vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik

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Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 10 Das zweite Kirchhofsche Gesetz verlangt, dass U4 + U2 + U1 + U8 U6 + U5 + U7 U8 = 0 ist. Zeigt der Spannungspfeil in Richtung des Umlaufsinns, so ist das Vorzeichen positiv, zeigt er diesem entgegen, so ist das Vorzeichen negativ zu wählen. Allgemein ausgedrückt gilt NX Uk = 0 ; k=1 wobei N die Anzahl der elementaren Schaltungselemente ist, die auf dem geschlossenen Weg durchlaufen werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass alle Spannungspfeile in Richtung des Umlaufsinns zeigen. Ist dies nicht der Fall, so müssen alle Spannungen, deren Spannungspfeile der Wegrichtung entgegen zeigen, mit einem negativen Vorzeichen versehen werden.
Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 11 2 Knotenspannungsverfahren (KSV) Literatur: [UM97, Kapitel 6.1.1] Es gibt mehrere Verfahren zur systematischen Berechnung linearer Schaltungen. Die weiteste Verbreitung haben 1) das Maschenstromverfahren und 2) das Knotenspannungsverfahren. Ohne Beweis an dieser Stelle sei gesagt, dass das Maschenstromverfahren auf planare Schaltungen, d.h. auf Schaltungen, die sich auf einem Blatt Papier kreuzungsfrei darstellen lassen, beschränkt ist. Das Knotenspannungsverfahren unterliegt dieser Beschränkung nicht und wird deshalb wegen seiner größeren Allgemeinheit in dieser Vorlesung eingeführt. An dieser Stelle sei gesagt, dass für planare Schaltungen das Maschenstromverfahren oft schneller zur Lösung führt als das Knotenspannungsverfahren. Das Knotenspannungsverfahren ist nicht immer das optimalste Verfahren, wird aber wegen seiner Allgemeingültigkeit vor allem bei der maschinellen berechnung von Schaltungen dem Maschenstromverfahren vorgezogen. So arbeitet das Schaltungssimulationsprogramm SPICE nach dem Knotenspannungsverfahren. Bei der maschinellen Berechnung spielt es oft keine Rolle, ob das zu lösende Gleichungssystem ein wenig größer oder kleiner ist. 2.1 Berechnungsprinzip Das Knotenspannungsverfahren wird am Beispiel einer gegebenen Schaltung in mehreren Einzelschritten erläutert. 1. In folgender Schaltung sollen nach dem Knotenspannungsverfahren alle Ströme und Spannungen aus den gegebenen Widerstandswerten und dem gegebenen Quellenstrom berechnet werden Wie man leicht selbst feststellt sind in dieser Schaltung fünf unbekannte Spannungen und fünf unbekannte Ströme zu berechnen. Wie im nächsten Schritt gezeigt wird, liegt der Vorteil des Knotenspannungsverfahrens - wie anderer systematischer Verfahren - gerade darin, dass die Anzahl der Unbekannten stark reduziert wird. 2. Die Ströme durch die Widerstände können aus den Spannungen an den Widerständen leicht berechnet werden. Es genügt also die Spannungen zu bestimmen. Eine weitere Reduktion der Variablen ergibt die Einführung von ”Knotenspannungen” anstelle der Spannungen an den Widerständen, die dann wiederum leicht aus den Knotenspannungen zu berechnen sind. Als Knoten bezeichnet man alle unendlich gut leitenden Verbindungsstellen (”Lötstellen”) zwischen elementaren Schaltungselementen. Knoten mit mehr als zwei Verbindungen bezeichnet man als wesentliche Knoten. Die Berechnung wird weiter vereinfacht, wenn nur die wesentlichen Knoten berücksichtigt werden. Die Knoten werden durchnummeriert und ein beliebiger Knoten als Basisknoten ausgewählt; ihm wird die Knotennummer Null (0) zugeordnet. Oft ist dieser Basisknoten mit
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