vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik

Inhaltsverzeichnis 

vorläu…ges Skript zur Vorlesung ES1 

Prof.Dr.Arnold 

FH-GE, FB1, Labor für Elektronische Schaltungen 

Fassung vom 9. Mai 2006 

1 Allgemeines 4 

1.1 Internationale Einheiten (SI-Einheiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.2 Wichtige Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3 Umrechnung von Energie und Leistungseinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.4 Strom- und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.5 Leistung und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.6 Strom- und Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.7 Kirchho¤schen Gesetze (KG1 und KG2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2 Knotenspannungsverfahren (KSV) 11 

2.1 Berechnungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.2 Allgemeine Darstellung für Schaltungen ohne gesteuerte Quellen . . . . . . . . . 12 

2.3 Klemmenäquivalente Umformungen von Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.3.1 Verbotene Schaltungen mit Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.3.2 Umwandlung von Spannungs- in Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.3.3 weitere nützliche Transformationen mit Quellen . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.3.4 Ersatzspannungsquelle (Theveninscher Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.3.5 Ersatzstromquelle (Nortonscher Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.4 Anwendung des Knotenspannungsverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.4.1 Beispielschaltung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 





2.5 Schaltungen mit gesteuerten Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.5.1 Beispiel 6 (Schaltung mit einer gesteuerten Quelle) . . . . . . . . . . . . 23 

3 Schaltungen mit gesteuerten Quellen 25 

3.1 Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.1.1 Verfahren zur Bestimmung der Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.1.2 Beispiel 7 (Bestimmung der Kopplung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.2 Ersatzspannungsquellen (Theveninscher Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.2.1 Beispiel 8 (Berechnung der theveninschen äquivalenten Schaltung) . . . . 28 

3.2.2 Ein- und Ausgangswiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.3 Die Schaltung mit gesteuerter Quelle als Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.3.1 gra…sche Interpretation der Superpositionsbleichung . . . . . . . . . . . . 32 

1

Skript zur Vorlesung ES1, Fassung vom 9.Mai 2006, Prof.Dr.Arnold, FB1, FH-Ge 2 

4 Operationsverstärker (OP) 35 

4.1 Einteilung von Operationsverstärkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4.2 innerer Aufbau von VV-OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.2.1 Symbolik und Anschlüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.2.2 innerer Aufbau eines VV-OPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.3 Abweichungen vom idealen Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

4.4 Der OP als Bauelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.4.1 Versorgungsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.4.2 Gehäuseformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

4.5 Grundschaltungen von Verstärkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.6 nicht-invertierender Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

4.6.1 Kopplung der Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

4.6.2 Spannungstransferfunktion und -verstärkung (vu) . . . . . . . . . . . . . . 44 

4.6.3 OP mit unendlich hoher Spannungsverstärkung . . . . . . . . . . . . . . . 45 

4.6.4 Eingangswiderstand (Re) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

4.6.5 Ausgangswiderstand (Ra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

4.6.6 regelungstechnisches Blockdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

4.6.7 Rückkopplungs-Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

4.6.8 Spannungsfolger (Impedanzwandler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

4.7 invertierender Transimpedanzverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 


4.7.2 Transferfunktion Ua(Ie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.7.3 Eingangswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.7.4 Ausgangswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 


4.8 invertierender Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 


4.8.2 Spannungsverstärkung (vu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

4.8.3 Eingangswiderstand (Re) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

4.8.4 Ausgangswiderstand (Ra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 


4.9 invertierender Summierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

4.10 Di¤erenzverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

4.10.1 Grundschaltung eines Subtraktionsverstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

4.10.2 Grundschaltung des Di¤erenzverstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

4.10.3 Verstärkung des Di¤erenzverstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

4.10.4 Eingangs- und Ausgangswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

4.10.5 Gleichtaktverstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.10.6 Gleich- und Gegentaktanregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

4.10.7 Di¤erenzverstärkung und Gegentaktverstärkung . . . . . . . . . . . . . . 62 

4.10.8 regelungstechnisches Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

4.11 Instrumentenverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

5 Zeit- und frequenzabhängige Schaltungen 66 

5.1 Laplace Methode 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 


5.2 Bodediagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

5.3 logarithmische Darstellung von Leistungen, Spannungen, Strömen und Frequenzen 70 

5.3.1 logarithmische Pegelachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

1 Diese Vorlesung führt nicht in die Theorie der Laplacetransformation ein, sondern verwendet die Laplacetransformation 

als Hilfsmittel zur Berechnung linearer Schaltungen mit beliebigen Anregungen.


5.3.2 logarithmische Frequenzachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

5.3.3 Logarithmen Papier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

5.3.4 Amplitudendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

5.3.5 Phasendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

5.4 Übertragungsfunktion einer linearen Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

5.5 Hoch- und Tiefpässe 1.Ordnung, Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

5.6 Tiefpass erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

5.6.1 Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

5.6.2 harmonische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

5.6.3 Anregung mit einer Sprungfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

5.7 Hochpass erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

5.7.1 Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

5.7.2 harmonische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

5.7.3 Anregung mit einer Sprungfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

5.8 weitere Tiefpässe und Hochpässe erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

5.9 Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

5.9.1 allgemeiner Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

5.9.2 OP mit Tiefpaßverhalten (obere Grenzfrequenz) . . . . . . . . . . . . . . 87 

5.9.3 OP mit Hochpaßverhalten (untere Grenzfrequenz) . . . . . . . . . . . . . 89 

5.9.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

5.10 Der Miller-Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

5.11 Di¤erentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

6 Bipolare Bauelemente 94 

6.1 Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

6.1.1 Shockeley Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

6.1.2 Temperaturabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

6.1.3 Arbeitspunkt einer Diode nach der Shockeleygleichung . . . . . . . . . . . 97 

6.1.4 Kleinsignalersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

6.1.5 Frequenzabhängiges Kleinsignalersatzschaltbild der Diode . . . . . . . . . 101 

6.1.6 einfache Diodenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

6.1.7 Schaltungen mit Dioden (Schaltermodell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

6.2 bipolare Transistoren (BJT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

6.2.1 Das Transportmodell des bipolaren Transistors . . . . . . . . . . . . . . . 106 

6.2.2 Die vier Betriebszustände des BJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

6.2.3 Kleinsignalersatzschaltbild (aktiver Betrieb) . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

6.2.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

A Laplace-Tabellen 118 

B Datenblätter 119 

B.1 Datenblattinformationen im Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 

B.2 Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


1 Allgemeines 

Zum Verständnis dieser Vorlesung sind folgende Vorkenntnisse in dieser Reichenfolge notwendig: 

1. logisches Denken, gesunder Menschenverstand und Spass an technischen Zusammenhängen 

2. Grundlagen Mathematik 

3. Grundlagenvorlesungen Elektrotechnik + Praktikum 

4. elementare Physikkenntnisse 

1.1 Internationale Einheiten (SI-Einheiten) 

Zusammenfassung des internationalen Einheitensystems. 

Man unterscheidet die folgenden sieben SI-Basiseinheiten: 

Basis SI-Einheiten 

Bezeichnung(Formelzeichen) Einheit Symbol 

Länge (l) Meter m 

Masse (m) Kilogramm kg 

Zeit (t) Zeit s 

Strom (I) Ampère A 

Temperatur (T) Kelvin K 

Lichtstärke (I) Candela cd 

Sto¤menge Mol mol 

Die Basiseinheiten sind in Deutschland in dem Gesetz über Einheiten im Meßwesen vom 

2.Juli 1969 (BGBl. I S.709) in der Fassung der Bekantmachum vom 22. Februar 1985 (BGBl. 

I S.408) festgeschrieben und ihre Einhaltung wird von der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt 

in Braunschweig (kurz: PTB) gesetzlich überwacht. Die PTB stellt auf ihrer 

Homepage (www.ptb.de) zahlreiche Informationen über SI-Einheiten und deren Umfeld bereit. 

Die SI-Einheiten können durch Vorsätze (z.B. k für die Multiplikation mit 1000: 1000m = 1km) 

multipliziert werden. In der folgenden Tabelle sind alle erlaubten Vorsätze aufgeführt. 

SI-Vorsätze: 

Potenz Name Zeichen Potenz Name Zeichen 

10 24 Yotta Y 10 1 Dezi d 

10 21 Zetta Z 10 2 Zenti c 

10 18 Exa E 10 3 Milli m 

10 15 Peta P 10 6 Mikro 

10 12 Tera T 10 9 Nano n 

10 9 Giga G 10 12 Piko p 

10 6 Mega M 10 15 Femto f 

10 3 Kilo k 10 18 Atto a 

10 2 Hekto h 10 21 Zepto z 

10 1 Deka da 10 24 Yokto y 

In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten elektrotechnischen Einheiten, die aus den Basiseinheiten 

abgeleitet werden:


abgeleitete SI-Einheiten 

Bezeichnung(Formelzeichen) Einheit Symbol Formel in SI-Einheiten 

Frequenz (f) Herz Hz s 1 

Kraft (K) Newton N kg m s 2 

Energie (E) Joule J N m 

Leistung (P) Watt W J s 1 

Ladung (Q) Coulomb C A s 

Spannung (U) Volt V W A 1 

Widerstand (R) Ohm V A 1 

Leitfähigkeit (G) Siemens S A V 1 

Kapazität (C) Farad F C V 1 

magnetischer Fluss ( ) Weber Wb V s 

Induktivität (L) Henry H Wb A 1 

Benutzt man zur Berechnung ausschließlich SI-Einheiten, so ist das Ergebnis auch 

eine SI-Einheit mit dem Vorteil, dass man sich auf die Berechnung des Zahlenwertes 

konzentrieren kann und die Einheiten nicht mehr berücksichtigen muss. 

1.2 Wichtige Konstanten 

In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten in der Elektrotechnik gebräuchlichen Konstanten 

zusammengestellt: 

Bezeichnung Symbol (Formel) Zahlenwert 

Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum c0 bzw. c 2:99792458 108 m s 1 

Magnetische Feldkonstante, Induktionskonstante 0 = 1 

0 c2 4 10 7 N A 2 

Elektrische Feldkonstante, In‡uenzkonstante 0 = 1 

0 c2 8:854187817 10 12 F m 1 

Elementarladung, Ladung des Elektrons e 1:6021765314 10 19 C 

Boltzmann Konstante k in J K 1 1:3806568 10 23 J K 1 

k in eV K 1 8:617385 10 5 eV K 1 

Temperatur am absoluten Nullpunkt Tabs 0 K = 273:2 C 

Erdbeschleunigung, Normalfallbeschleunugung gn 9:80665 m s 2 

Avogadro Zahl, Avogadro Konstante NA 6:0221367 1023 mol 1 

Gaskonstante R 8:314510 J mol 1 K 1 

1.3 Umrechnung von Energie und Leistungseinheiten 

Je nach Anwendungsgebiet werden verschiedene Energie- und Leistungseinheiten verwendet. Im 

folgenden sind einige in der Elektrotechnik wichtige Umrechnungen angegeben.


Energieeinheiten: 

Einheitenname Symbol Umrechnungen 

Joule J 1 J = 1 N m = 1 W s = 1 

3:6 10 6 kW h = 1 kg m 2 s 2 

Kilowattstunde kW h 1 kW h = 3:6 MJ = 860 kcal 

Elektronvolt eV 1 eV = 1:6021892 10 19 J 

Erg erg 1 erg = 10 7 J 

Kalorie cal 1 cal = 4:1868 J 

Tonnen Steinkohleneinheiten tSKE 1tSKE = 7 10 6 kcal = 29:3076 10 9 J = 8:141 10 3 kW h 

Leistungseinheiten: 

Watt W 1 W = 1 J s 1 = 1 N m s 1 = 1 V A = 1 m 2 kg s 3 

Pferdestärken PS 1PS = 75 m kp s 1 = 0:73549875 kW 

1.4 Strom- und Spannung 

Das Konzept der Ladung bildet die Basis zur Beschreibung aller elektrischen Phänomene. Ladungen 

haben drei grundlegende Eigenschaften, Sie sind erstens bipolar, d.h. es gibt 

zwei Arten von Ladungen, nämlich positive und negative. Zum zweiten gibt es eine kleinste 

Ladungsmenge, die nicht mehr kleiner gemacht werden kann, d.h. Ladungen sind quantisiert. 

Die kleinstmögliche Ladung ist die Ladung des Elektrons mit ca. 1:6 10 19 C. Drittens alle 

elektrischen E¤ekte beruhen auf der Separation von Ladungen (elektrisches Feld, Spannung) 

bzw. auf der Bewegung von Ladungen (elektrischer Strom). 

Da Ladungen Kräfte aufeinander ausüben, ist jede Verschiebung von Ladungen gegeneinander 

mit Energieänderungen verbunden. Die elektrische Spannung ist die Energie pro Einheitsladung, 

die bei der Separation von Ladungen erzeugt wird. Sie ist durch 

U = dE 

dQ 

gegeben, eine Beziehung, die anhand des Energieinhalts eines Plattenkondensators leicht einzusehen 

ist. 

Die in einem Plattenkondensator gespeicherte statische Energie ist durch E = 1 

2 CU 2 ; dessen 

gegeben. Drückt man die Energie als Funktion der Ladung 

aus, so ergibt sich E = 1 Q2 

2C C2 = 1 Q 

2 

2 

C : Die Energieänderung durch die Änderung der Ladung 

berechnet man durch Di¤erentiation der Energie nach der Ladung und erhält 

Klemmenspannung durch U = Q 

C 

dE d 

= 

dQ dQ 

1 Q 

2 

2 

C 

= Q 

C 

= U : 

Immer wenn Ladungen bewegt werden entsteht ein elektrischer Strom, der durch 

gegeben ist. 

1.5 Leistung und Energie 

I = dQ 

dt 

Leistung ist als Energie pro Zeiteinheit de…niert, also durch 

P = dE 

dt 

;


woraus sofort der Zusammenhang mit dem Strom und der Spannung 

berechnet werden kann. 

P = dE 

dt 

= dE 

dQ 

dQ 

dt 

= U I 

Dabei wird davon ausgegangen, dass die Strom- und Spannungspfeile an den Klemmen eines 

elementaren Schaltungselements 

in die gleiche Richtung zeigen. Ist dies der Fall, so gilt 

P > 0 =) Leistung wird an das S.E. geliefert (Verbraucher, Senke) 

P < 0 =) Das S.E. liefert Leistung (Erzeuger, Generator, Quelle) 

Diese Vereinbarung nennt man auch die Konvention des passiven Vorzeichens. 

1.6 Strom- und Spannungsquellen 

Quellen sind gewissermaßen der Motor zum Betreiben einer Schaltung. Ohne Quellen geht garnichts. 

Beim Umgang mit Quellen gilt es folgendes zu beachten. Man unterscheidet unabhängige 

Quellen, d.h. Quellen, die eigenständig Ströme bzw. Spannungen bereitstellen. Beispiele 

hierfür sind Batterien, das 230V Netz, Ausgänge von Funktionsgeneratoren, Labornetzgeräte, 

Akkus etc. und abhängige Quellen, d.h. Quellen, deren Ausgangsströme bzw. -spannungen 

von Steuerströmen und -spannungen der Schaltung, in die sie eingebaut sind, abhängen. Da 

zwischen diesen Quellen ein fundamentaler Unterschied besteht, werden sie in dieser Vorlesung 

jeweils mit einem eigenen Schaltungssymbol bedacht. Unalhängige Quellen werden durch kreisförmige 

Symbole und abhängige Quellen durch rautenförmige Symbole dargestellt. 

Man unterscheidet zwei abhängige Quellen und vier unabhängige Quellen. Alle sechs Quellenarten 

sind in dem folgenden Diagramm dargestellt.


Unabhängige Quellen können konstant sein, müssen es aber nicht. So kann z.B. die 50Hz Spannung 

des Netzes oder der Ausgang eines Funktionsgenerators eine unabhängige Quelle darstellen. 

Gesteuerte Quellen dagegen hängen ab von einem steuerndem Strom bzw. einer steuernden 

Spannung der Schaltung, in die sie eingebaut sind. Die Proportionalitätsfaktoren zwischen gesteuerter 

Größe (Ausgang) und steuernder Größe (Eingang), nämlich die Faktoren e, g, h und f 

sind in der folgenden Tabelle genauer bezeichnet und entsprechen den im Schaltungssimulator 

SPICE 2 benutzten Konventionen. Da SPICE-artige Schaltungssimulatoren sehr weit verbreitet 

sind, stellen diese Buchstaben quasi einen Standart dar. 

