vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik
vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik
Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 12 der Masse identisch; dies ist aber nicht zwingend notwendig. Prinzipiell kann jeder Knoten zum Basisknoten werden. Wendet man dieses Verfahren auf die oben dargestellte Schaltung an, so ergibt sich folgende Darstellung mit den Knotenspannungen U1 ; U2 und U3. Als Unbekannte bleiben nur die drei Knotenpunktsspannungen U1 ; U2 und U3 übrig - eine erhebliche Vereinfachung gegenüber den ursprünglich zehn Unbekannten! 3. Zur Berechnung der Knotenpunktsspannungen werden die Knotenpunktsgleichungen gemäßdem KG1 aufgestellt. Dabei werden die in den Knotenpunkt einlaufenden Ströme positiv, die auslaufenden negativ bewertet. Um die Schreibweise zu vereinfachen, werden die Widerstände durch ihre Leitwerte ersetzt also R1 durch G1 usw..Es ergeben sich folgende Gleichungen: I1 G1(U1 U2) G3U1 = 0 (Knoten 1) G1(U1 U2) G2(U2 U3) G5U2 = 0 (Knoten 2) I1 G2(U3 U2) G4U3 = 0 (Knoten 3) Bringt man den Quellenstrom auf die rechte Seite und sortiert die linke Seite nach den Knotenspannungen, so ergibt sich aus den drei Gleichungen folgende Matrixgleichung 2 G1 + G3 4 G1 G1 G1 + G2 + G5 0 G2 3 2 U1 5 4 U2 3 5 = 2 4 I1 0 3 5 0 G2 G2 + G4 U3 I1 [G] [U] = [I] mit der Leitwertmatrix [G] ; dem Vektor der Knotenspannungen [U] und dem Vektor der Quellenströme [I] :Der Aufbau derLeitwertmatrix ist einfach, so dass sie in Zukunft nicht berechnet werden braucht, sondern direkt der Schaltung entnommen wird. Es gilt dabei folgendes Schema: (1) Die Diagonalelemente für die einzelnen Knotenpunkte ergeben sich aus der Summe der an diesen Knotenpunkt angeschlossenen Leitwerte. (2) Als nicht-Diagonalelemente werden die mit einem negativen Vorzeichen versehenen Verbindungsleitwerte eingetragen. (3) Der Vektor auf der rechten Seite enthält die in den jeweiligen Knotenpunkt einlaufenden (pos.) oder auslaufenden (neg.) Strom. 2.2 Allgemeine Darstellung für Schaltungen ohne gesteuerte Quellen Jede lineare ohne gesteuerte Quellen Schaltung kann in eine KSV-geeignete Form gebracht und dann durch eine Matrixgleichung gelöst werden. Die Matrixgleichung hat folgende allgemeine
Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 13 Form: 2 Dabei bedeuten: 6 4 G1;1 G1;2 G1;n G2;1 G2;2 G2;n Gn;1 Gn;2 Gn;n 3 2 7 6 7 6 5 4 u1 u2 un 3 2 7 5 = 6 4 1. Ik den Strom in den k-ten Knoten hinein (pos.) oder heraus (neg.), 2. uk die zu berechnenden Knotenspannungen, 3. Gk;k die Diagonalelemente der Leitwertmatrix. Gk;k ist die Summe aller an den Knoten k angeschlossenen Leitwerte. 4. Gj;k die Elemente außerhalb der Diagonalen der Leitwertmatrix. Gj;k ist die Summe aller Leitwerte, die den Knoten j mit dem Knoten k verbinden. Die Leitwerte können sowohl reell als auch komplex sein. Sind in einer linearen Schaltung nur konstante Quellen und die passiven Bauelemente R, C, L vorhanden, so ist die Leitwertmatrix symmetrisch. 