interessiert und die Quellen der Schaltung nur harmonisch von der Zeit 21 abhängen und alle Quellen Signale derselben Frequenz liefern. Im folgenden werden die Übertragungsfunktionen für den Hoch- und den Tiefpass abgeleitet. 5.5 Hoch- und Tiefpässe 1.Ordnung, Vorbemerkungen In diesem Abschnitt werden die Übertragungsfunktionen von Zusammenschaltungen von ohmschen Widerständen mit genau einem nicht ohmschen Element untersucht. Zum Schlußdieses Abschnitts wird man sehen, dass anhand der Übertragungsfunktion entschieden werden kann, ob es sich die zugehöhrige Schaltung tiefpassartig oder hochpassartig verhält. Es wird sich auch zeigen, dass dieselbe Übertragungsfunktion durch unterschiedliche Schaltungen realisiert werden kann. 5.6 Tiefpass erster Ordnung Zunächst werden die folbenden beiden elementaren RC- und LC Tiefpass…lterschaltungen untersucht. Zur Ableitung der Übertragungsfunktionen wird im folgenden durchweg die Laplaceschreibweise verwendet und daraus alle Eigenschaften abgeleitet. 5.6.1 Übertragungsfunktion Die Ausgangsspannung berechnet sich für das RC- Tiefpass…lters zu ua(s) = 1 sC R + 1 sC ue (s) : 20 Oft ist auch die Schreibweise H (j!) anstatt H (!) üblich. 21 Die allgemeinste harmonische Zeitabhängigkeit ist durch die Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen mit beliebigen konstanten Koe¢ zienten gegeben. Beispiel: h(t) = 2:3 sin (!t) + 5:7 cos (!t) :
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<strong>Skript</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong> <strong>ES1</strong>, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 75<br />
Die Aus- und die Eingangsgrößen können dabei Ströme oder Spannungen sein. Wir werden hier<br />
i.d.R. mit dem Spannungsquotienten<br />
H (s) = ua (s)<br />
ue (s)<br />
rechnen. Sinngemäßgelten aber alle Resultate auch für die Stromquotienten. Interessiert man<br />
sich nur für das frequenzabhängige Verhalten also für die periodischen Lösungen bei harmonischer<br />
Anregung der Schaltung, so ersetzt man s durch j! und erhält mit<br />
H (!) = ua (!)<br />
ue (!)<br />
eine Funktion 20 , die den Frequenz- und Phasenverlauf der Übertragungsfunktion beschreibt. Sie<br />
ist immer dann ausreichend, wenn das Einschwingverhalten der Schaltung nicht interessiert und<br />
die Quellen der Schaltung nur harmonisch von der Zeit 21 abhängen und alle Quellen Signale<br />
derselben Frequenz liefern.<br />
Im folgenden werden die Übertragungsfunktionen für den Hoch- und den Tiefpass abgeleitet.<br />
5.5 Hoch- und Tiefpässe 1.Ordnung, Vorbemerkungen<br />
In diesem Abschnitt werden die Übertragungsfunktionen von Zusammenschaltungen von ohmschen<br />
Widerständen mit genau einem nicht ohmschen Element untersucht. Zum Schlußdieses<br />
Abschnitts wird man sehen, dass anhand der Übertragungsfunktion entschieden werden kann,<br />
ob es sich die zugehöhrige Schaltung tiefpassartig oder hochpassartig verhält.<br />
Es wird sich auch zeigen, dass dieselbe Übertragungsfunktion durch unterschiedliche Schaltungen<br />
realisiert werden kann.<br />
5.6 Tiefpass erster Ordnung<br />
Zunächst werden die folbenden beiden elementaren RC- und LC Tiefpass…lterschaltungen untersucht.<br />
Zur Ableitung der Übertragungsfunktionen wird im folgenden durchweg die Laplaceschreibweise<br />
verwendet und daraus alle Eigenschaften abgeleitet.<br />
5.6.1 Übertragungsfunktion<br />
Die Ausgangsspannung berechnet sich für das RC- Tiefpass…lters zu<br />
ua(s) =<br />
1<br />
sC<br />
R + 1<br />
sC<br />
ue (s) :<br />
20 Oft ist auch die Schreibweise H (j!) anstatt H (!) üblich.<br />
21 Die allgemeinste harmonische Zeitabhängigkeit ist durch die Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen mit<br />
beliebigen konstanten Koe¢ zienten gegeben. Beispiel: h(t) = 2:3 sin (!t) + 5:7 cos (!t) :
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