Faktor Dimension Bezeichnung 

e 1 Spannungsverstärkung 

g A V 1 Transkonduktanz 

h V A 1 Transimpedanz 

f 1 Stromverstärkung 

Das Rechnen mit gesteuerten Quelle nimmt in dieser Vorlesung einen breiten Raum ein. Gesteuerte 

Quellen sind die Voraussetzung, um aktive Bauelemente, wie Transistoren, Operationsverstärker, 

Felde¤ekttransitoren zu verstehen. 

De…nition 1 Ist es der Schaltung in die eine Quelle eingebaut ist nicht möglich deren Ausgangsstrom 

bzw. -spannung zu verändern, so bezeichnet man diese Quelle als unabhängige Quelle. 

De…nition 2 Ist die Ausgangsgröße einer Quelle durch einen schaltungsinternen Strom- bzw. 

eine Spannung veränderbar, so handelt es sich um eine abhängige Quelle. 

2 SPICE ist ein Programm zur Simulation (Berechnung) elektronischer Schaltungen. Die darin verwendeten 

gesteuerten Quellen werden mit den Buchstaben e, g, h und f bezeichnet.


Ob eine Quelle anhängig oder unabhängig ist, ist keine Eigenschaft der Quelle sondern eine 

Eigenschaft der Schaltung in die diese Quelle eingebaut ist. Insbesondere kann eine Quelle in 

Bezug auf die Schaltung A unabhängig und in Bezug auf die Schaltung B abhängig sein. 

1.7 Kirchho¤schen Gesetze (KG1 und KG2) 

Bei der Zusammenschaltung von mehreren elementaren Schaltungselementen stellen sich die 

Ströme und die Spannungen gemäßder beiden Kirchho¤schen Gesetze ein. 

Erstes Kirchho¤sches Gesetz (KG1): (”Knotenregel”) 

Die algebraische Summe aller Ströme in jedem Knoten einer Schaltung ist gleich Null. Das heist, 

dass die Ladungen, die in den Knoten hinein‡ießen auch wieder hinaus‡ießen und sich somit 

keine Ladungen in dem Knoten ansammeln können. Man nennt dieses Verhalten auch das Gesetz 

der ”Ladungsneutralität”. Alle Ströme in der folgenden Abbildung 

genügen der Gleichung 

8X 

Ik = 0 oder allgemein 

k=1 

NX 

Ik = 0 (Ladungsneutralität), 

k=1 

wobei N die Anzahl der in den Knoten ein‡iessenden Ströme ist. Hier wird vorausgesetzt, dass 

die Strompfeile alle in den Knoten hinein zeigen. Ist dies nicht der Fall, so müssen die Ströme, 

deren Strompfeile vom Knoten weg zeigen mit einem negativen Vorzeichen versehen werden. 

Für ein abgeschlossenes Netzwerk von Schaltungselementen, das N-Leitungen nach außen hat 

gilt sinngemäßdas KG1. 

Zweites Kirchho¤sches Gesetz (KG2): (”Maschenregel”) 

Die algebraische Summe aller Spannungen entlang jedes beliebigen geschlossenen Weges in einer 

Schaltung ist gleich Null. 

Zum Verständnis dient die folgende Abbildung.


Das zweite Kirchhofsche Gesetz verlangt, dass 

U4 + U2 + U1 + U8 U6 + U5 + U7 U8 = 0 

ist. Zeigt der Spannungspfeil in Richtung des Umlaufsinns, so ist das Vorzeichen positiv, zeigt 

er diesem entgegen, so ist das Vorzeichen negativ zu wählen. Allgemein ausgedrückt gilt 

NX 

Uk = 0 ; 

k=1 

wobei N die Anzahl der elementaren Schaltungselemente ist, die auf dem geschlossenen Weg 

durchlaufen werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass alle Spannungspfeile in Richtung des Umlaufsinns 

zeigen. Ist dies nicht der Fall, so müssen alle Spannungen, deren Spannungspfeile der 

Wegrichtung entgegen zeigen, mit einem negativen Vorzeichen versehen werden.


2 Knotenspannungsverfahren (KSV) 

Literatur: [UM97, Kapitel 6.1.1] 

Es gibt mehrere Verfahren zur systematischen Berechnung linearer Schaltungen. Die weiteste 

Verbreitung haben 1) das Maschenstromverfahren und 2) das Knotenspannungsverfahren. Ohne 

Beweis an dieser Stelle sei gesagt, dass das Maschenstromverfahren auf planare Schaltungen, 

d.h. auf Schaltungen, die sich auf einem Blatt Papier kreuzungsfrei darstellen lassen, beschränkt 

ist. Das Knotenspannungsverfahren unterliegt dieser Beschränkung nicht und wird deshalb wegen 

seiner größeren Allgemeinheit in dieser Vorlesung eingeführt. An dieser Stelle sei gesagt, 

dass für planare Schaltungen das Maschenstromverfahren oft schneller zur Lösung führt als das 

Knotenspannungsverfahren. Das Knotenspannungsverfahren ist nicht immer das optimalste Verfahren, 

wird aber wegen seiner Allgemeingültigkeit vor allem bei der maschinellen berechnung 

von Schaltungen dem Maschenstromverfahren vorgezogen. So arbeitet das Schaltungssimulationsprogramm 

SPICE nach dem Knotenspannungsverfahren. Bei der maschinellen Berechnung 

spielt es oft keine Rolle, ob das zu lösende Gleichungssystem ein wenig größer oder kleiner ist. 

2.1 Berechnungsprinzip 

Das Knotenspannungsverfahren wird am Beispiel einer gegebenen Schaltung in mehreren Einzelschritten 

erläutert. 

1. In folgender Schaltung sollen nach dem Knotenspannungsverfahren alle Ströme und Spannungen 

aus den gegebenen Widerstandswerten und dem gegebenen Quellenstrom berechnet 

werden 

Wie man leicht selbst feststellt sind in dieser Schaltung fünf unbekannte Spannungen und 

fünf unbekannte Ströme zu berechnen. Wie im nächsten Schritt gezeigt wird, liegt der 

Vorteil des Knotenspannungsverfahrens - wie anderer systematischer Verfahren - gerade 

darin, dass die Anzahl der Unbekannten stark reduziert wird. 

2. Die Ströme durch die Widerstände können aus den Spannungen an den Widerständen leicht 

berechnet werden. Es genügt also die Spannungen zu bestimmen. Eine weitere Reduktion 

der Variablen ergibt die Einführung von ”Knotenspannungen” anstelle der Spannungen 

an den Widerständen, die dann wiederum leicht aus den Knotenspannungen zu berechnen 

sind. Als Knoten bezeichnet man alle unendlich gut leitenden Verbindungsstellen (”Lötstellen”) 

zwischen elementaren Schaltungselementen. Knoten mit mehr als zwei Verbindungen 

bezeichnet man als wesentliche Knoten. Die Berechnung wird weiter vereinfacht, wenn nur 

die wesentlichen Knoten berücksichtigt werden. 

Die Knoten werden durchnummeriert und ein beliebiger Knoten als Basisknoten ausgewählt; 

ihm wird die Knotennummer Null (0) zugeordnet. Oft ist dieser Basisknoten mit


der Masse identisch; dies ist aber nicht zwingend notwendig. Prinzipiell kann jeder Knoten 

zum Basisknoten werden. Wendet man dieses Verfahren auf die oben dargestellte Schaltung 

an, so ergibt sich folgende Darstellung mit den Knotenspannungen U1 ; U2 und U3. 

Als Unbekannte bleiben nur die drei Knotenpunktsspannungen U1 ; U2 und U3 übrig - 

eine erhebliche Vereinfachung gegenüber den ursprünglich zehn Unbekannten! 

3. Zur Berechnung der Knotenpunktsspannungen werden die Knotenpunktsgleichungen gemäßdem 

KG1 aufgestellt. Dabei werden die in den Knotenpunkt einlaufenden Ströme 

positiv, die auslaufenden negativ bewertet. Um die Schreibweise zu vereinfachen, werden 

die Widerstände durch ihre Leitwerte ersetzt also R1 durch G1 usw..Es ergeben sich folgende 

Gleichungen: 

I1 G1(U1 U2) G3U1 = 0 (Knoten 1) 

G1(U1 U2) G2(U2 U3) G5U2 = 0 (Knoten 2) 

I1 G2(U3 U2) G4U3 = 0 (Knoten 3) 

Bringt man den Quellenstrom auf die rechte Seite und sortiert die linke Seite nach den 

Knotenspannungen, so ergibt sich aus den drei Gleichungen folgende Matrixgleichung 

2 

G1 + G3 

4 G1 

G1 

G1 + G2 + G5 

0 

G2 

3 2 

U1 

5 4 U2 

3 

5 = 

2 

4 

I1 

0 

3 

5 

0 G2 G2 + G4 U3 

I1 

[G] [U] = [I] 

mit der Leitwertmatrix [G] ; dem Vektor der Knotenspannungen [U] und dem Vektor der 

Quellenströme [I] :Der Aufbau derLeitwertmatrix ist einfach, so dass sie in Zukunft nicht 

berechnet werden braucht, sondern direkt der Schaltung entnommen wird. Es gilt dabei 

folgendes Schema: 

(1) Die Diagonalelemente für die einzelnen Knotenpunkte ergeben sich aus der Summe der 

an diesen Knotenpunkt angeschlossenen Leitwerte. 

(2) Als nicht-Diagonalelemente werden die mit einem negativen Vorzeichen versehenen 

Verbindungsleitwerte eingetragen. 

(3) Der Vektor auf der rechten Seite enthält die in den jeweiligen Knotenpunkt einlaufenden 

(pos.) oder auslaufenden (neg.) Strom. 

2.2 Allgemeine Darstellung für Schaltungen ohne gesteuerte Quellen 

Jede lineare ohne gesteuerte Quellen Schaltung kann in eine KSV-geeignete Form gebracht und 

dann durch eine Matrixgleichung gelöst werden. Die Matrixgleichung hat folgende allgemeine


Form: 2 

Dabei bedeuten: 

6 

4 

G1;1 G1;2 G1;n 

G2;1 G2;2 G2;n 

Gn;1 Gn;2 Gn;n 

3 2 

7 6 

7 6 

5 4 

u1 

u2 

un 

3 

2 

7 

5 = 

6 

4 

1. Ik den Strom in den k-ten Knoten hinein (pos.) oder heraus (neg.), 

2. uk die zu berechnenden Knotenspannungen, 

3. Gk;k die Diagonalelemente der Leitwertmatrix. Gk;k ist die Summe aller an den Knoten k 

angeschlossenen Leitwerte. 

4. Gj;k die Elemente außerhalb der Diagonalen der Leitwertmatrix. Gj;k ist die Summe aller 

Leitwerte, die den Knoten j mit dem Knoten k verbinden. 

Die Leitwerte können sowohl reell als auch komplex sein. Sind in einer linearen Schaltung nur 

konstante Quellen und die passiven Bauelemente R, C, L vorhanden, so ist die Leitwertmatrix 

symmetrisch. 

2.3 Klemmenäquivalente Umformungen von Schaltungen 

Prinzipiell sind beim Knotenspannungsverfahren nur Stromquellen erlaubt. Enthält eine Schaltung 

Spannungsquellen, so müssen diese vor der Anwendung des Knotenspannungsverfahrens in 

Stromquellen umgewandelt werden. 

Bei der Umformung von Spannungsquellen in Stromquellen kann es vorkommen, dass Strom- und 

Spannungsquellen als Reihen bzw. Parallelschaltung entstehen. Es ist deshalb ganz grundsätzlich 

die Frage zu stellen, inwieweit Kombinationen von Quellen vereinfacht werden können oder ob 

sie überhaupt erlaubt 3 sind. 

2.3.1 Verbotene Schaltungen mit Quellen 

In der Tat gibt es Zusammenschaltungen, die nicht erlaubt sind. Folgende beiden Kombinationen 

führen zu verbotenen Schaltungen, das heist, dass deren Strom- und/oder Spannungswerte nicht 

de…niert sind.bzw. unendlich werden. Enthält eine Schaltung verbotene Zusammenschaltungen, 

so ist die gesamte Schaltung nicht gültig und muss verworfen werden. Verbotene Schaltungen 

sind nicht berechenbar! 

3 d.h. zu de…nierten Spannungs- und Stromerten führen. 

I1 

I2 

In 

3 

7 

5


Die Parallelschaltung von Spannungsquellen ist nur erlaubt, wenn alle Quellen diegleiche Spannung 

haben. Stromquellen dürfen nur in Reihe geschaltet werden, wenn alle betre¤enden Stromquellen 

diegleichen Ströme liefern. In allen anderen Fällen sind die beiden oben dargestellten 

Schaltungen verboten. Zu beachten ist, dass Spannungsquellen immer mit einem endlichen Leitwert 

und Stromquellen immer mit einem endlichen Widerstand belastet werden müssen. Spannungsquellen 

dürfen nicht kurzgeschlossen und Stromquellen nicht unbelastet betrieben werden. 

Tut man es trotzdem, so erhält man verbotene Schaltungen. 

2.3.2 Umwandlung von Spannungs- in Stromquellen 

Folgende Abbildung zeigt, wie Spannungsquellen in Stromquellen umzuwandeln sind. 

2.3.3 weitere nützliche Transformationen mit Quellen 

Spannungsquellen und Stromquellen dürfen nach dem folgenden Schema verdoppelt (vervielfacht) 

werden, eine Möglichkeit die oft zur Vereinfachung von Schaltungen genutzt wird. Den 

Punkt zwischen den beiden Stromquellen nennt man auch Neutralisationspunkt oder Isolationspunkt, 

da er an einen beliebigen anderen Punkt der Schaltung angeschlossen werden darf, ohne 

die Schaltung zu verändern.


Bei der Parallelschaltung einer Spannungsquelle mit beliebig vielen Stromquellen ”überlebt”nur 

die Spannungsquelle. Die Stromquellen haben keinen Ein‡uss auf das Klemmenverhalten der 

Schaltung. Dies gilt auch für die Parallelschaltung von Spannungsquellen mit Widerständen. 

Bei der Reihenschaltung einer Stromquelle mit beliebig vielen Spannungsquelle ”überlebt” nur 

die Stromquelle. Die Spannungsquellen haben keinen Ein‡uss auf die Schaltung. Dies gilt auch 

für die Reihenschaltung von Stromquellen mit Widerständen.


Wie man sieht verhalten sich Strom- und Spannungsquellen komlementär zueinander. 

Wichtig: Klemmenäquivalenz fordert nur Strom- Spannungsgleichheit an den Klemmen A und 

B. Der Energieumsatz in klemmenäquivalenten Schaltungen ist im Allgemeinen verschieden. 

2.3.4 Ersatzspannungsquelle (Theveninscher Satz) 

Gegeben sei ein Zweipol, der in beliebiger - nicht verbotener! - Weise aus ohmschen Widerständen, 

unabhängigen und abhängigen Quellen aufgebaut ist. Für diesen Zweipol kann immer eine 

einfache Ersatzschaltung, bestehend aus einer Reihenschaltung von Spannungsquelle und einem 

ohmschen Widerstand angegeben werden. Man nennt diese Reihenschaltung auch das theveninsche 

Äquivalent des Zweipols. Durch das theveninsche Äquivalent wird der gesamte u.U. recht 

umfangreich aufgebaute Zweipol auf zwei Parameter reduziert, nämlich auf die theveninschen 

Spannung Uth und den theveninschen Widerstand Rth. 

Die theveninsche Spannung ist die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B. Der 

theveninsche Widerstand ist der Eingangswiderstand der Schaltung in Bezug auf die Klemmen 

A und B. 

2.3.5 Ersatzstromquelle (Nortonscher Satz) 

Neben den theveninschen Ersatznetzwerk kann auch eine Ersatzstromquelle angegeben werden. 

Man spricht dann von einem nortonschen Ersatznetzwerk mit zwei Kenngrößen, nämlich den 

nortonsche Strom und dem nortonschen Widerstand.


Beide Ersatzschaltungen können problemlos auf beliebige lineare Netzwerke mit komplexen 

Schaltungselementen wie Induktivitäten und Kapazitäten erweitert werden. Diese Erweiterung 

erfolgt im Abschnitt über frequenzabhängige Schaltungen. 

2.4 Anwendung des Knotenspannungsverfahrens 

Im folgenden wird anhand von fünf Beispielschaltungen das Knotenspannungsverfahren im Detail 

erläutert. Dabei wird im Detail erläutert, wie alle linearen Schaltungen mit Spannungsquellen 

mittels des Knotenspannungsverfahrens berechnet werden können, ohne dass Annahmen mit 

Näherungscharakter verwendet werden müssen. Die vor der Schaltungsberechnung notwendigen 

klemmenäquivalenten Umformungen tragen i.d.R. zum tieferen Verständnis der Schaltungen 

bei. Ziel der Umformungen ist die Bereitstellung einer Schaltung, die direkt nach der Methode 

des Knotenspannungsverfahrens gelöst werden kann also die Bereitstellung einer KSV-gerechten 

Schaltung. 

