vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik

Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 11
2 Knotenspannungsverfahren (KSV)
Literatur: [UM97, Kapitel 6.1.1]
Es gibt mehrere Verfahren zur systematischen Berechnung linearer Schaltungen. Die weiteste
Verbreitung haben 1) das Maschenstromverfahren und 2) das Knotenspannungsverfahren. Ohne
Beweis an dieser Stelle sei gesagt, dass das Maschenstromverfahren auf planare Schaltungen,
d.h. auf Schaltungen, die sich auf einem Blatt Papier kreuzungsfrei darstellen lassen, beschränkt
ist. Das Knotenspannungsverfahren unterliegt dieser Beschränkung nicht und wird deshalb wegen
seiner größeren Allgemeinheit in dieser Vorlesung eingeführt. An dieser Stelle sei gesagt,
dass für planare Schaltungen das Maschenstromverfahren oft schneller zur Lösung führt als das
Knotenspannungsverfahren. Das Knotenspannungsverfahren ist nicht immer das optimalste Verfahren,
wird aber wegen seiner Allgemeingültigkeit vor allem bei der maschinellen berechnung
von Schaltungen dem Maschenstromverfahren vorgezogen. So arbeitet das Schaltungssimulationsprogramm
SPICE nach dem Knotenspannungsverfahren. Bei der maschinellen Berechnung
spielt es oft keine Rolle, ob das zu lösende Gleichungssystem ein wenig größer oder kleiner ist.
2.1 Berechnungsprinzip
Das Knotenspannungsverfahren wird am Beispiel einer gegebenen Schaltung in mehreren Einzelschritten
erläutert.
1. In folgender Schaltung sollen nach dem Knotenspannungsverfahren alle Ströme und Spannungen
aus den gegebenen Widerstandswerten und dem gegebenen Quellenstrom berechnet
werden
Wie man leicht selbst feststellt sind in dieser Schaltung fünf unbekannte Spannungen und
fünf unbekannte Ströme zu berechnen. Wie im nächsten Schritt gezeigt wird, liegt der
Vorteil des Knotenspannungsverfahrens - wie anderer systematischer Verfahren - gerade
darin, dass die Anzahl der Unbekannten stark reduziert wird.
2. Die Ströme durch die Widerstände können aus den Spannungen an den Widerständen leicht
berechnet werden. Es genügt also die Spannungen zu bestimmen. Eine weitere Reduktion
der Variablen ergibt die Einführung von ”Knotenspannungen” anstelle der Spannungen
an den Widerständen, die dann wiederum leicht aus den Knotenspannungen zu berechnen
sind. Als Knoten bezeichnet man alle unendlich gut leitenden Verbindungsstellen (”Lötstellen”)
zwischen elementaren Schaltungselementen. Knoten mit mehr als zwei Verbindungen
bezeichnet man als wesentliche Knoten. Die Berechnung wird weiter vereinfacht, wenn nur
die wesentlichen Knoten berücksichtigt werden.
Die Knoten werden durchnummeriert und ein beliebiger Knoten als Basisknoten ausgewählt;
ihm wird die Knotennummer Null (0) zugeordnet. Oft ist dieser Basisknoten mit