vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik
vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik
Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 66 5 Zeit- und frequenzabhängige Schaltungen In diesem Abschnitt werden einfache zeit- und frequenzabhängige Schaltungen untersucht. Als mathematisches Hilfsmittel wird durchgängig von der Laplace Transformation gebrauch gemacht. Einführende Literatur zur Laplace-Transformation …ndet man in den Büchern von Papula [Pap97, Kapitel VI] und [Föl00]. 5.1 Laplace Methode 16 Die in der Grundlagenvorlesung eingeführte Berechnung von Schaltungen mit elektrischen und magnetischen Speichernelementen, wie Kapazitäten und Induktivitäten, wird in dieser Vorlesung durch die allgemeinere Laplace-Methode ersetzt, die im Grenzfall des eingeschwungenen Zustands bei harmonischer Anregung exakt mit der komplexen Methode übereinstimmt. Die Voraussetzungen für die Anwendung beider Methoden sind in der folgenden Abbildung zusammengestellt. Der entscheidende Vorteil der Laplace-Methode ist, dass eine lineare Schaltung auch damm berechnet werden kann, wenn das anregende Signal nicht harmonisch ist. Zudem ist die Laplace- Methode nicht auf die Berechnung harmonischer Ausgangssignale beschränkt, so dass auch Einschwingvorgänge berechnet werden können. Die Laplace-Methode wird von Papula wie im folgenden Zitat beschrieben. „Bei der mathematischen Behandlung naturwissenschaftlich-technischer Probleme wie z.B. Ausgleichs- und Einschwingvorgängen stößt man immer wieder auf lineare Di¤erentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koe¢ zienten. Die Standardlösungsverfahren für derartige Di¤erentialgleichungen wurden bereits in Kapitel V ausführlich behandelt. Ein weiteres Lösungsverfahren, das auf einer Anwendung der sog. Laplace-Transformation beruht, hat sich in der Praxis als sehr nützlich erwiesen und spielt daher (insbesondere in der Elektro- und Regelungstechnik) eine bedeutende Rolle. Wir versuchen nun anhand eines einfachen Anwendungsbeispiels einen ersten Einstieg in diese zunächst etwas kompliziert erscheinende Lösungsmethode.” [Pap97, Kapitel VI, Seite 626] 16 Diese Vorlesung führt nicht in die Theorie der Laplacetransformation ein, sondern verwendet die Laplacetransformation als Hilfsmittel zur Berechnung linearer Schaltungen mit beliebigen Anregungen.
Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 67 Es ist sicher sinnvoll, sich die von Papula angegebenen Beispiele einmal genauer anzusehen. Mathematisch gesehen ist die Laplace-Mehode ein algebraisches Verfahren zur Lösung von linearen Di¤erenzialgleichungen mit konstanten Koe¢ zienten unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen. Im Folgenden wird anhand eines Beispiels in die rein handwerkliche Seite der Laplace-Methode eingeführt. 5.1.1 Beispielschaltung 1 Zu berechnen ist der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung ua (t) der folgenden Schaltung, wenn der zeitliche Verlauf der Eingangsspannung durch die Funktion gegeben ist. ue (t) = 0V für t < 0 U0 für t 0 Berechnung der zeitabhängigen Ausgangsspannung ua(t) Zunächst werden alle zeitabhängigen Größen der Schaltung in der Laplacevariablen s ausgedrückt 17 . Sinnvollerweise benutzt man hierzu eine Tabelle, in der Zeitfunktionen f(t) und ihre Laplaceäquivalente L (t) aufgeführt sind. Eine für diese Vorlesung zweckmäßige Tabelle …ndet man in vielen Tabellenbüchern. Ein gute Zusammenstellung …ndet man in dem Tabellenbuch von Rade [LR96, Kapitel 13.5, Laplacetransformation], dessen Laplacetabellen im Anhang zu diesem Skript auszugsweise wiedergegeben sind. 1. Zunächst drückt man die zeitabhängigen Größen, wie L und C, in der Laplacevariablen s aus. Dabei geht man wie bei der komplexen Methode vor, setzt aber s = j! ; so dass die Impedanz der Kapazität durch 1 s L ersetzt wird. s C und die Impedanz der Induktivität durch 2. Dann drückt man die Zeitfunktion der Eingangsspannung - hier den Spannungssprung - in der Laplacevariablen s aus. Hierzu nimmt man sinnvollerweise eine Laplacetabelle zuhilfe, in der die Zeitfunktionen und die zugehörigen Laplacetransformierten aufgelistet sind. Für den Spannungssprung der Eingangsspannung …ndet man in der Tabelle ue (t) = 0 für t < 0 U0 für t 0 = ; (es gilt: H(t) 17 Oft wird die Laplacevariable auch oft mit p bezeichnet. In der Elektrotechnik ist jedoch die Bezeichnung mit s üblicher. 1 s )
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<strong>Skript</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong> <strong>ES1</strong>, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 67<br />
Es ist sicher sinnvoll, sich die von Papula angegebenen Beispiele einmal genauer anzusehen. Mathematisch<br />
gesehen ist die Laplace-Mehode ein algebraisches Verfahren <strong>zur</strong> Lösung von linearen<br />
Di¤erenzialgleichungen mit konstanten Koe¢ zienten unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen.<br />
Im Folgenden wird anhand eines Beispiels in die rein handwerkliche Seite der Laplace-Methode<br />
eingeführt.<br />
5.1.1 Beispielschaltung 1<br />
Zu berechnen ist der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung ua (t) der folgenden Schaltung,<br />
wenn der zeitliche Verlauf der Eingangsspannung durch die Funktion<br />
gegeben ist.<br />
ue (t) =<br />
0V für t < 0<br />
U0 für t 0<br />
Berechnung der zeitabhängigen Ausgangsspannung ua(t) Zunächst werden alle zeitabhängigen<br />
Größen der Schaltung in der Laplacevariablen s ausgedrückt 17 . Sinnvollerweise benutzt<br />
man hierzu eine Tabelle, in der Zeitfunktionen f(t) und ihre Laplaceäquivalente L (t)<br />
aufgeführt sind. Eine für diese <strong>Vorlesung</strong> zweckmäßige Tabelle …ndet man in vielen Tabellenbüchern.<br />
Ein gute Zusammenstellung …ndet man in dem Tabellenbuch von Rade [LR96, Kapitel<br />
13.5, Laplacetransformation], dessen Laplacetabellen im Anhang zu diesem <strong>Skript</strong> auszugsweise<br />
wiedergegeben sind.<br />
1. Zunächst drückt man die zeitabhängigen Größen, wie L und C, in der Laplacevariablen s<br />
aus. Dabei geht man wie bei der komplexen Methode vor, setzt aber<br />
s = j! ;<br />
so dass die Impedanz der Kapazität durch 1<br />
s L ersetzt wird.<br />
s C<br />
und die Impedanz der Induktivität durch<br />
2. Dann drückt man die Zeitfunktion der Eingangsspannung - hier den Spannungssprung - in<br />
der Laplacevariablen s aus. Hierzu nimmt man sinnvollerweise eine Laplacetabelle zuhilfe,<br />
in der die Zeitfunktionen und die zugehörigen Laplacetransformierten aufgelistet sind. Für<br />
den Spannungssprung der Eingangsspannung …ndet man in der Tabelle<br />
ue (t) =<br />
0 für t < 0<br />
U0 für t 0<br />
= ; (es gilt: H(t)<br />
17 Oft wird die Laplacevariable auch oft mit p bezeichnet. In der <strong>Elektrotechnik</strong> ist jedoch die Bezeichnung mit<br />
s üblicher.<br />
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