2.4.1 Beispielschaltung 1 

Diese und die folgenden Beispielschaltungen sind zu berechnen. D.h. alle Knotenpunktsspannungen 

sind zu ermitteln. Üben Sie an diesen Aufgaben das Knotenspannungsverfahren. Versuchen 

Sie die Lösung auch mit anderen Ihnen bekannten Verfahren zu …nden. 

Die folgende Schaltung enthält nur unabhängige Stromquellen, die mit dem Bezugsknoten 0 

verbunden sind. 

Lösung: 

Diese Schaltung liegt bereits KSV-gerecht vor. Es sind keine weiteren Modi…kationen notwendig. 

Die G-Matrix kann sofort angeschrieben werden. Zusamen mit dem Stromvektor ergibt sich 

folgendes Gleichungssystem für die Knotenpunktsspannungen: (VORSICHT: Die Zahlenwerte in 

der G-Matrix haben die Dimension 1 ; die Zahlenwerte des Stromvektors haben die Dimension 

A. Damit haben die zu berechnenden Spannungswerte die Dimension V!!! ) 

2 

4 

1 

20 

+ 1 

40 

1 

20 

1 

40 

1 

20 

+ 1 

1 

20 

1 

60 + 80 

1 

60 

1 

40 

1 

40 

1 

60 

1 + 60 

3 2 

5 4 

u1 

u2 

u3 

3 

2 

5 = 4 

Die Lösung für die einzelnen Knotenpunktspannungen erhält man z.B. durch Anwenden des 

Kramerschen Verfahrens (Bitte schauen Sie sich dieses Verfahren nocheinmal an Es wurde in 

der Mathematikvorlesung behandelt): 

0:3 

0 

0:5 

3 

5


Lösung für u1 : (Der Zahlenwert ist natürlich in V!!!) 

Lösung für u2 : 

Lösung für u3 : 

u1 = 

u2 = 

u3 = 

1 

20 

0:3 

0 

0:5 

+ 1 

40 

1 

20 

1 

40 

1 

20 

1 

20 

1 1 + 60 + 80 

1 

60 

1 

20 

1 1 1 

20 + 60 + 80 

1 

60 

1 

40 

1 

40 

1 

60 

+ 1 

1 

40 

60 

1 

40 

1 

60 

1 + 60 

1 1 

20 + 40 

1 

20 

1 

40 

0:3 

0 

0:5 

1 

40 

1 

60 

1 1 

40 + 60 

1 1 

20 + 40 

1 

20 

1 

40 

1 

20 

1 1 1 

20 + 60 + 80 

1 

60 

1 

40 

1 

60 

1 1 

40 + 60 

1 

20 

1 

20 

+ 1 

+ 1 

40 

1 

20 

1 

40 

40 

1 

20 

1 

40 

1 

20 

1 

20 

1 

20 

1 1 + 60 + 80 

1 

60 

1 

20 

1 

60 + 80 

1 1 

60 40 

+ 1 

0:3 

0 

0:5 

1 

40 

1 

60 

1 + 60 

= 74:0 

= 64:0 

= 82:0 

Damit sind die Knotenpunktspannungen bekannt und alle Ströme durch die einzelnen Bauelemente 

berechenbar. Die Schaltung gilt als vollständig berechnet. 


Die folgende Schaltung enthält unabhängige Spannungsquellen, die mit dem Bezugsknoten verbunden 

sind. 

Lösung: 

KSV-gerechte Aufbereitung ergibt folgende Schaltung:


Daraus folgt sofort folgende Matrixgleichung für die Knotenpunktsspannungen: 

1 

20 

+ 1 

1 

80 + 60 

1 

60 

1 

60 

1 1 1 

60 + 60 + 40 

Mittels des Kramerschen Verfahrens berechnet man die Knotenpunktsspannungen: 


u1 

u2 

= 

144 

5 

84 

5 

= 28: 8 

u1 

u2 

16: 8 

Die folgende Schaltung enthält Spannungsquellen, die mit mehr als einem Schaltungselement 

und dem Bezugsknoten verbunden sind 

Lösung: 

Um diese Schaltung KSV-gerecht aufzubereiten müssen die beiden Spannungsquellen in Stromquellen 

umgewandelt werden. Mit der Quelle U2 sollten wir keine Schwierigkeiten haben Die 

Quelle U1 dagegen ist an zwei Widerstände angeschlossen, so dass wir zunächst eine klemmenäquivalente 

Umformung anwenden müssen, um jedem Widerstand nur eine Quelle zuzuordnen. 

Hierzu wird parallel zur Quelle U1eine zweite Quelle mit exakt der gleichen Spannung (dies ist 

eine erlaubte Schaltung!!) geschaltet. Die Verbindung zwischen beiden Quellen auf der Seite des 

Knotenpunktes 1 kann nun aufgetrennt werden, da durch diese Verbindung kein Strom ‡ießt. 

Daraus ergibt sich eine Schaltung, die zwei Spannungsquellen mit der Spannung U1 enthält, 

wobei nun jede nur noch mit einem Widerstand in Reihe geschaltet ist und leicht in eine Stromquelle 

umgewandelt werden kann. Diese KSV-grechte Aufbereitung der Beispielschaltung 3 ist 

im folgenden nocheinmal im Detail dargestellt. 

= 

40 

20 

20 

40


Berechnung der Schaltung: Die resultierende Schaltung hat nur noch zwei Knotenpunkte, nämlich 

2 und 3. Der Knotenpunkt 1 wurde durch die Unformung der Spannungsquelle U1 in eine 

Stromquelle eliminiert. (Ganz allgemein gilt: Jede Spannungsquelle reduziert die Anzahl der 

Knoten um 1!!). 

Die letzte (KSV-gerechte) Schaltung der obigen Skizze liefert folgende Matrixgleichung für die 

Knotenpunktsspannungen: 

1 

20 

+ 1 

1 

80 + 60 

1 

60 

1 

60 

1 1 1 

40 + 60 + 60 

Das Kramersche Verfahren liefert die Lösung: 


u2 

u3 

= 

592 

25 

562 

25 

= 23: 68 

u2 

u3 

= 

22: 48 

30 

20 

30 10 

40 + 60 

Die folgende Schaltung enthält Stromquellen, die nicht mit dem Bezugsknoten verbunden sind. 

Zusätzlich zu den Knotenspannungen ist der Strom i0 , der durch die Spannungsquelle U1 ‡ießt, 

zu berechnen. 

Lösung:


Um diese Schaltung KSV-gerecht aufzubereiten müssen die Spannungsquellen in Stromquellen 

umgeformt werden. U1 und U2 sollten keine Probleme machen. Die Stromquelle I3 dagegen ist 

mit zwei Knotenpunkten verbunden. Diese Situation kam bis jetzt noch nicht vor. Das KSV 

wurde in der Vorlesung abgeleitet für den Fall, dass ein jeweils Anschlußder Stromquellen 

am Bezugsknoten liegt. Wir müssen deshalb die Stromquelle I3 dieser Schaltung so umformen, 

dass diese Bedingung erfüllt ist. Dies geschiet am besten mit einer geeigneten äquivalenten 

Umformung. Danach kann eine Stromquelle durch die Reihenschaltung zweier Stromquellen, die 

exakt dengleichen Strom liefern, ersetzt werden. Den Punkt zwischen beiden Stromquellen kann 

ohne die Eigenschaften der Schaltung zu ändern auf ein Beliebiges Potential gelegt werden; so 

z.B. auch auf das des Bezugsknotens. Damit ist unsere Aufgabe gelöst und die Schaltung in eine 

KSV-gerecht umgeformt. Die folgende Skizze zeigt dien nocheinmal im Detail. 

Aufstellen der Matrixgleichung: 

1 

20 

+ 1 

1 

80 + 60 

1 

60 

1 

60 

1 1 1 

60 + 60 + 40 

u1 

u2 

= 

1 + 40 

20 

1 + 20 

40 

Das Kramersche Verfahren liefert die folgenden Knotenpunktsspannungen: 

u1 

u2 

= 

192 

5 

12 

5 

= 38: 4 

2: 4 

Der Strom i0 ergibt sich aus der ursprünglichen Schaltungsdarstellung: 

i0 = u1 40 

20 

= 38: 4 40 

20 

= 0:08 = 80 mA



Die folgende Schaltung enthält Spannungsquellen, die nicht mit dem Bezugsknoten verbunden 

sind. 

Lösung: 

Liegt eine Spannungsquelle zwischen zwei Knoten von denen keiner der Bezugsknoten ist, so kann 

wie unter Beispielschaltung 3 gezeigt vorgegangen werden. Die Spannungsquellen (hier Quelle 

U3) werden in entsprechend viele parallelgeschaltete Quellen exakt dergleicher Spannung umgeformt. 

Jeder einzelnen wird dann ein Widerstand zugeordnet. Die entstehenden Reihenschaltungen 

aus Spannungsquellen und Widerständen werden jeweils in die entsprechende Stromquelle 

überführt. Schließlich erhält man folgende KSV-gerechte Schaltung:


Da die Schaltung nur einen Knotenpunkt hat, reduziert sich die Matrixgleichung auf eine einfache 

skalare Gleichung und u1 ergibt sich sofort aus 

u1 = 

16 24 

16 + 24 

2.5 Schaltungen mit gesteuerten Quellen 

40 30 20 

+ + 

20 24 40 

Das Knotenspannungsverfahren wird nun auf Schaltungen mit gesteuerten Quellen erweitert. 

Die Vorgehensweise ist relativ einfach. Um eine KSV-gerechte Schaltung zu erhalten, werden gesteuerte 

Quellen wie unabhängige Quellen behandelt. Auch die Aufstellung der Matrixgleichung 

erfolgt zunächst wie in den Beispielen des vorherigen Abschnittes gezeigt. Das besondere an der 

auf diese Weise aufgestellten Matrixgleichung ist, dass auf der rechten Seite - also im Stomvektor 

- Steuergrößen auftauchen, die unbekannt sind. Die Matrixgleichung kann also nicht gelöst 

werden, solange diese Unbekannten auf der rechten Seite stehen. Zur Lösung diese Problems 

geht man wie folgt vor. 

(1) Die unbekannten Steuegrößen werden in den Knotenspannungen u1:::un ausgedrückt, so 

dass nun auf der rechten Seite nur noch die Knotenspannungen als Unbekannte stehen. 

(2) Die Knotenspannungen auf der rechten Seite werden nun in die Matrix auf der linken Seite 

einsortiert. Fertig! 

Es entsteht eine Matrixgleichung, die mit den üblichen Verfahren (z.B. Kramer Verfahren) gelöst 

werden kann. 

Das gerade beschriebene Vorgehen wird im folgenden Beispiel angewandt und im Detail erläutert. 

= 36 

2.5.1 Beispiel 6 (Schaltung mit einer gesteuerten Quelle) 

Folgende Schaltung mit einer gesteuerten Quelle ist zu berechnen. 

Lösung: 

Die Schaltung wird in eine KSV-geeignete Form gebracht.


Zunächst betrachtet man die gesteuerten Stromquellen wie unabhängige Stromquellen und stellt 

die Matrixgleichung, wie im vorhergehenden Abschnitt gezeigt, auf. Man erhält 

1 1 

150 + 200 

+ 1 

1 

300 

100 

+ 1 

300 

1 

300 

1 1 1 1 

250 + 400 + 500 + 300 

u1 

u2 

= 

50 Ia 256 

100 + 150 

50 Ia 128 

250 + 500 

Diese Gleichung ist in der dargestellten Form nicht lösbar, da auf der rechten Seite noch der 

unbekannte Strom Ia steht. Ia kann aber leicht in den beiden Knotenspannungen ausgedrückt 

werden 

was zur folgenden Matrixgleichung führt. 

1 1 

150 + 200 

+ 1 

1 

300 

100 

+ 1 

300 

Ia = u2 u1 

300 

1 

300 

1 1 1 1 

250 + 400 + 500 + 300 

; 

u1 

u2 

= 

50 

100 300 (u2 u1) + 256 

150 

50 

250 300 (u2 u1) + 128 

500 

Sortiert man die Knotenspannungen auf der linken Seite in die Matrix ein, so erhält man das 

folgende lösbare Gleichungssystem 

1 1 

150 + 200 

mit der Lösung 

+ 1 

1 

300 

100 

+ 1 

300 

+ 50 

250 300 

+ 50 

100 300 

u1 

u2 

1 50 

300 100 300 

1 1 1 1 

250 + 400 + 500 + 300 

= 

143 

2 

40 

= 71:5 

40:0 

50 

250 300 

Mit den gerade berechneten Knotenspannungen u1 und u2 können die restlichen Spannungen 

der Orginalschaltung leicht berechnet werden. Für den Steuerstrom Ia ergibt sich 

Ia = u2 u1 

300 

= 40:0 71:5 

300 

= 0:105 : 

Die Spannung an der gesteuerten Quelle (uq im Schaltplan Orginalschaltung) erhält man aus 

uq = 50 Ia = 50 ( 0:105) = 5:25 

Die Spannungen an den unabhängigen Quellen sind bereits bekannt und müssen nicht berechnet 

werden. Damit ist die Schaltung vollständig berechnet. 

Dieses Beispiel sollte genügen, um den Umgang mit gesteuerten Quellen im Prinzip zu verstehen. 

u1 

u2 

= 

: 

256 

150 

128 

500 

:


3 Schaltungen mit gesteuerten Quellen 

In diesem Abschnitt wird untersucht, welche Auswirkungen der Einbau einer gesteuerten Quelle 

in eine elektronische Schaltung hat. Es können dabei Phänomene auftreten, die man in Schaltungen 

ohne geteuerte Quellen so nicht beobachtet. So kann es passieren, dass die Schaltung 

instabil wird, was ohne gesteuerte Quelle nicht möglich ist. 

Aktive Bauelemente, wie bipolare Transistoren, Felde¤ekt-Transistoren, Operationsverstärkerschaltungen 

etc. können erst durch das Konzept der gesteuerten Quelle verstanden werden. 

3.1 Kopplung 

Setzt man eine gesteuerte Quelle in einer elektronischen Schaltung ein, so tritt ein Phänomen 

auf, das man bei rein passiven Schaltungen nicht beobachtet, die Schaltung kann instabil 4 

werden. Stabilität und Instabilität einer Schaltung hängen von der Art und Weise ab, wie die 

gesteuerten Quellen gekoppelt sind. Was versteht man unter Kopplung? 

De…nition 3 Unter Kopplung versteht man die Art und Weise wie der Ausgang einer gesteuerten 

Quelle auf den eigenen Steuereingang zurückwirkt. 

Demnach ist die Kopplung keine Eigenschaft der gesteuerten Quelle, denn sie entsteht ja erst 

durch die Schaltung, in die die Quelle eingebunden ist. 

Die Rückwirkung - auch Rückkopplung genannt - auf den eigenen Steuereingang aufgrund der 

äußeren Beschaltung der Quelle kann phasengleich oder gegenphasig erfolgen 5 . Im ersten Fall 

spricht man von Mitkopplung, im zweiten von Gegenkopplung. Folgendes Verfahren erlaubt zu 

entscheiden, um welche Kopplung es sich handelt. 

3.1.1 Verfahren zur Bestimmung der Kopplung 

Anhand einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle wird im folgenden erläutert, wie man die 

Kopplung einer gesteuerten Quelle in einer Schaltung bestimmt. Die Kopplung anderer gesteuerter 

Quellen wird nach dem gleichen Vorgehen ermittelt, indem die Spannungsverstärkung e 

durch die Transkonduktanz g, die Transimpedanz h bzw. die Stromverstärkung f ersetzt wird. 

Man geht wie folgt vor: 

(1) Konstante Quellen in einer Schaltung sind zur Bestimmung der Kopplung von gesteuerten 

Quellen unerheblich und können abgeschaltet werden. Dies vereinfacht die Berechnung z.T. ganz 

erheblich. 

(2) Der gesteuerte Ausgang der Quelle wird ersetzt durch eine einstellbare, unabhängige Testquelle, 

wobei die Steuerspannung Ust durch eine frei einstellbare Testspannung UT est ersetzt 

wird. Die folgende Abbildung zeigt, was zu tun ist. 

4 Spannungen- bzw. Ströme der Schaltung streben gegen Grenzwerte - in der regel unendlich - und verhalten 

sich nicht mehr linear. Ein bedeutendes Anwendungsfeld der Elektronik beruht auf den Eigenschaften instabiler 

Schaltungen: die Digital- und Speichertechnik. 