2.3 Klemmenäquivalente Umformungen von Schaltungen Prinzipiell sind beim Knotenspannungsverfahren nur Stromquellen erlaubt. Enthält eine Schaltung Spannungsquellen, so müssen diese vor der Anwendung des Knotenspannungsverfahrens in Stromquellen umgewandelt werden. Bei der Umformung von Spannungsquellen in Stromquellen kann es vorkommen, dass Strom- und Spannungsquellen als Reihen bzw. Parallelschaltung entstehen. Es ist deshalb ganz grundsätzlich die Frage zu stellen, inwieweit Kombinationen von Quellen vereinfacht werden können oder ob sie überhaupt erlaubt 3 sind. 2.3.1 Verbotene Schaltungen mit Quellen In der Tat gibt es Zusammenschaltungen, die nicht erlaubt sind. Folgende beiden Kombinationen führen zu verbotenen Schaltungen, das heist, dass deren Strom- und/oder Spannungswerte nicht de…niert sind.bzw. unendlich werden. Enthält eine Schaltung verbotene Zusammenschaltungen, so ist die gesamte Schaltung nicht gültig und muss verworfen werden. Verbotene Schaltungen sind nicht berechenbar! 3 d.h. zu de…nierten Spannungs- und Stromerten führen. I1 I2 In 3 7 5
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<strong>Skript</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong> <strong>ES1</strong>, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 12<br />
der Masse identisch; dies ist aber nicht zwingend notwendig. Prinzipiell kann jeder Knoten<br />
zum Basisknoten werden. Wendet man dieses Verfahren auf die oben dargestellte Schaltung<br />
an, so ergibt sich folgende Darstellung mit den Knotenspannungen U1 ; U2 und U3.<br />
Als Unbekannte bleiben nur die drei Knotenpunktsspannungen U1 ; U2 und U3 übrig -<br />
eine erhebliche Vereinfachung gegenüber den ursprünglich zehn Unbekannten!<br />
3. Zur Berechnung der Knotenpunktsspannungen werden die Knotenpunktsgleichungen gemäßdem<br />
KG1 aufgestellt. Dabei werden die in den Knotenpunkt einlaufenden Ströme<br />
positiv, die auslaufenden negativ bewertet. Um die Schreibweise zu vereinfachen, werden<br />
die Widerstände durch ihre Leitwerte ersetzt also R1 durch G1 usw..Es ergeben sich folgende<br />
Gleichungen:<br />
I1 G1(U1 U2) G3U1 = 0 (Knoten 1)<br />
G1(U1 U2) G2(U2 U3) G5U2 = 0 (Knoten 2)<br />
I1 G2(U3 U2) G4U3 = 0 (Knoten 3)<br />
Bringt man den Quellenstrom auf die rechte Seite und sortiert die linke Seite nach den<br />
Knotenspannungen, so ergibt sich aus den drei Gleichungen folgende Matrixgleichung<br />
2<br />
G1 + G3<br />
4 G1<br />
G1<br />
G1 + G2 + G5<br />
0<br />
G2<br />
3 2<br />
U1<br />
5 4 U2<br />
3<br />
5 =<br />
2<br />
4<br />
I1<br />
0<br />
3<br />
5<br />
0 G2 G2 + G4 U3<br />
I1<br />
[G] [U] = [I]<br />
mit der Leitwertmatrix [G] ; dem Vektor der Knotenspannungen [U] und dem Vektor der<br />
Quellenströme [I] :Der Aufbau derLeitwertmatrix ist einfach, so dass sie in Zukunft nicht<br />
berechnet werden braucht, sondern direkt der Schaltung entnommen wird. Es gilt dabei<br />
folgendes Schema:<br />
(1) Die Diagonalelemente für die einzelnen Knotenpunkte ergeben sich aus der Summe der<br />
an diesen Knotenpunkt angeschlossenen Leitwerte.<br />
(2) Als nicht-Diagonalelemente werden die mit einem negativen Vorzeichen versehenen<br />
Verbindungsleitwerte eingetragen.<br />
(3) Der Vektor auf der rechten Seite enthält die in den jeweiligen Knotenpunkt einlaufenden<br />
(pos.) oder auslaufenden (neg.) Strom.<br />
2.2 Allgemeine Darstellung für Schaltungen ohne gesteuerte Quellen<br />
Jede lineare ohne gesteuerte Quellen Schaltung kann in eine KSV-geeignete Form gebracht und<br />
dann durch eine Matrixgleichung gelöst werden. Die Matrixgleichung hat folgende allgemeine
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