vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik
vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik
Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 68 wobei H(t) für die Sprungfunktion 18 steht. Den Laplaceausdruck für diese Sprungfunktion …ndet man in der Laplacetabelle im Anhang unter dem Eintrag L18, so dass sich schließlich für die Eingangsspannung folgende Laplacetransformierte 1 ue (t) = U0 H(t) U0 s = ue (s) ergibt. Das Symbol liest man: „Die Zeitfunktion am o¤enen Kreis hat die Laplacetransformierte am geschlossenen Kreis”. Es ist o¤ensichtlich, dass zum Kentlichmachen der Transformation kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf. 3. Sobald alle Größen in der Laplacevariablen s gefunden sind, wird damit die Schaltung berechnet. Hierzu können alle bisherigen Verfahren zur Schaltungsberechnung, insbesondere das Knotenspannungsverfahren, benutzt werden. Die Knotenspannung u1 der Beispielschaltung erhält man nach dem Knotenspannungsverfahren: und daraus 1 R1 1 R1 + 1 + s C u1 = R2 ue (s) R1 + 1 R2 + s C u1 = 1 U0 s R1 ua = 1 u1 = U0 s (R2 + R1 + R1R2sC) ua = U0R2 1 s (R2 + R1) + s2 R1R2C = R2 R1 1 R2C s 1 (R2+R1) | R1R2C + s2 {z } in Tabelle nachschlagen 4. Den Ausdruck für ua (s) formt man nun so um, dass ein Teilausdruck entsteht, dessen Zeitfunktion in einer geeigneten Laplacetabelle nachgeschlagen werden kann. Ist keine direkte Entsprechung verfügbar, so muss ein ähnlicher Ausdruck durch Koe¢ zientenvergleich - wie im Folgenden gezeigt - angepaßt werden. 1 s (R2+R1) R1R2C + s2 | {z } aus der Aufgabe = 1 (s + a) (s + b) | {z } aus der Tabelle (L28) U0 e at + e bt a b | {z } aus Tabelle (L28) Der Koe¢ zientenvergleich des Aufgabenausdrucks mit dem Tabellenausdruck ergibt s (R2 + R1) R1R2C + s2 ! = (s + a) (s + b) = a b + s(a + b) + s 2 setzt man b = 0 und a = (R2+R1) R1R2C , so sind beide Ausdrücke gleich und die Zeitfunktion des Aufgabenausdrucks ist 1 s (R2+R1) R1R2C + s2 e (R 2 +R 1 ) R 1 R 2 C t + e 0t (R2+R1) R1R2C 0 = R1R2C R2 + R1 1 e (R 2 +R 1 ) R 1 R 2 C t 18 Oft …ndet man die Sprungfunktion unter dem Namen Heaveside-Funktion, die auch mit H(t) oder mit (t) bezeichnet wird.
Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 69 5. Schließlich erhält man ua (t) oder mit = R1R2 R2+R1 C ua(t) = ua(t) = R2 R2 + R1 R2 R2 + R1 1 e (R 2 +R 1 ) R 1 R 2 C t 1 e t 6. Diskussion des Ergebnisses: Für t = 0 erhält man die Ausgangsspannung ua(0) = 0 . Für t ! 1 ergibt sich ua(t ! 1) = R2 R2+R1 U0 also der Wert des Widerstandsspannungsteiler ohne Kondensator. Zwischen 0 < ua < R2 R2+R1 U0 steigt die Spannung gemäßder Ladefunktion eines Kondensators mit der Zeitkonstante = R1R2 C an. R2+R1 7. Zur graphischen Darstellung des Ergebnisses müssen konkrete Werte eingesetzt werden. Das folgende Diagramm wurde erstellt mit U0 = 5 V , R1 = 1 k , R2 = 3 k und C = 10 nF. Handelt es sich um einen Tiefpass 1.Ordnung, so kann direkt aus der Steigung im Ursprung die Zeitkonstante berechnet werden. Aus der Gleichung ua(t) = R2 R2 + R1 1 e t U0 U0 U0
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<strong>Skript</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong> <strong>ES1</strong>, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 68<br />
wobei H(t) für die Sprungfunktion 18 steht. Den Laplaceausdruck für diese Sprungfunktion<br />
…ndet man in der Laplacetabelle im Anhang unter dem Eintrag L18, so dass sich schließlich<br />
für die Eingangsspannung folgende Laplacetransformierte<br />
1<br />
ue (t) = U0 H(t) U0<br />
s = ue (s)<br />
ergibt.<br />
Das Symbol liest man: „Die Zeitfunktion am o¤enen Kreis hat die Laplacetransformierte<br />
am geschlossenen Kreis”. Es ist o¤ensichtlich, dass zum Kentlichmachen der<br />
Transformation kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf.<br />
3. Sobald alle Größen in der Laplacevariablen s gefunden sind, wird damit die Schaltung berechnet.<br />
Hierzu können alle bisherigen Verfahren <strong>zur</strong> Schaltungsberechnung, insbesondere<br />
das Knotenspannungsverfahren, benutzt werden. Die Knotenspannung u1 der Beispielschaltung<br />
erhält man nach dem Knotenspannungsverfahren:<br />
und daraus<br />
1<br />
R1<br />
1<br />
R1<br />
+ 1<br />
+ s C u1 =<br />
R2<br />
ue (s)<br />
R1<br />
+ 1<br />
R2<br />
+ s C u1 = 1 U0<br />
s R1<br />
ua =<br />
1<br />
u1 = U0<br />
s (R2 + R1 + R1R2sC)<br />
ua = U0R2<br />
1<br />
s (R2 + R1) + s2 R1R2C<br />
= R2<br />
R1<br />
1<br />
R2C s<br />
1<br />
(R2+R1)<br />
|<br />
R1R2C + s2<br />
{z }<br />
in Tabelle nachschlagen<br />
4. Den Ausdruck für ua (s) formt man nun so um, dass ein Teilausdruck entsteht, dessen Zeitfunktion<br />
in einer geeigneten Laplacetabelle nachgeschlagen werden kann. Ist keine direkte<br />
Entsprechung verfügbar, so muss ein ähnlicher Ausdruck durch Koe¢ zientenvergleich - wie<br />
im Folgenden gezeigt - angepaßt werden.<br />
1<br />
s (R2+R1)<br />
R1R2C + s2<br />
| {z }<br />
aus der Aufgabe<br />
=<br />
1<br />
(s + a) (s + b)<br />
| {z }<br />
aus der Tabelle (L28)<br />
U0<br />
e at + e bt<br />
a b<br />
| {z }<br />
aus Tabelle (L28)<br />
Der Koe¢ zientenvergleich des Aufgabenausdrucks mit dem Tabellenausdruck ergibt<br />
s (R2 + R1)<br />
R1R2C + s2 ! = (s + a) (s + b) = a b + s(a + b) + s 2<br />
setzt man b = 0 und a = (R2+R1)<br />
R1R2C , so sind beide Ausdrücke gleich und die Zeitfunktion<br />
des Aufgabenausdrucks ist<br />
1<br />
s (R2+R1)<br />
R1R2C<br />
+ s2<br />
e (R 2 +R 1 )<br />
R 1 R 2 C t + e 0t<br />
(R2+R1)<br />
R1R2C<br />
0<br />
= R1R2C<br />
R2 + R1<br />
1 e (R 2 +R 1 )<br />
R 1 R 2 C t<br />
18 Oft …ndet man die Sprungfunktion unter dem Namen Heaveside-Funktion, die auch mit H(t) oder mit (t)<br />
bezeichnet wird.
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