5 Die Einteilung in gleichphasig (Mitkopplung) und gegenphasig (Gegenkopplung) ist zwar für ein erstes Verständnis 

sehr hilfreich, greift aber zu kurz. Eine tiefgreifendere Erklärung ist erst im Kapitel über frequenzabhängige 

Schaltungen möglich.


Damit ist der Ausgang der Quelle von Eingang entkoppelt 6 . 

3) Dann wird die Spannung UT est um 4UT est erhöht und die daraus folgende Änderung der 

Steuerspannung 4Ust gemessen. 

4) Jetzt wird die Kopplung K = 4Ust 

4UT est 

K = 4Ust 

4UT est 

K = 4Ust 

4UT est 

berechnet und wie folgt bewertet. Wenn 

> 0 gilt liegt Mitkopplung und wenn 

< 0 gilt Gegenkopplung vor. 

Die Größe 4Ust 

bezeichnet man auch als Schleifenverstärkung oder auch Kreisverstärkung der 

4UT est 

gekoppelten Quelle. 

Bei Mitkopplung ist leicht einzusehen, dass die Schaltung zum pathologischen Fall werden 

kann, denn wird aus irgendeinem Grund die Änderung der Steuergröße (oben ist das 4Ust) 

größer als dem momentanen Gleichgewichtszustand entspricht, so nimmt dadurch auch die Ausgangsgröße 

der gesteuerten Quelle zu und bewirkt ihrerseits wieder eine Zunahme der Steuergrösse, 

dies bewirkt eine weitere Zunahme der Ausgangsgröße usw. usw., bis die Ausgangsgröße 

letztlich gegen unendlich geht - die Schaltung verläßt den instabilen Gleichgewichtszustand und 

wird wird instabil. Doch halt! Sie wird nur dann instabil, wenn die Änderung der Steuerspan- 

nung eine noch größere Änderung der Steuerspannung zur Folge hat, wenn also 

gilt. Gilt dagegen 

0 < 4Ust 

4UT est 

< 1 

4Ust 

4UT est 

so ist die Schaltung zwar mitgekoppelt, bleibt aber stabil. Ist die Kopplung exakt gleich Eins, 

so spricht man von einem grenzstabilen Verhalten 7 . 

Um die Kreisverstärkung und damit die Kopplung zu bestimmen wurde Steuerung der gesteuerten 

Quelle unterbrochen und durch eine Testquelle ersetzt. Man spricht auch von der ”Auftrennung 

des Regelkreises”. In realen Schaltungen ist es nicht immer einfach möglich die Steuerung 

einer gesteuerten Quelle zu unterbrechen, um die Kreisverstärkung zu messen. Ein konkretes 

Beispiel soll das Problem der Kopplung transparenter machen. 

3.1.2 Beispiel 7 (Bestimmung der Kopplung) 

Die Kopplung der gesteuerten Quelle in folgender Schaltung ist zu bestimmen. 

6 

Dieses Verfahren ist in der Regelungstechnik unter dem Namen Nyquist-Verfahren bekannt und wird dort zur 

Untersuchung der Stabilität von Regelkreisen eingesetzt. 

7 

Oszillatoren sind Beispiele für Schaltungen mit grenzstabilem Verhalten. 

> 1


Lösung: 

Die Schaltung wird in eine KSV-geeignete Form gebracht: 

u2 wird nach dem Knotenspannungsverfahren berechnet (Itest ist im folgenden gleich It gesetzt): 

Man erhält 

u1 

u2 

= 

des Teststroms I2(It) 

1 

2 

+ 1 

264 

43 It 

120 

43 It 

4 

1 

2 

1 

2 

1 1 1 

2 + 20 + 2 

u1 

u2 

= 

6 It 

+6 It 

: Damit erhält man den gesuchten Steuerstrom als Funktion 

I2 = 

u2 

2 = 

= 1: 395 3It 

120 

43 It 

2 

Daraus ergibt sich der gesuchte Quotient der Änderungen 

Wegen 4I2 

4It 

4I2 

4It 

= 60 

43 It 

= d 

( 1:395 3It) = 1:395 

dIt 

< 0 ist die gesteuerte Quelle gegengekoppelt, und die Kreisverstärkung beträgt 

-1.395. Es handelt sich damit um eine stabile lineare Schaltung, so dass es Sinn macht die Schaltung 

nach dem Knotenspannungsverfahren vollständig zu berechnen. Der Schaltung entnimmt 

man folgende Matrixgleichung 

1 

2 

+ 1 

4 

1 

2 

1 

2 

1 1 1 

2 + 20 + 2 

Um diese zu lösen muss I2 ist noch in den Knotenspannungen 

I2 = 

u1 

u2 

= 

80 u2 

2 

6 I2 + 1:5 

+6 I2 + 40 

:


ausgedrückt werden. Dies liefert 

1 

2 

+ 1 

4 

1 

2 

1 

2 

1 1 1 

2 + 20 + 2 

u1 

u2 

= 

6 

6 

80 u2 

2 

80 u2 

2 

+ 1:5 

+ 40 

= 3u2 240 + 1:5 

3u2 + 240 + 40 

Nun wird die Knotenspannung u2 auf die linke Seite gebracht und in die Matrix vorzeichenrichtig 

einsortiert, was 

1 1 1 

2 + 4 2 3 u1 238: 5 

= 

+ 3 

280 

schließlich zur Lösung 

1 

2 

1 

2 

+ 1 

20 

+ 1 

2 

u1 

u2 

führt. Daraus ergibt sich der Steuerstrom 

I2 = 

Er wird weiter unten noch gebraucht. 

80 u2 

2 

= 80 70:485 

= 10: 932 

u2 

70: 485 

2 

= 4:76 : 

3.2 Ersatzspannungsquellen (Theveninscher Satz) 

Das Konzept der Ersatzspannungsquelle ist auch bei Anwesenheit gesteuerter Quellen uneingeschränkt 

gültig und anwendbar. In diesem Abschnitt wird erläutert, wie man dann die theveninsche 

Spannung Uth und den theveninsche Widerstand Rth berechnet. Das Folgende ist 

insbesondere zur Berechnung von Ein- und Ausgangswiderständen wichtig. Wieder wird das 

Vorgehen anhand eines Beispiels gezeigt. 

3.2.1 Beispiel 8 (Berechnung der theveninschen äquivalenten Schaltung) 

Von folgender Schaltung ist die theveninsche Quelle (Ersatzspannungsquelle) zu ermitteln. 

Lösung: 

Da IAB = 0 ist und keine unabhängigen Quellen in der Schaltung vorhanden sind, ist die 

Leerlaufspannung an den Klemmen AB der Schaltung ganz o¤ensichtlich UAB = Uth = 0 . 

Um den theveninschen Widerstand zu bestimmen muss man auf dessen De…nition zurückgehen, 

die besagt, dass 

rth = 4UAB 

4IAB 

= dUAB 

dIAB 

:


gilt. rth ist also ein di¤erentieller Widerstand, der im Sonderfall Uth = 0, d.h. wenn die 

übereinstimmt. Zur Bestimmung von 

Schaltung keine unabhängigen Quellen enthält, mit UAB 

IAB 

rth ist die Funktion UAB (IAB) zu ermitteln und dann nach der Spannung zu di¤erenzieren. 

Das Verfahren zur Berechnung des di¤erentiellen Widerstandes rth hat vieles mit dem Verfahren 

zur messtechnischen Bestimmung des Eingangswiderstandes gemeinsam. Wie bei der 

Messung von rth mittels eines Ohmmeters wird ist auch zur Bestimmung von UAB (IAB) ist 

eine Spannungs- bzw. Stromquelle, man bezeichnet diese oft als Arbeitspunktsquelle, an die 

Klemmen AB zu legen und der Strom- bzw. die Spannung an den Klemmen AB zu messen. Die 

hierzu notwendige Schaltung ist im folgenden Diagramm dargestellt. 

Das Knotenspannungsverfahrens liefert folgende Gleichung 

1 1 

+ 

30 10 

u1 = 8 Is + UAB 

10 

Drückt man Is in der Knotenspannung u1 aus, also durch Is = UAB u1 

10 ; so erhält man 

1 1 

+ 

30 10 

mit der Lösung für die Knotenspannung 

Wegen IAB = UAB u1 

10 

u1 = 8 UAB u1 

10 

u1 = 27 

28 UAB 

: 

+ UAB 

10 

erhält man den gewünschten Zusammenhang UAB (IAB) 

IAB = UAB u1 

= 

10 

1 

280 UAB 

UAB = 280 IAB 

und damit den theveninschen Widerstand rth = dUAB 

dIAB 

der Ausgangsschaltung vollständig charakterisiert. 

= UAB 

27 

28 UAB 

10 

: 

= 280 : Damit ist die theveninsche Quelle 

Das vorangehende Beispiel zeigt, wie der theveninsche Widerstand bei Anwesenheit von gesteuerten 

Quellen durch Anlegen einer Arbeitspunktsquelle an die Klemmen AB bestimmt wird. 

Sollte die Schaltung außer gesteuerten Quellen noch konstante Quellen enthalten, so dürfen 

diese zur Bestimmung des theveninschen Widerstandes vor dem Anlegen der Arbeitspunktsquelle 

abgeschaltet werden 8 , was in der Regel zur Vereinfachung der zu berechnenden Schaltung 

8 Konstante Quellen dürfen, müssen aber nicht abgeschaltet werden, da deren Beiträge durch die Di¤erentiation 

nach dem Strom bzw. der Spannung der Arbeitpunktsquelle bei der Berechnung des theveninschen Widerstandes 

herausfallen.


führt. Die Leerlaufspannung kann direkt z.B. durch Anwenden des Knotenspannungsverfahrens 

bestimmt oder über das Superpositionsprinzip berechnet werden. Die Bestimmung der theveninschen 

Quellen in Bezug auf die Eingangs- und Ausgangsklemmen einer Schaltung hat eine 

große Bedeutung, da die entsprechenden theveninschen Widerstände de…nitionsgemäßdie Einund 

Ausgangswiderstände der Schaltung sind. 

3.2.2 Ein- und Ausgangswiderstände 

Aus dem Konzept der Ersatzspannungsquelle können auf natürliche Art und Weise die De…nitionen 

für Ein- und Ausgangswiderstände von Schaltungen abgeleitet werden. 

De…nition des Eingangswiderstands 

Der theveninsche Widerstand rth = dUe 

in Bezug auf die Eingangsklemmen einer Schaltung 

dIe 

heißt Eingangswiderstand re der Schaltung. 

Sinngemäßgilt 

De…nition des Ausgangswiderstands 

Der theveninsche Widerstand rth = dUa 

in bezug auf die Ausgangsklemmen einer Schaltung 

dIa 

heißt Ausgangswiderstand ra der Schaltung. 

Auch die O¤setgrößen am Eingang einer Schaltung sind über das Konzept der theveninsche 

Quelle de…nierbar. 

De…nition der Eingangs-O¤setspannung 

Die theveninsche Spannung Uth in bezug auf die Eingangsklemmen einer Schaltung heißt Eingangs- 

O¤setspannung oder einfach O¤setspannung. 

De…nition des Eingangs-O¤setstroms 

Der nortonsche Strom Ith in bezug auf die Eingangsklemmen einer Schaltung heißt Eingangs- 

O¤setstrom oder einfach O¤setstrom. 

3.3 Die Schaltung mit gesteuerter Quelle als Regelkreis 

Gesteuerte Quellen können so verschaltet werden, dass der Ausgang der Quelle auf deren eigenen 

Eingang zurückwirkt. Diese Eigenart einer gesteuerten Quelle wurde bereits im Abschnitt über 

Kopplung ausführlicher erörtert. In diesem Abschnitt geht es darum, das Phänomen der Kopplung 

zu visualisieren also gra…sch darzustellen. Damit wird die Verbindung zur Regelungstechnik 

hergestellt. 

Die zentrale Frage bei gesteuerten Quellen in einer Schaltung ist die nach der Erzeugung der 

Steuergröße (Wer oder was steuert die Quelle?). Nach dem Überlagerungssatz (Superpositionsgesetz) 

setzt sich die Steuergröße aus den Beiträgen aller Quellen, d.h. sowohl der gesteuerten 

als auch der unabhängigen, zusammen. Somit ist die die Superpositionsgleichung der Steuergröße 

von entscheidender Bedeutung zum Verständnis der Funktion der gesteuerten Quelle. Dieser 

Sachverhalt soll anhand eines Beispiels dargestellt werden. Dabei wird auf die bereits im Beispiel 

7 berechnete Schaltung zurückgegri¤en. Dabei ist die Steuergröße der Strom I2.


Dieser Steuerstrom setzt sich aus drei Beiträgen zusammen, nämlich den Beiträgen der zwei 

unabhängigen Quellen I und U und der gesteuerten Quelle Ig = 6 I2. Diese Beiträge werden 

nun im einzelnen nach dem Superpositionsprinzip berechnet: 

Der Beitrag der unabhängigen Quelle I ergibt sich nach der Knotenspannungsverfahren aus der 

Matrixgleichung 

1 1 1 

4 + 2 

= 1:5 

0 

Mit der Lösung 

woraus 

folgt. 

2 

1 

2 

1 

20 

+ 1 

2 

u I 1 

u I 2 

+ 1 

2 

= 2: 930 2 

u I 1 

u I 2 

1: 395 3 

u I 2 

I I 2 = 

2 

= 

1: 395 3 

2 

I I 2 = 0:697 65 

Der Beitrag der unabhängigen Quelle U ergibt sich nach der Knotenspannungsverfahren aus der 


1 1 1 

4 + 2 2 

= 


woraus 

folgt. 

1 

2 

1 

20 

+ 1 

2 

u U 1 

u U 2 

+ 1 

2 

= 37: 209 

u U 1 

u U 2 

55: 814 

I U 2 = 

uU 2 80 

2 

= 

55: 814 

2 

80 

I U 2 = 12:093 A 

Der Beitrag der gesteuerten Quelle Ig ergibt sich nach der Knotenspannungsverfahren aus der 


1 1 

4 + 2 

1 

2 

" # 

= 

Ig 

+Ig 

1 

2 

1 

20 

+ 1 

2 

+ 1 

2 

u Ig 

1 

u Ig 

2 

0 80 

2


, Solution is: 

woraus 

folgt. 

44 

43 Ig 

20 

43 Ig 

= 

1: 023 3Ig 

0:465 12Ig 

" 

u Ig 

1 

u Ig 

2 

I Ig 

2 

I Ig 

2 

# 


= 

= 

= 

1:023 3Ig 

0:465 12Ig 

u Ig 

2 

2 

0:465 12Ig 

2 

= 0:232 56Ig 

Fast man die Beiträge der drei Quellen zusammen und rundet die einzelnen Beiträge auf zwei 

Stelle nach dem Komma, so erhält man schließlich die Superpositionsgleichung 

I2 = 0:70 

| {z } 

Beitrag von I 

+12:09 

| {z } 

Beitrag von U 

0:233 Ig 

| {z } 

Beitrag von Ig 

Probe: Zum Vergleich mit dem Beispiel 7 berechnet man daraus I2, mit Ig = 6 I2 

I2 = 0:70 + 12:09 0:233 6 I2 woraus das Ergebnis aus Beispiel 7 

I2 = 4:76 A 

folgt. Die zeigt, dass hier richtig gerechnet wurde. 

Die eben nach dem Superpositionsprinzip berechnete Gleichung wird nun im folgenden Abschnitt 

gra…sch dargestellt. 

3.3.1 gra…sche Interpretation der Superpositionsbleichung 

Die Gleichung 

I2 = 0:70 + 12:09 0:233 6 I2 

wird nun folgendermaßen dargestellt. Die drei Summanden der rechten Seite 0:70 + 12:09 

0:233 6 I2 werden als einlaufende Pfeile in das Summationssymbol dargestellt. Das Ergebnis 

auf der linken Seite, nämlich I2, wird durch einen auslaufenden Pfeil dargestellt. Auf diese Weise 

wird die Addition, wie im Folgenden gezeigt, gra…sch dargestellt. 

.


Vereinbart man, dass hintereinander angeordnete Kästchen miteinander zu multiplizieren sind, 

so kann das eben entwickelte Diagramm wie folgt umgezeichtet werden. 

Letztlich wird das Kästchen mit dem Wert I2 durch durch den Pfeil mit dem Wert I2 verbunden 

und man erhält


Sollen Spannung U und Strom I der beiden konstanten Quellen veränderliche Werte annehmen 

können, so ergibt sich schließlich das Folgende Diagramm. 

Weiter wird in diesem Blockdiagramm der gesteuerte Strom Ig = 6 I2 ausgekoppelt. Die einzelnen 

Blöcke sind mit den in der Regelungstechnik üblichen Namen versehen. Damit ist gezeigt, 

dass jede gesteuerte Quelle in einer Schaltung durch ein regelungstechnisches Blockdiagramm 

dargestelt werden kann. Um die Stabilität einer Schaltung mit gesteuerten Quellen zu beurteilen, 

können die in der Regelungstechnik üblichen Verfahren eingesetzt werden.


4 Operationsverstärker (OP) 

Weiterführende Literatur zu diesem Abschnitt …ndet man in vielen Büchern über Oerationsverstärker. 

Stellvertretend für alle sei hier das Standartwerk von Ulrich Tietze und Christoph 

Schenk erwähnt, das seit der Erstau‡age im Jahre 1969 inzwischen in der 11. Au‡age erscheint. 

Das Kapitel über Operationsverstärkern [UT99, Kapitel 5] ist lesenswert. 

Nachdem nun der Umgang mit gesteuerten Quellen eingeübt wurde, können praxisnahe Schaltungen 

berechnet werden. Eine sehr wichtige Schaltungsklasse stellen die Operationsverstärker 

(OP) dar. OP sind in der Regel mehrstu…ge, aus bipolaren Transistoren und/oder Felde¤ekttransistoren 

aufgebaute Verstärker und werden oft monolithisch 9 hergestellt. Im Gegensatz zu 

normalen Verstärkern werden Operationsverstärker praktisch nie eigenständig, sondern immer 

zusammen mit einer äußeren, funktionsgebenden Zusatzbeschaltung betrieben. OP wurden früher 

vorwiegend in Analogrechenschaltungen zum Durchführen von Rechenoperationen eingesetzt 

und haben von dieser Anwendung ihren Namen erhalten. Heute sind sie sowohl als Einzelhalbleiter 

als auch innerhalb von integrierten Schaltungen zu …nden. Während früher der Einsatz von 

OP auf vergleichsweise kleine Frequenzen beschränkt blieb stehen heute OP bis in den GHz- 

Bereich zur Verfügung. 

Der OP hat die Methode nach der elektronische Schaltungen entwickelt werden maßgeblich 

beein‡ußt und in zwei Lager gespalten. Zum einen unterscheidet man die Entwickler von Anwenderschaltungen, 

die praktisch ausschließlich integrierte Bauelemente in Form fertiger ICs 

einsetzen und zum anderen die Entwickler von integrierten Bauelementen, die entsprechende 

Bauelemente auf Siliziumsubstrat realisieren. Das hat dazu geführt, dass in Anwenderschaltungen 

heute immer weniger diskrete Bauelemente zu …nden sind. Der Schaltungsentwurf mit 

konkreten Transitoren hat heute nur noch bei der Entwicklung integrierter Schaltungen seine 

Berechtigung und wird dort von Spezialisten auf diesem Gebiet weiterentwickelt. 

4.1 Einteilung von Operationsverstärkern 

Klassi…ziert man die am Markt zur Verfügung stehenden OP nach ihren Ein- und Ausgangssignalen, 

so lassen sich vier Klassen unterscheiden, die direkt mit den im Abschnitt 1.6 besprochenen 

Quellen übereinstimmen. In der folgenden Tabelle sind die üblichen OP Bezeichnungen 

zusammengestellt. 

9 d.h. eine, auf einem einzigen Siliziumsubstrat hergestellte Schaltung


Bei den Abkürzungen stehen V für ”voltage”(Spannung) und C für ”current”(Strom). Der erste 

Buchstabe bezeichnet den Eingang, der zweite den Ausgang des OP. Wenn im Folgenden von 

OP gesprochen wird, so sind damit normale Op, also spannungsgesteuerte Spannungsquellen 

(VV-OP) gemeint. Von einigen Ausnahmen für Spezialfälle haben OP sehr hohe Verstärkungen, 

die zudem großen fertigungstechnischen Schwankungen unterliegen, so dass sie schon aus diesem 

Grund nicht ohne Zusatzbeschaltung betrieben werden können. Im folgenden wird gezeigt, 

wie durch äußere Zusatzbeschaltungen sehr präzise, funktionelle Schaltungen aufgebaut werden 

können. Folgende De…nition für einen OP sei gewagt. 

De…nition 4 Ein Operationsverstärker ist eine gesteuerte Quelle die im allgemeinen einen hohen 

Übertragungsfaktor aufweist. Die Eigenschaften einer Schaltung mit Operationsverstärkern 

werden ausschließlich durch die äußere Beschaltung festgelegt. Der nakte Operationsverstärker 

verhält sich funktionsneutral. 

VV-OPs haben im Hochfrequenzbereich erhebliche Nachteile gegenüber CC-OPs, sind aber am 

weitesten verbreitet und stellen geradezu den Prototyp 10 eines OP dar. Spricht man von einem 

Operationsverstärker, so meint man i.a. einen VV-OP. 

4.2 innerer Aufbau von VV-OP 

4.2.1 Symbolik und Anschlüsse 

Wie in Tabelle angegeben, stellt ein VV-OP eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle dar. 

Schaut man in die Datenbücher der Hersteller, so …ndet man diese OP unter Namen, wie ”normale 

OP”, ”universal OP” oder einfach unter OP wieder. In der folgenden Abbildung ist ein 

typischer OP-Baustein wie im Datenblatt dargestellt. 

10 In der Tat wurde der weltweit erste OP - der legendäre OP741 - als VV-OP also als spannungsgesteuerte 

Spannungsquelle aufgebaut und in den Folgejahren immer weiter verbessert.


Es handelt sich dabei um einen VV-OP der Firma Burr-Brown mit der Bezeichnung OPA227.Die 

Belegung der Anschlüsse (Pinbelegung) ist typisch für OP mit 8 Anschlüssen und stellt einen 

gewissen Standart dar. Zunächst ist in dieser Dartellung keine gesteuerte Quelle zu erkennen; sie 

hat im Zusammenhang mit OP ihre eigene Symbolik. Für den VV-OP wird das in der folgenden 

Abbildung verwendete Dreieckssymbol verwendet. 

Da die beim OPA277 vorhandenen O¤setanschlüsse nicht bei jedem OP zur Verfügung stehen, 

werden sie im folgenden weggelassen; auf ihre Bedeutung wird später noch eingegangen. Letztlich 

bleiben 5 Anschlüsse, die beim OP zur äußeren Beschaltung zur Verfügung stehen, nämlich die 

beiden Anschlüsse für die Steuerspannung (+In und -In), der Ausgang der gesteuerten Quelle 

(Output) und die beiden Anschlüsse für die Versorgungsspannung des OPs. Da die Versorgungsspannungsanschlüsse 

bei jedem OP zwangsläu…g vorhanden sein müssen, werden auch sie oft 

nicht eingezeichnet und es ergibt sich das häu…g verwendete OP Symbol 

mit lediglich drei Anschlüssen. Wie man erkennt, ist die gesteuerte Seite der Quelle nur mit 

einem Anschlußnach aussen geführt, der zweite dagegen innerhalb des OPs an eine Spannung11 von ca. V++V 

2 angeschlossen. I.d.R. wird dieser Anschlußals Masseanschlußkentlich gemacht, 

obwohl er nicht exakt auf Masse liegt. Es wird im Folgenden gezeigt, dass es bei OP nicht sehr 

entscheidend ist, auf welchen Potential sich die innere Masse be…ndet. 

11 Es wird später gezeigt werden, dass der genaue Spannungswert unerheblich ist.


4.2.2 innerer Aufbau eines VV-OPs 

Ohne an dieser Stelle genauer auf den inneren Aufbau eines OPs einzugehen soll hier die 

Grundschaltung der ”Mutter aller OP”, nämlich des legendären 741, angegeben werden, der 

vor mittlerweile 35 Jahren als erster OP-Baustein auf den Markt kam. Er ist, um ihn an dieser 

Stelle nocheinmal zu würdigen, in der folgenden Abbildung dargestellt.Man erkennt die beiden 

Abbildung 1: Schaltung des ersten marktfähigen Operationsverstärkers 741 

Steuereingänge, den Ausgang und die Spannungsversorgung. Diese Schaltung stellt eine Realisierung 

einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle dar. Mittlerweile wurde die Schaltung des 741 

in mehrfacher Weise modi…ziert und modernisiert, um so den ständig steigenden Anforderungen 

gerecht zu werden. Es wurden OP-Bausteine für alle erdenklichen Anwendungen entwickelt. 

Einige dieser Verstärkertypen sind im folgenden Zusammengestellt und beschrieben. ?? 

1. Universalverstärker. [UT99, Kapitel 5.2.2]Ursprünglich üblich waren Verstärker mit 

vergleichsweise kleiner Spannungsverstärkung (ca. 2000). Eines der Ziele bei der Entwicklung 

des 741 war die Erhöhung der Spannungsverstärkung auf ca. 10 5 ; was durch einen 

stark verbesserten Di¤erenzverstärker erreicht wurde. Um große bipolare Ausgangsströme 

treiben zu können wurde der ursprünglich am Ausgang vorhandene Emitterfolger durch 

einen komplementären Emitterfolger 12 ersetzt. Für viele Anwendungen wirkt sich der eingeschränkte 

nutzbare Ausgangsspannungsbereich von U + 2V bis U+ 2V negativ aus, 

12 Folgende Begri¤e werden nahezu synonym gebraucht: komplementärer Emitterfolger, Class B-Verstärker, 

push-pull Verstärker.


wobei U und U+ die Betriebsspannungen am OP sind. Stark verbesserte Versionen des 

741 werden oft als Präzisionsverstärker bezeichnet. 

Typische Universalverstärker sind, unter vielen anderen, die folgenden IC: OPA227, AD741, 

OP27. 

2. Single-Supply-Verstärker.[UT99, Kapitel 5.2.4] Während OP vom Typ 741 nur Eingangsspannungen 

verarbeiten und Ausgangsspannungen liefern können, die ca. 1.5V bis 

2V unterhalb der positiven bzw oberhalb der negativen Betriebsspannung liegen 13 , arbeiten 

single-supply-Verstärker bis zur unteren Betriebsspannungsgrenze, was sich vor allen 

Dingen dann vorteilhaft auswirkt, wenn der OP an einer einzigen Spannungsquelle (daher 

auch der Name!) - z.B. in einem tragbaren Gerät - betrieben wird. 

Typische single-supply-Verstärker sind, unter vielen anderen, die folgenden IC: LM324, 

TLC272, TLC277. 

3. Rail-to-Rail-Verstärker[UT99, Kapitel 5.2.5] erweitern den nutzbaren Spannungsbereich 

bis an beide Betriebsspannungsgrenzen. (z.B. der OPA340 von BB). Rail-to Rail 

Verstärker sind im Gegensatz zu den vorgenannten Verstärkergruppen oft auf niedrige 

Versorgungsspannungen - z.B. 0V bis 5V - beschränkt. 

Typische rail-to-rail Verstärker sind, unter vielen anderen, die folgenden IC: OPA340, 

LMC6484, ADL4702, TLC225. 

4. Breibandverstärker[UT99, Kapitel 5.2.6] sind - abweichen vom 741 - so aufgebaut, dass 

die gesamte Spannungsverstärkung in einer Verstärkerstufe erfolgt und damit eine Frequenzgangkorrektur 

über‡üssig wird. Einige dieser Verstärker können Frequenzen bis in 

den GHz - Bereich veraebeiten. 

Typische Breitbandverstärker Verstärker sind, unter vielen anderen, die folgenden IC: 

OPA640, AD797, LT1363. 

Im folgenden Diagramm ist die Begrenzung der Ausgangsspannung der drei erstgenannten Verstärkertypen 

dargestellt. 

13 Werden diese Grenzen erreicht, so bleibt die Ausgangsspannung konstant und der OP geht in die Sättigung.


4.3 Abweichungen vom idealen Verhalten 

Idealerweise stellt ein VV-OP die Funktion einer linearen gesteuerten Spannungsquelle zur Verfügung. 

Beim praktischen Aufbau von OPs wird dieses Ideal nicht erreicht. Im folgenden werden 

die wesentlichen Abweichungen vom idealen Verhalten besprochen. 

1. Die Eingangsströme [UT99, Kapitel 5.2.8] sind nicht gleich Null. Ein Blick auf die Eingangsstufe 

der Schaltung des OP 741 auf Seite 38 zeigt, dass die beiden Transistoren am 

Eingang zu deren Arbeitspunktseinstellung Basisströme benötigen. Diese Basisströme bezeichnet 

man auch als Eingangsruheströme des OP. Verstärker, deren Eingangsstufen mit 

Felde¤ekttransistoren aufgebaut sind, benötigen praktisch keine Eingangsruheströme zur 

Arbeitspunktseinstellung. 

2. Die O¤setspannung und der O¤setstrom [UT99, Kapitel 5.2.8] sind nicht gleich Null. 

Jeder OP hat eine endliche von Null verschiedene O¤setspannung. Idealerweise müßte 

man beim Kurzschließen beider OP-Eingänge eine Ausgangsspannung von 0V messen, 

was i.d.R aber nicht der Fall ist. Schließt man die Eingaänge eines OP kurz, so wird die 

Ausgangsspannung nicht Null, sondern zeigt entweder den maximal möglichen positiven 

oder negativen Wert der an. Sie nimmt also ihren Sättigungswert an, was den Schluß 

zuläßt, dass die Spannung am Eingang großgenug ist, um den Ausgang des OP in die 

Sättigung zu treiben. Folgende Ersatzschaltung trägt zur Klärung diese Verhaltens bei. 

Werden in dieser Schaltung die Eingange kurzgeschloßen, so wirkt die O¤setspannung als 

Eingangsspanung des idealen OPs und die Ausgangsspannung wird Ua = v Uoff . Da 

die Verstärkung von OP normalerweise sehr hoch ist, reichen kleinste O¤setspannungen 

in der Größenordnung von einigen V aus, um den OP in die Sättigung zu treiben. Bei 

o¤enen Eingängen hat der O¤setstrom ein unde…niertes Verhalten zur Folge (verbotene 

Schaltung!). Die tatsächlichen Verhätnisse sind oft komplizierter, so dass mehrere O¤setquellen 

zur Beschreibung notwendig werden. Die oben angegebene Schaltung stellt eine 

erste O¤setschaltungsnäherung dar. Die O¤setspannung kann durch Einfügen von äußeren 

Zusatzspannungsquellen, sogenannten Kompensationsspannungsquellen weitgehend kompensiert 

werden und stellt kein größeres Problem dar. 

3. Die Gleichtaktverstärkung [UT99, Kapitel 5.2.8] ist nicht gleich 0V. Werden bei einen 

o¤setkompensierten OP beide Eingänge kurzgeschlossen und eine Spannungsquelle Ugl 

gegen Masse 

Gleichtaktverstärkung


einfügt, so müßte idealerweise die Ausgangsspannung gleich 0V sein; dies ist bei realen 

OPs nicht der Fall und wird durch die Gleichtaktverstärkung, die noch eingehend zu besprechen 

sein wird, ausgedrückt. Um kleine Gleichtaktverstärkungen zu erhalten, muss die 

Eingangsstufe des OPs sehr gut abgeglichen werden. 

4. Der Eingangswiderstand eines OP ist nicht, wie idealerweise angenommen, unendlich 

und der Ausgangswiderstand nicht idealerweise 0 [UT99, Kapitel 5.2.8]. 

5. Frequenzverhalten [UT99, Kapitel 5.4.2]. Ideal wäre eine frequenzunabhängige Verstärkung. 

Dagegen beobachtet man beim realen OP ein Abnehmen der Ausgangsspannung 

mit zunehmender Frequenz. Dieses Verhalten wird im Kapitel über frequenzabhängige 

Schaltungen näher untersucht. 

6. Rauschen [UT99, Kapitel 5.2.8]. Schaut man sich die Ausgangsspannung eines OPs mit 

einem sehr emp…ndlichen Oszilloskop genau an, so zeigt sich das Nutzsignal von einem 

statistischen Störsignal überlagert, das sich scheinbar willkürlich mit der Zeit verändert; 

man spricht auch von Rauschsignalen. 

4.4 Der OP als Bauelement 

In diesem Abschnitt wird auf die praktischen Aspekte beim Umgang mit OP eingegangen. 

4.4.1 Versorgungsspannung 

Für viele OP Schaltungen sind zwei Versorgungsspannungen, nämlich eine positive und eine 

negative, mit der dazugehörigen Masseleitung notwendig. Diese drei Anschlüsse gewinnt man 

durch Zusammenschalten zweier Batterien oder, wie in der folgenden Abbildung dargestellt, 

durch Zusammenschalten zweier Labornetzgeräte.


4.4.2 Gehäuseformen 

OP werden in sehr unterschiedlichen Gehäusen (Packages) geliefert, wobei die Tendenz zu immer 

kleineren Gehäusen unverkennbar ist. Weiterhin erfordern moderne Schaltungen ober‡ächenmontierbare 

Bauelemente (engl. Surface Mount Devices, SMD) also solche, die keine Bohrungen 

zur Montage benötigen. Wegen der Gehäusevielzahl ist eine vollständige Darstellung aller OP 

Gehäuse hier nicht möglich. Im Folgenden sind einige aufgeführt, die sehr häu…g als OP-Gehäuse 

eingesetzt werden. 

Gehäuse dienen nicht nur einfach als Verpackung des Siliziumchips, sondern übernehmen wichtige 

Funktionen, wie das Herstellen von optimalen Verbindungen mit der umgebenden Schaltung, 

der Abführen der Verlustwärme, Schutz vor Störstrahlung etc. Die Entwicklung von geeigneten 

Gehäusen ist für die Verbreitung von Bauelementen sehr wichtig. 

8-poliges PDIP- und 8-poliges SOIC- Gehäuse (SMD) 

8-poliges CERDIP Gehäuse und das runde TO99 Gehäuse


Der OPA340 ist in dem sehr kleinen SOT-23-5 Gehäuse lieferbar. 

4.5 Grundschaltungen von Verstärkern 

Es sind nun alle Grundlagen zusammengestellt, um Verstärkerschaltungen und ihre Eigenschaften 

mit Operationsverstärkern näher zu betrachten. Diese Grundlagen sollen nocheinmal kurz 

zusammengefasst werden. 

1. Mit dem Knotenspannungsverfahren steht ein systematisches Verfahren zur Berechnung 

von linearen Schaltungen mit gesteuerten Quellen zur Verfügung. Andere legitime Verfahren 

sind gleichwertig und können natürlich weiterhin benutzt werden. Je nach Aufgabenstellen 

führt das eine oder das andere Verfahren schneller zum Ziel. Das Knotenspannungsverfahren 

wurde für diese Vorlesung ausgewählt, da es einfach anwendbar und für 

alle Schaltungen 14 gleichermaßen geeignet ist. 

2. Die Kopplung gesteuerter Quellen und die Darstellung gekoppelter Quellen mittels regelungstechnischer 

Diagramme wurde eingehend behandelt. 

3. Der Begri¤ der Ersatzspannungsquelle oder auch theveninsche Quelle und der Begri¤ der 

Ersatzstromquelle oder auch nortonsche Quelle wurde erweitert, so dass jetzt auch Schaltungen 

mit gesteuerten Quellen als Ersatzspannungsquelle bzw. Ersatzstromquelle darstellbar 

sind. 

Bei der Berechnung von Ein- und Ausgangswiderständen wird regelmäßig von diesen Sätzen 

gebrauch gemacht. 

4. Schließlich wurde besprochen, in welcher Weise reale OP von idealen OP abweichen. 

Zunächst werden Grundschaltungen besprochen, die direkt oder in modi…zierter Form in größeren 

Schaltungen eingebettet zu …nden sind. Dabei handelt es sich zunächst um gegengekoppelte 

Schaltungen. 

14 nach vorheriger Umformung in eine KSV-gerechte Schaltung


4.6 nicht-invertierender Verstärker 

Die Grundschaltung des nicht-invertierenden Verstärkers ist in der folgenden Abbildung als OP- 

Schaltung dargestellt. 

Setzt man einen OP mit endlicher Spannungsverstärkung, sonst aber idealen OP ein, so ergibt 

sich daraus folgende Schaltung mit einer gesteuerten Quelle. 

Im Folgenden werden nun die Eigenschaften des nicht-invertierenden Verstärkers genauer untersucht. 

4.6.1 Kopplung der Quelle 

Zunächst ist zu untersuchen, ob Mit- bzw. Gegengekopplung vorliegt. Setzt man die Quellenspannung 

der gesteuerten Quelle gleich e UT est , so ergibt sich als Steuerspannung Ust = 

Ue 

R1 

R1+R2 e UT est und daraus 

dUst 

dUT est 

= 

R1 

R1 + R2 

e < 0 . 

Es handelt sich also um eine gegengekoppelte Schaltung in der der OP als lineares Bauelement 

arbeitet. 

4.6.2 Spannungstransferfunktion und -verstärkung (vu) 

Die vorliegende Schaltung mit gesteuerter Quelle läßt sich zur Berechnung auf einen Knotenpunkt 

reduzieren. Die Knotenpunktsgleichung (im Folgenden wird Ust = Us gesetzt!) wird direkt 

aus der Schaltung abgelesen und ergibt 

1 

R1 

+ 1 

R2 

e Us 

u1 = 

R2 

.


In diesem Ausdruck muss die Steuerspannung Us noch durch die Knotenpunktsspannung u1 

ausgedrückt werden, so dass sich schließlich 


1 

R1 

+ 1 

R2 

u1 = 

Us = Ue u1 

u1 = e 

eR1 

R2 

(Ue u1) 

R2 + R1 + eR1 

ergibt. Daraus folgt die Spannungstransferfunktion Ua (Ue) 

und die Spannungsverstärkung 

Ue 

Ua (Ue) = e Us = e (Ue u1) 

= e 1 

eR1 

R2 + R1 + eR1 

= 

= 

e (R2 + R1) 

R1 + R2 + e R1 

e 

Ue 

1 + e 

Ue 

vu = dUa 

dUe 

R1 

R1+R2 

e 

= 

1 + e 

R1 

R1+R2 

Setzt man OPs mit sehr hohen Spannungsverstärkungen (e ! 1) ein, so ergibt sich schließlich 

e 

vu = lim 

e!11 

+ e 

= R1 + R2 

R1 

vu = 1 + R2 

R1 

R1+R2 

Diese Formel …ndet man i.d.R. in Tabellenbüchern für den nicht-invertierenden Verstärker. 

4.6.3 OP mit unendlich hoher Spannungsverstärkung 

R1 

Da der VV-OP i.a. sehr hohe Spannungsverstärkungen e aufweist, soll nun dieser Fall genauer 

untersucht werden. Unter folgenden zwei Voraussetzungen läßt sich die Berechnung der Spannungsverstärkung 

des nicht-invertierenden Verstärkers wesentlich vereinfachen, nämlich 

1. Die gesteuerte Quelle ist gegengekoppelt. 

2. Die Spannungsverstärkung der gesteuerten Quelle geht gegen unendlich (e ! 1). 

Unter diesen Voraussetzungen kann sofort die Steuerspannung Ust gleich Null gesetzt und die 

Knotenspannung u1 = Ue angegeben werden. Die Ausgangsspannung Ua berechnet man dann 

direkt aus dem Spannungsteiler Ue = R1 

R1+R2 Ua und man erhält schließlich mit vu = Ua 

Ue = 

: 

Ue


1 + R2 dasgleiche Ergebnis wie durch die oben durchgeführte, wesentlich längere Rechnung. 

R1 

Diese Methode wird in gegengekoppelten Schaltungen bei hohen Spannungsverstärkungen der 

OPs regelmäßig angewandt. Bei etwas Übung ist es oft möglich die Verstärkung einer Schaltung 

direkt anzugeben. 

Da im Fall e ! 1 der invertierende Steuereingang und der nicht-invertierende Steuereingang 

auf dem gleichen Potential liegen aber nicht galvanisch verbunden sind, spricht man auch von 

einem virtuellen Potential. 

De…nition 5 Haben zwei Punkte einer Schaltung gleiches Potential, obwohl sie nicht galvanisch 

verbunden sind, so spricht man von virtuell gleichen Potentialen. 

Virtuelle Potentiale entstehen oft durch gegengekoppelte gesteuerte Quellen. In der Praxis sind 

durch Regelung gebildeten virtuellen Potentiale niemals exakt gleich. Die Regelung wird sofort 

aufgehoben, wenn man virtuelle Potentiale kurzschließt. Oft verwendet man den Begri¤ der 

virtuellen Masse für ein Potential, das virtuell gleich dem Massepotential ist. 

4.6.4 Eingangswiderstand (Re) 

Man sieht sofort, dass der Eingangswiderstand der gerade durchgerechneten Schaltung des nichtinvertierenden 

Verstärkers unendlich hoch ist. Es wird jetzt der Fall untersucht, wie sich ein endlicher 

Eingangswiderstand Ri des OPs auf den Eingangswiderstand Re des nicht-invertierenden 

Verstärkers auswirkt. Hierzu wird die Schaltung wie folgt modi…ziert und der Eingangswiderstand 

berechnet. 

Die Quelle Ue dient dabei als Arbeitspunktsquelle. Zu berechnen ist der Eingangsstrom Ie des 

Verstärkers und daraus der theveninsche Widerstand re = dUe 

.Die zu berechnende Schaltung 

dIe 

reduziert sich auf einen Knotenpunkt, mit der Knotenpunktsgleichung 

1 

R1 

+ 1 

+ 

R2 

1 

Ri 

e Us 

u1 = 

R2 

+ Ue 

Ri 

in der die Steuerspannung Us = Ue u1 durch die Knotenspannung u1 zu setzen ist. Es ergibt 

sich 

1 

R1 

+ 1 

R2 

+ 1 

Ri 

u1 = e (Ue 

R2 

u1) 

+ Ue 

Ri 

mit der Lösung für die Knotenspannung 

u1 = 

R1 (eRi + R2) 

R2Ri + R1Ri + R1R2 + eR1Ri 

Ue


und daraus der Strom 

Ie = Ue u1 

Ri 

= 1 

R1(eRi+R2) 

R2Ri+R1Ri+R1R2+eR1Ri 

Ue 

Ri 

= 

R2 + R1 

R2Ri + R1Ri + R1R2 + eR1Ri 

Schließlich erhält man den gewünschten Eingangswiderstand 

Re = dUe 

dIe 

Ue : 

= R2Ri + R1Ri + R1R2 + eR1Ri 

R2 + R1 

Wird die Verstärkung sehr groß, so können alle konstanten Glieder im Zähler des Ausdrucks 

vernachläßigt werden und man erhält 

Re = R2Ri + R1Ri + R1R2 + eR1Ri 

R2 + R1 

R1 

Ri e 

R2 + R1 

Mit der oben abgeleiteten Spannungverstärkung vu = 1 + R2 

R1 

Re 

e 

vu 

Ri 

ergibt dies näherungsweise 

Hohe Eingangswiderstände der nicht-invertierenden Verstärkerschaltung erzielt man durch hohe 

Spannungsverstärkungen e des OPs und durch kleine Gesamtverstärkungen vu des nichtinvertierenden 

Verstärkers. Die Gegenkopplung verbessert (erhöht!) den Eingangswiderstand 

des nackten OP um den Faktor e 

vu . 

Vorsicht! Erhöht wird lediglich der dynamische oder der di¤erentielle Eingangswiderstand des 

Verstärkers. Die statischen Eingangsströme (Eingangsruhestrom etc.) werden nicht vermindert, 

so dass nicht jeder Verstärker mit einem sehr hohen dynamischen Eingangswiderstand als Elektrometerverstärker 

15 praktisch verwendet werden kann. 

4.6.5 Ausgangswiderstand (Ra) 

Bei der Berechnung des Ausgangswiderstandes Ra des nicht-invertierenden Verstärkers wird 

dessen Ausgang mit einer Arbeitspunktsquelle UAP beschaltet und der theveninsche Widerstand 

in bezug auf die Ausgangsklemmen bestimmt. Hierzu ist die Schaltung wie folgt zu modi…zieren 

15 Elektrometerverstärker werden benutzt, um die Spannung an extrem hochohmigen Quellen zu messen, z.B. 

in pH-Wert Sonden, statische Spannungen in der Atmosphäre etc.


und wird - für die Rechnung vorteilhaft - in zwei Teilschaltungen aufgeteilt werden. Aus der 

ersten Teilschaltung ergibt sich 

aus der zweiten 

IAP 1 = 

Ust = 

IAP 2 = UAP e Ust 

Ro 

1 + e 

Schließlich erhält man den Gesamtstrom 

und daraus den Ausgangswiderstand 

Ro 

UAP 

R1 + R2 

R1 

R1+R2 

und 

R1 

UAP ; 

R1 + R2 

; Ust eingesetzt ergibt 

UAP 

IAP 2 = R2 + R1 + eR1 

UAP : 

(R2 + R1) Ro 

IAP = IAP 1 + IAP 2 

= 

UAP 

R1 + R2 

+ R2 + R1 + eR1 

UAP 

(R2 + R1) Ro 

IAP = Ro + R2 + R1 + eR1 

UAP 

(R2 + R1) Ro 

Ra = dUAP 

dIAP 

des nicht-invertierenden Verstärkers. 

(R2 + R1) Ro 

= 

Ro + R2 + R1 + eR1


Wird die Verstärkung sehr groß, so können alle konstanten Glieder im Nenner des Ausdrucks 

vernachläßigt werden und man erhält näherungsweise 

Ra 

(R2 + R1) 

eR1 

vu 

e Ro : 

Der Ausgangswiderstand verbessert sich (er wird kleiner!) durch die Gegenkopplung beim nichtinvertierenden 

Verstärker um den Faktor vu 

e : 

4.6.6 regelungstechnisches Blockdiagramm 

Die Ableitung bezieht sich jetzt wieder auf die Orginalschaltung der Verstärker mit Ri ! 1 

und Ra = 0 : Wendet man das Superpositionsprinzip auf die Steuerspannung der gesteuerten 

Quelle des nicht-invertierenden Verstärkers an, so ergibt dies 

Ust = Ue 

|{z} 

Ro 

R1 

e Ust 

R1 + R2 

Beitrag der Quelle Ue | {z } 

Beitrag der Quelle e Ust 

woraus sich direkt das regelungstechnische Diagramm 

des nicht-invertierenden Verstärkers mit dem Rückkopplungskoe¢ zienten kr = R1 

R1+R2 

Führungskoe¢ zienten kf = 1 ergibt. 

Literatur dazu: [UT99, Kapitel 5.1.2, Abbildung 5.6] 

4.6.7 Rückkopplungs-Topologie 

und dem 

Die Orginalschaltung des nicht-invertierenden Verstärkers kann man auch noch unter einem anderen 

Gesichtspunkt darstellen, nämlich der Art und Weise, wie das zur Rückkopplung benutzte 

Signal aus der gesteuerten Quelle ausgekoppelt und wie es am Steuereingang wieder Eingekoppelt 

wird. Diese Darstellung ergibt folgendes Bild.


und stellt exakt die ursprüngliche Schaltung dar. Die Vorwärtsverstärkung e wird durch die gesteuerte 

Quelle geliefert. Am Ausgang der gesteuerten Quelle wird die Steuergröße in Form einer 

Spannung parallel abgegri¤en und über ein Rückkopplungsnetzwerk dem Steuereingang in 

Reihe als Spannung (Ur) wieder zugeführt. Man spricht deshalb von einem Reihen-Parallel 

Rückkopplungsverstärker oder einfach von einer Reihen-Parallelschaltung von Vorwärtsverstärker 

und Rückkopplungsnetzwerk. Der Begri¤ Reihen-Parallel-Gegenkopplung 

wird auch häu…g verwendet. 

Man beachte, dass sowohl der Vorwärtsverstärker als auch das Rückkopplungsnetzwerk rückwirkungsfrei 

aufgebaut sind. Gemäßder Vierpoltheorie eignen sich zur Beschreibung dieser Anordnung 

die h-Parameter besonders gut. Auf Details der Vierpoldarstellung wird hier nicht 

eingegangen. 

Literatur dazu: z.B. [UM97, Kapitel 7] 

4.6.8 Spannungsfolger (Impedanzwandler) 

Eine Spannungsfolger ist eine Schaltung mit einem sehr hohen Eingangswiderstand und einem 

sehr kleinen Ausgangswiderstand, deren Verstärkung Eins beträgt. Man nennt diese Schaltung 

auch oft Impedanzwandler. Spannungsfolgerschaltungen können auf verschiedene Arten aufgebaut 

werden, u.a. auch mit Operationsverstärkern. Die folgende Abbildung zeigt eine Spannungsfolgerschaltung 

mit Operationsverstärker. 

Sie geht unmittelbar aus der Grundschaltung des nicht-invertierenden Verstärkers hervor, wenn 

R2 = 0 und R1 ! 1 gesetzt wird.


4.7 invertierender Transimpedanzverstärker 

Eine weitere Grundschaltung ist der invertierende Transkonduktanzverstärker, der in der folgenden 

Abbildung dargestellt ist. 

Umgezeichnet in eine Schaltung mit gesteuerter Quelle ergibt dies folgende Schaltung mit einem 

Knotenpunkt 


Bei abgeschalteter konstanter Quelle Ie erhält man Ust = eUT est . Damit wird dUst 

dUT est 

, woraus folgt, dass die Quelle gegengekoppelt ist. 

4.7.2 Transferfunktion Ua(Ie) 

Die Knotenpunktsgleichung erhält man direkt aus der Schaltung 

1 

R u1 = 

1 

R u1 = 

u1 = 

e Us 

R + Ie mit Us = u1 ergibt sich 

e u1 

R + Ie 

R 

1 + e 


Ie 

= e < 0 

Daraus ergibt sich die Ausgangsspannung als Funktion des Eingangsstromes und damit die 

Transferfunktion 

Ua = e Us = e u1 

e 

= R Ie 

1 + e 

Selbst für relativ kleine Spannungsverstärkungen e des OPs ergibt sich in guter Näherung 

mit der Transimpedanz -R. 

Ua 

R Ie


4.7.3 Eingangswiderstand 

Nun wird untersucht, wie großder Eingangswiderstand der Schaltung ist, wenn ein OP mit einem 

Eingangswiderstand von Ri eingesetzt wird. Hierzu ist die Schaltung wie folgt zu modi…zieren. 

Zu berechnen ist der theveninsche Widerstand rth = re = dUe 

in Bezug auf die Eingangsklem- 

dIe 

men. Zunächst wird die Knotenspannung u1 aus der Knotengleichung 

berechnet. Es ergibt sich 

1 1 

+ 

R Ri 

1 1 

+ 

R Ri 

u1 = 

u1 = 

u1 = 

RiR 

e Us 

R 

e u1 

R 

Ri + R + eRi 

Da Ue = u1 ist, folgt daraus der Eingangswiderstand 

re = dUe 

dIe 

Für große Verstärkungen ergibt sich die Näherung 

Ie 

+ Ie 

RiR 

= 

Ri + R + eRi 

re = dUe 

dIe 

Der Eingangswiderstand des Transimpedanzverstärkers geht somit gegen Null, wenn die Verstärkung 

des OP gegen unendlich geht. 

4.7.4 Ausgangswiderstand 

R 

e 

+ Ie 

Den Ausgangswiderstand berechnet man aus der folgenden Schaltung


Diese Schaltung kann man wieder in zwei einfache Teilschaltungen zerlegen. Schließlich ergibt 

sich 

u1 = UAP ; Us = u1 und 

IAP = UAP e Us 

Ro 

und daraus der Ausgangswiderstand 

ra = dUA 

dIA 

= UAP + e UAP 

Ro 

= 1 

1 + e Ro 

= IAP 

Selbst für nicht allzugroße Spannungsverstärkungen e ergibt sich die Näherung 

Ra 

Der Ausgangswiderstand ra der Schaltung ist also um den Faktor e kleiner als der Ausgangswiderstand 

des OPs. Für große Spannungsverstärkungen e hat diese Schaltung einen Eingangswiderstand 

von nahezu Null Ohm und stellt somit einen idealen Stromeingang dar. Die eben 

besprochene Schaltung eignet sich deshalb sehr gut, um Ströme zu messen und diese gemäßder 

Transferfunktion als Spannung auszugeben. 


1 

e Ro 

Die folgende Ableitung bezieht sich auf die Orginalschaltung des Verstärkers. Anwenden des 

Superpositionsprinzips auf die Steuerspannung liefert folgende Gleichung 

Ust = R Ie e Ust 

woraus sich das regelungstechnische Blockdiagramm 

ergibt. 

4.8 invertierender Verstärker 

Der invertierende Verstärker ergibt sich direkt aus der Grundschaltung des Transimpedanzverstärkers. 

Im folgenden werden die Ergebnisse zusammengefasst. Die folgende Abbildung zeigt 

die Grundschaltung des invertierenden Verstärkers.


Daraus erhält man folgende Schaltung mit gesteuerten Quellen. 


Die gesteuerte Quelle ist gegengekoppelt. 

4.8.2 Spannungsverstärkung (vu) 

Die Spannungsverstärkung ist für e ! 1 durch 

gegeben. 

4.8.3 Eingangswiderstand (Re) 

vu = R2 

R1 

Der Eingangswiderstand der oben angegebenen Schaltung des invertierenden Verstärkers ist für 

e ! 1 gegeben durch 

4.8.4 Ausgangswiderstand (Ra) 

Re = R1 

Der Ausgangswiderstand ist gleich Null, da die Ausgangsspannung parallel zu einer idealen 

Spannungsquelle liegt. 


Aus der Superpositionsgleichung für die Steuerspannung Ust ergibt sich 

Ust = 

und damit folgendes Blockdiagramm. 

R1 

R1 + R2 

| {z } 

kr 

e Ust 

R2 

Ue 

R1 + R2 

| {z } 

kf


4.9 invertierender Summierer 

Der Transimpedanzverstärkers setzt Ströme am Eingang in eine Ausgangsspannung gemäßder 

Transferfunktion Ua = R Ie um. Setzt sich der Eingangsstrom aus einer Summe von Einzelströmen 

gemäßder Gleichung 

zusammen, so wird die Ausgangsspannung 

Umgesetzt in eine Schaltung ergibt sich 

Ie = I1 + I2 + + In 

= 

nX 

k=1 

Ua = R 

Ik 

Da voraussetzungsgemäßUst = 0 ist, entsteht am invertierenden Eingang des OPs ein virtueller 

Massepunkt. In diesem Punkt laufen alle Teilströme zusammen. Man spricht auch von einem 

Stromsummationspunkt. 

Oft wird der Stromeingang durch eine ideale Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand 

beschaltet, so dass folgende Schaltung entsteht. 

nX 

k=1 

Ik :


Da die einzelnen Widerstände virtuell an Masse liegen, liefert jede einzelne Spannungsquelle zum 

Gesamteingangsstrom den Beitrag Ie;k = Ue;k 

Rk 

und es ergibt sich die Ausgangsspannung 

Ua = R 

nX Ue;k 

Wegen dieser Eigenschaft bezeichnet man diese Schaltung auch als (invertiereden) Summierer. 

Sie wird häu…g eingesetzt, um Spannungen oder Ströme zu addieren. 

4.10 Di¤erenzverstärker 

Die bisher vorgestellten Verstärkerschaltungen verstärken Eingangssignale, die zwischen der Eingangsklemme 

und dem Bezugspotential, z.B. Masse, anliegen. Eingangsspannungen zwischen 

zwei beliebigen Potentialen können mit diesen Schaltungen nicht direkt verstärkt werden. Da 

die Verstärkung derartiger Di¤erenzspannungen sehr häu…g gefordert wird, wurden spezielle 

Verstärker, eben die Di¤erenzverstärker, entwickelt. Der Di¤erenzverstärker ist eine spezielle 

Schaltung zur Subtraktion zweier Spannungen. Die zugehörigen Schaltungen weden in diesem 

Abschnitt besprochen. 

k=1 

4.10.1 Grundschaltung eines Subtraktionsverstärkers 

Die folgende Abbildung zeigt die Grundschaltung eines Subtraktionsverstärkers. 

Rk


Umgezeichnet in eine Skizze mit einer gesteuerten Quelle ergibt sich die folgende Schaltung. 

Aus dieser Schaltung berechnet man die Kopplung der Quelle. 

dUst 

dUT est 

= 

R1 

R2 + R1 

e < 0 : 

Die gesteuerte Quelle ist also gegengekoppelt, was eine lineare Verstärkerschaltung ergibt. Im 

folgenden wird stets eine sehr hohe Spannungsverstärkung der gesteuerten Quelle also e ! 1 

angenommen, so dass vereinfacht mit Ust = 0 gerechnet werden kann. 

Obige Orginalschaltung lässt sich bei abgeschalteter Spannungsquelle Ue auf die Grundschaltung 

des nicht-invertierenden Verstärkers mit dem Spannungsteiler R3 und R4 am Eingang 

zurückführen, so dass sich die Ausgangsspannung 

R4 

Ua+ = 

R3 + R4 

1 + R2 

R1 

ergibt. Schaltet man die Spannungsquelle Ue+ ab, so führt dies auf die Grundschaltung des 

invertierenden Verstärkers mit der Ausgangsspannung 

Ua = R2 

R1 

Ue : 

Ue+ 

Durch Superposition erhält man die gesamte Ausgangsspannung 

Ua = Ua+ + Ua = 

R4 

R3 + R4 

1 + R2 

R1 

4.10.2 Grundschaltung des Di¤erenzverstärkers 

Fordert man, dass bei gleichen Eingangsspannungen Ue = Ue+ = Ue die Ausgangsspannung 

Ua = 0 wird, so erhält man aus dem Subtraktionsverstärker den Di¤erenzverstärker. Beim 

Ue+ 

R2 

R1 

Ue


Di¤erenzverstärker muss deshalb gelten 

R4 

R3 + R4 

R4 

R3 + R4 

1 + R2 

R1 

R1 + R2 

R1 

R2 

R1 

= 0 oder 

= R2 

R1 

und daraus 

R4 (R1 + R2) = R2 (R3 + R4) und weiter 

R4R1 + R4R2 = R2R3 + R2R4 und schließlich 

R1 

R3 

= R2 

R4 

Die oben erhobene Forderung führt auf eine Beziehung der vier Widerstände des Di¤erenzverstärkers, 

die nun nicht mehr - wie beim Subtrakrionsverstärker - beliebig gewählt werden dürfen, 

sondern der Bedingung R1 R2 = R3 R4 unterliegen. 

4.10.3 Verstärkung des Di¤erenzverstärkers 

Um die Di¤erenzverstärkerbedingung 

R1 

R3 

= R2 

R4 

zu erfüllen, müssen die Widerstände wie folgt gewählt werden 

wobei k eine beliebige, positive Konstante ist. 

R1 = k R3 und R2 = k R4 , 

Setzt man beide Beziehungen in die Spannungstransferfunktion des Subtrahierers, nämlich in 

ein, so erhält man 

R4 

Ua = 

R3 + R4 

R4 

Ua = 

R3 + R4 

1 + 

1 + R2 

R1 

k R4 

k R3 

Ue+ 

Ue+ 

R2 

R1 

k R4 

k R3 

woraus sich schließlich die Verstärkung des Di¤erenzverstärkers ergibt 

Wegen 

gilt auch 

Ua = R4 

R3 

vd = R4 

R3 

(Ue+ Ue ) 

R1 = k R3 und R2 = k R4 

vd = R2 

R1 

In realen Di¤erenzverstärkerschaltungen wird oft einfach R1 = R3 = R2 = R4 , woraus folgende 

vollsymmetrische Di¤erenzverstärkerschaltung ergibt, 

Ue 

Ue 

,


die auch in integrierter Form von verschiedenen Herstellern angeboten wird; so z.B. von Burr 

Brown als IC mit der Bezeichnung INA105 und dem Widerstend R = 25k :Die Schaltung des 

INA105 ist im folgenden Diagramm dargestellt. Er ist in den Gehäusen 8-PDIP, SOIC-8 sowie 

TO-99 lieferbar. 

Im Folgenden wird, wenn nichts anderes vermerkt ist, von der Schaltung des vollsymmetrischen 

Di¤erenzverstärkers ausgegangen. 

4.10.4 Eingangs- und Ausgangswiderstand 

Ausgangswiderstand: Da die Ausgangsklemmen parallel zu einer idealen Spannungsquelle 

liegen, ist der Ausgangswiderstand gleich Null Ohm. 

Eingangswiderstände: Die Eingangswiderstände müssen für beide Eingangs-Spannungsquelle, 

nämlich Ue+ und Ue separat berechnet werden. 

(1) Der Eingangswiderstand der Quelle Ue+ ist sehr einfach zu berechnen, da er einfach aus der 

Reihenschaltung re+ = R + R = 2R besteht. 

(2) Bei der Berechnung des des Eingangswiderstandes für die Quelle Ue dagegen, ist der Ein‡uß 

der gesteuerten Spannungsquelle des Verstärkers zu berücksichtigen. Schaltet man - wie üblich -


alle anderen konstanten Quellen ab, so reduziert sich die Schaltung in Bezug auf die Quelle Ue 

auf die Grundschaltung des invertierenden Verstärkers, so dass der Eingangswiderstand gleich 

R wird. 

Die Eingangsquellen Ue+ und Ue werden mit verschiedenen Eingangswiderständen belastet. 

4.10.5 Gleichtaktverstärkung 

Vorbemerkungen: Im Gegensatz zum nicht-invertierenden und zum invertierenden Vertärker 

besitzt der Di¤erenzverstärker zwei Eingangsklemmen und demnach eine in Bezug auf diese 

Klemmen de…nierte Verstärkung. So ist z.B. beim vollsymmetrischen Di¤erenzverstärker die 

Verstärkung in Bezug auf den invertierenden Eingang gleich -1 und in Bezug auf den nichtinvertierenden 

Eingang gleich +1 . Schließt man die Eingangsklemmen kurz, so sollten sich 

beide Verstärkungsanteile kompensieren, so dass die Ausgangsspannung gleich Null wird. Dies 

gilt allerdings nur dann, wenn alle Widerstände exakt gleich sind und sich der OP ideal verhält. 

Bei realen Di¤erenzverstärkern sind diese Bedingungen keineswegs so ideal, so dass sich - wenn 

auch geringe - Di¤erenzen in der Verstärkung beider Kanäle ergeben. Im Folgenden wird die 

Auswirkung dieser Verstärkungsunsymmetrie untersucht. 

Berechnung der Gleichtaktverstärkung: Die Gleichtaktverstärkung eines Di¤erenzverstärkers 

ergibt sich dann, wenn dessen Eingänge kurzgeschlossen und dann eine Eingagsspannung 

an den nun gemeinsamen Eingangsanschluss gelegt wird. Diese Eingangsspannung nennt man 

Gleichtakteingangsspannung; sie wird hier mit Ugl bezeichnet. Die zugrundeliegende Schaltung 

ist in der folgenden Abbidung dargestellt. 

Besteht zwischen dem nicht-invertierenden und dem invertierenden Kanal volle Symmetrie, so 

ergibt sich, wegen Ue+ = Ue = Ugl also wegen Ue+ Ue = 0 V eine Ausgangsspannung von 

Ua = 0 V: 

Verändert man nun die Verstärkung in einem Kanal, indem man z.B. - wie oben eingezeichnet - 

einen Widerstand - z.B. R3 - gleich Rx setzt, so errechnet sich die Ausgangsspannung nach der 

oben abgeleiteten Spannungstransferfunktion 

Ua = 

= R Rx 

R 

Rx + R 

R + Rx 

Ua = vgl Ugl 

Ugl 

1 + R 

R 

Ugl 

R 

R Ugl 

Wie man sieht, ist die Ausgangsspannung für Rx 6= R von Null verschieden und ändert sich 

proportional mit der Gleichtakteingangsspannung Ugl. Den Proportionalitätsfaktor zwischen der


Ausgangsspannung und der Gleichtakteingangsspannung bezeichnet man als Gleichtaktverstärkung. 

vgl. 

Die Gleichtaktverstärkung hängt ganz wesentlich von Unsymmetrien des Verstärkeraufbaus ab. 

Im Folgenden Abschnitt wird der Zusammenhang zwischen der gewollten Di¤erenzverstärkung, 

man spricht auch von der Gegentaktverstärkung, und der lästigen Gleichtaktverstärkung 

genauer untersucht. 

4.10.6 Gleich- und Gegentaktanregungen 

Werden an zwei beliebige Klemmen AB einer Schaltung zwei Quellen - z.B. Spannungsquellen 

- angeschlossen, so kann diese Beschaltung der Klemmen durch eine klemmenäquivalente Eingangsbeschaltung 

ersetzt werden. Es ist für viele Anwendungen, so z.B. zur Beurteilung eines 

Di¤erenzverstärkers, sinnvoll Gleich- und Gegentaktquellen, nämlich Ugl und Ugeg , gemäßder 

folgenden Abbildung einzuführen. 

Dabei liefern Gleichtaktquellen an beiden Klemmen die gleiche Spannung (0 Pasenverschiebung) 

und Gegentaktquellen eine von Klemme zu Klemme um 180 phasenverschobene Spannung. 

Es gilt folgende Beziehung zwischen den allgemeinen Eingangsspannungen Ua und Ub und der 

Gleich- und Gegentaktspannung Ugl und Ugeg 

Ua = Ugl + Ugeg 

2 

Ub = Ugl 

Ugeg 

2 

und 

aufgelöst nach den Gleich- und Gegentaktspannungen erhält man 

Ugl = Ua + Ub 

2 

(Mittelwert der Eingangsspannungen) 

Ugeg = Ua Ub (Di¤erenz der Eingangsspannungen) 

Aufgrund dieser Zerlegung kann die Gleich- und Gegentaktverstärkung bei Di¤erenzverstärkern 

ermittelt werden. Hierfür gelten folgende De…nitionen.


De…nition 6 Die Gleichtaktspannungsverstärkung berechnet sich aus der Gleichung 

vgl = dUa 

dUgl Ugeg=0 

De…nition 7 Die Gegentaktspannungsverstärkung berechnet sich aus der Gleichung 

vgeg = dUa 

dUgeg Ugl=0 

Da bei praktisch allen Di¤erenzverstärkeranwendungen die Gleichtaktverstärkung möglichst sehr 

viel kleiner sein sollte als die Gegentaktverstärkung, benutzt man den Quotienten beider Verstärkungen 

als Maßzahl für die Qualität von Di¤erenzverstärkern und de…niert die Gleichtaktunterdrückung 

CMRR. 

De…nition 8 Der Quotient aus Gegentaktverstärkung und Gleichtaktverstärkung vgeg 

vgl 

Gleichtaktunterdrückung und wird mit CMRR bezeichnet. Es gilt 

CMRR = vgeg 

vgl 

ist die 

Die Bezeichnung CMRR (Common Mode Rejection Ratio) kommt dem Englischen bedeutet das 

gleiche wie Gleichtaktunterdrückung im Deutschen. 

Oft wird die Gleichtaktunterdrückung in dB (Dezibel) angegeben, dann gilt 

CMRRdB = 20 log 10 

Gute Di¤erenzverstärker haben eine sehr hohe Gleichtaktunterdrückung, so wird im Datenblatt 

für den INA105 ein minimaler CMRRdB Wert von 86dB angegeben. 

vgeg 

4.10.7 Di¤erenzverstärkung und Gegentaktverstärkung 

Oft werden die beiden Begri¤e, nämlich Di¤erenzverstärkung und Gegentaktverstärkung, synonym 

verwendet. In diesem Abschnitt wird untersucht, ob zwischen beiden Begri¤en wirklich 

kein Unterschied besteht. Hierzu wird der Di¤erenzverstärker, gemäßfolgender Abbildung, mit 

einer Di¤erenzeingangsquelle Ud beschaltet. 

vgl


Es ist nun zu klären, ob diese Eingangsbeschaltung mit der im vorhergehenden Abschnitt diskutierten 

Gleichtakteingangsbeschaltung übereinstimmt. Hierzu werden die massebezogenen Spannungen 

an den beiden Eingangsklemmen berechnet und durch entsprechende Eingangsspannungsquellen, 

nämlich Ue+ und Ue ersetzt. Danach werden die so gewonnen Eingangsquellen, 

wie auf der rechten Seite der Abbildung dargestellt, in Gleich- und Gegentaktquellen, also in Ugl 

und Ugeg, umgerechnet. Um die Rechnung zu vereinfachen, wird von einem vollsymmetrischen 

Verstärker ausgegangen. Weiterhin wird angenommen, die Verstärkung des OP sei unendlich. 

Wegen Ust = 0 wird der Eingangsstrom 

ie = Ud 

2R , 

so dass sich am nicht-invertierenden Eingang folgende Spannung einstellt 

Am invertierenden Eingang erhält man 

Ue+ = Ud 

2R 

= Ud 

R + Ud 

2R R 

Ue = Ue+ Ud 

= Ud Ud 

= 0 

Rechnet man die Spannungen Ue+ und Ue in Ugl und Ugeg um, so ergibt dies 

Ugl = Ue+ + Ue 

2 

= Ud 

= Ud + 0 

2 

2 

und 

Ugeg = Ue+ Ue = Ud 0 

= Ud 

Wie die Rechnung zeigt ist die Beschaltung mit einer Di¤erenzquelle nicht gleichtaktspannungsfrei 

und damit sind beide Beschaltungen, nämlich die durch eine Di¤erenzspannung und die 

durch eine Gegentakteingangsspannung nicht gleichwertig. Es ist also Vorsicht geboten! 

4.10.8 regelungstechnisches Diagramm 

Das regelungstechnische Diagramm für den Di¤erenzverstärker erhält man aus der Superpositionsgleichung 

für die Steuerspannung 

Ust = 1 

2 Ue+ 

1 

2 Ue 

1 

2 eUst 

woraus sich sofort ds folgende regelungstechnische Blockdiagramm ergibt.


4.11 Instrumentenverstärker 

Die Nachteile des zuvor durchgesprochenen Di¤erenzverstärkers liegen auf der Hand. Zum einen 

belasten die endlichen (ungleiche!) Eingangswiderstände die Spannungsquellen am Eingang, zum 

anderen ist es schwierig die Verstärkung einzustellen, da mindestens zwei Widerstände in exakt 

der gleichen Weise geändert werden müssen. Dies führt, selbst wenn sehr gute Tandempotentiometer 

eingesetzt werden, unwillkürlich zum Aufbrechen der Symmetrie und damit zum Ansteigen 

der unerwünschten Gleichtaktverstärkung. Beide Probleme löst die folgende, als Instrumentenverstärker 

bekannte, Schaltung. 

Nimmt man ideale OP an, so ist diese Schaltung leicht zu berechnen. 

Dass alle gesteuerten Quellen gegengekoppelt sind, erkennt man direkt mit Hilfe der bereits 

besprochenen Grundschaltungen. Nimmt man e ! 1 für alle OPs an, so liest man u3 = Ue 

und u4 = Ue+ direkt aus der Schaltung ab und erhält I = (Ue Ue+) 

Mit diesem Strom berechnet 

R1 

man die Eingangsspannungen u1 und u2 für die Di¤erenzverstärkerstufe auf der rechten Seite


der Schaltung. 

u1 = Ue + I R2 = Ue + (Ue Ue+) 

R1 

= Ue + R2 

(Ue Ue+) und 

R1 

u2 = Ue+ I R2 = Ue+ 

= Ue+ 

R2 

R1 

(Ue 

Ue+) 

(Ue 

und damit die Ausgangsspannung des gesamten Verstärkers 

Ua = R4 

R3 

= R4 

R3 

(u2 u1) = R4 

1 + 2R2 

R1 

R3 

Ue+ 

(Ue+ Ue ) 

R2 

Ue+) 

R2 

R1 

R2 

(Ue Ue+) Ue 

R1 

Wie man sieht, kann die Verstärkung durch Ändern eines eizigen Widerstandes, nämlich R1, 

eingestellt werden. 

Diese Schaltung wird von vielen Halbleiterherstellern als IC angeboten, so liefert z.B. Burr Brown 

den Instrumentenverstärker INA101, der in der folgenden Abbildung als Datenblattauszug dargestellt 

ist. 

Die Verstärkung kann durch Ändern eines einzigen Widerstandes eingestellt und gemäßDatenblattlaut 

zwischen 1 und 1000 verändert werden. 

Literatur: [Rei97, Kapitel 3.2.3.1] 

R2 

R1 

(Ue 

Ue+)


5 Zeit- und frequenzabhängige Schaltungen 

In diesem Abschnitt werden einfache zeit- und frequenzabhängige Schaltungen untersucht. Als 

mathematisches Hilfsmittel wird durchgängig von der Laplace Transformation gebrauch gemacht. 

Einführende Literatur zur Laplace-Transformation …ndet man in den Büchern von Papula 

[Pap97, Kapitel VI] und [Föl00]. 

5.1 Laplace Methode 16 

Die in der Grundlagenvorlesung eingeführte Berechnung von Schaltungen mit elektrischen und 

magnetischen Speichernelementen, wie Kapazitäten und Induktivitäten, wird in dieser Vorlesung 

durch die allgemeinere Laplace-Methode ersetzt, die im Grenzfall des eingeschwungenen 

Zustands bei harmonischer Anregung exakt mit der komplexen Methode übereinstimmt. Die 

Voraussetzungen für die Anwendung beider Methoden sind in der folgenden Abbildung zusammengestellt. 

Der entscheidende Vorteil der Laplace-Methode ist, dass eine lineare Schaltung auch damm 

berechnet werden kann, wenn das anregende Signal nicht harmonisch ist. Zudem ist die Laplace- 

Methode nicht auf die Berechnung harmonischer Ausgangssignale beschränkt, so dass auch Einschwingvorgänge 

berechnet werden können. 

Die Laplace-Methode wird von Papula wie im folgenden Zitat beschrieben. 

„Bei der mathematischen Behandlung naturwissenschaftlich-technischer Probleme wie z.B. 

Ausgleichs- und Einschwingvorgängen stößt man immer wieder auf lineare Di¤erentialgleichungen 

1. und 2. Ordnung mit konstanten Koe¢ zienten. Die Standardlösungsverfahren für derartige 

Di¤erentialgleichungen wurden bereits in Kapitel V ausführlich behandelt. Ein weiteres Lösungsverfahren, 

das auf einer Anwendung der sog. Laplace-Transformation beruht, hat sich in der 

Praxis als sehr nützlich erwiesen und spielt daher (insbesondere in der Elektro- und Regelungstechnik) 

eine bedeutende Rolle. Wir versuchen nun anhand eines einfachen Anwendungsbeispiels 

einen ersten Einstieg in diese zunächst etwas kompliziert erscheinende Lösungsmethode.” 

[Pap97, Kapitel VI, Seite 626] 

16 Diese Vorlesung führt nicht in die Theorie der Laplacetransformation ein, sondern verwendet die Laplacetransformation 

als Hilfsmittel zur Berechnung linearer Schaltungen mit beliebigen Anregungen.


Es ist sicher sinnvoll, sich die von Papula angegebenen Beispiele einmal genauer anzusehen. Mathematisch 

gesehen ist die Laplace-Mehode ein algebraisches Verfahren zur Lösung von linearen 

Di¤erenzialgleichungen mit konstanten Koe¢ zienten unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen. 

Im Folgenden wird anhand eines Beispiels in die rein handwerkliche Seite der Laplace-Methode 

eingeführt. 


Zu berechnen ist der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung ua (t) der folgenden Schaltung, 

wenn der zeitliche Verlauf der Eingangsspannung durch die Funktion 

gegeben ist. 

ue (t) = 

0V für t < 0 

U0 für t 0 

Berechnung der zeitabhängigen Ausgangsspannung ua(t) Zunächst werden alle zeitabhängigen 

Größen der Schaltung in der Laplacevariablen s ausgedrückt 17 . Sinnvollerweise benutzt 

man hierzu eine Tabelle, in der Zeitfunktionen f(t) und ihre Laplaceäquivalente L (t) 

aufgeführt sind. Eine für diese Vorlesung zweckmäßige Tabelle …ndet man in vielen Tabellenbüchern. 

Ein gute Zusammenstellung …ndet man in dem Tabellenbuch von Rade [LR96, Kapitel 

13.5, Laplacetransformation], dessen Laplacetabellen im Anhang zu diesem Skript auszugsweise 

wiedergegeben sind. 

1. Zunächst drückt man die zeitabhängigen Größen, wie L und C, in der Laplacevariablen s 

aus. Dabei geht man wie bei der komplexen Methode vor, setzt aber 

s = j! ; 

so dass die Impedanz der Kapazität durch 1 

s L ersetzt wird. 

s C 

und die Impedanz der Induktivität durch 

2. Dann drückt man die Zeitfunktion der Eingangsspannung - hier den Spannungssprung - in 

der Laplacevariablen s aus. Hierzu nimmt man sinnvollerweise eine Laplacetabelle zuhilfe, 

in der die Zeitfunktionen und die zugehörigen Laplacetransformierten aufgelistet sind. Für 

den Spannungssprung der Eingangsspannung …ndet man in der Tabelle 

ue (t) = 

0 für t < 0 

U0 für t 0 

= ; (es gilt: H(t) 

17 Oft wird die Laplacevariable auch oft mit p bezeichnet. In der Elektrotechnik ist jedoch die Bezeichnung mit 

s üblicher. 

1 

s )


wobei H(t) für die Sprungfunktion 18 steht. Den Laplaceausdruck für diese Sprungfunktion 

…ndet man in der Laplacetabelle im Anhang unter dem Eintrag L18, so dass sich schließlich 

für die Eingangsspannung folgende Laplacetransformierte 

1 

ue (t) = U0 H(t) U0 

s = ue (s) 

ergibt. 

Das Symbol liest man: „Die Zeitfunktion am o¤enen Kreis hat die Laplacetransformierte 

am geschlossenen Kreis”. Es ist o¤ensichtlich, dass zum Kentlichmachen der 

Transformation kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf. 

3. Sobald alle Größen in der Laplacevariablen s gefunden sind, wird damit die Schaltung berechnet. 

Hierzu können alle bisherigen Verfahren zur Schaltungsberechnung, insbesondere 

das Knotenspannungsverfahren, benutzt werden. Die Knotenspannung u1 der Beispielschaltung 

erhält man nach dem Knotenspannungsverfahren: 

und daraus 

1 

R1 

1 

R1 

+ 1 

+ s C u1 = 

R2 

ue (s) 

R1 

+ 1 

R2 

+ s C u1 = 1 U0 

s R1 

ua = 

1 

u1 = U0 

s (R2 + R1 + R1R2sC) 

ua = U0R2 

1 

s (R2 + R1) + s2 R1R2C 

= R2 

R1 

1 

R2C s 

1 

(R2+R1) 

| 

R1R2C + s2 

{z } 

in Tabelle nachschlagen 

4. Den Ausdruck für ua (s) formt man nun so um, dass ein Teilausdruck entsteht, dessen Zeitfunktion 

in einer geeigneten Laplacetabelle nachgeschlagen werden kann. Ist keine direkte 

Entsprechung verfügbar, so muss ein ähnlicher Ausdruck durch Koe¢ zientenvergleich - wie 

im Folgenden gezeigt - angepaßt werden. 

1 

s (R2+R1) 

R1R2C + s2 

| {z } 

aus der Aufgabe 

= 

1 

(s + a) (s + b) 

| {z } 

aus der Tabelle (L28) 

U0 

e at + e bt 

a b 

| {z } 

aus Tabelle (L28) 

Der Koe¢ zientenvergleich des Aufgabenausdrucks mit dem Tabellenausdruck ergibt 

s (R2 + R1) 

R1R2C + s2 ! = (s + a) (s + b) = a b + s(a + b) + s 2 

setzt man b = 0 und a = (R2+R1) 

R1R2C , so sind beide Ausdrücke gleich und die Zeitfunktion 

des Aufgabenausdrucks ist 

1 

s (R2+R1) 

R1R2C 

+ s2 

e (R 2 +R 1 ) 

R 1 R 2 C t + e 0t 

(R2+R1) 

R1R2C 

0 

= R1R2C 

R2 + R1 

1 e (R 2 +R 1 ) 

R 1 R 2 C t 

18 Oft …ndet man die Sprungfunktion unter dem Namen Heaveside-Funktion, die auch mit H(t) oder mit (t) 

bezeichnet wird.


5. Schließlich erhält man ua (t) 

oder mit = R1R2 

R2+R1 C 

ua(t) = 

ua(t) = 

R2 

R2 + R1 

R2 

R2 + R1 

1 e (R 2 +R 1 ) 

R 1 R 2 C t 

1 e t 

6. Diskussion des Ergebnisses: Für t = 0 erhält man die Ausgangsspannung ua(0) = 0 . Für 

t ! 1 ergibt sich ua(t ! 1) = R2 

R2+R1 U0 also der Wert des Widerstandsspannungsteiler 

ohne Kondensator. Zwischen 0 < ua < R2 

R2+R1 U0 steigt die Spannung gemäßder 

Ladefunktion eines Kondensators mit der Zeitkonstante = R1R2 C an. 

R2+R1 

7. Zur graphischen Darstellung des Ergebnisses müssen konkrete Werte eingesetzt werden. 

Das folgende Diagramm wurde erstellt mit U0 = 5 V , R1 = 1 k , R2 = 3 k und 

C = 10 nF. 

Handelt es sich um einen Tiefpass 1.Ordnung, so kann direkt aus der Steigung im Ursprung 

die Zeitkonstante berechnet werden. Aus der Gleichung 

ua(t) = 

R2 

R2 + R1 

1 e t 

U0 

U0 

U0


berechnet man die Steigung im Ursprung 

dua(t) 

dt 

= d 

dt 

R2 

R2 + R1 

R2 

= U0 

R1 + R2 

= U1 

| {z } 

U1 

e t 

1 e t 

jt=0 = 

U0 jt=0 

Dabei ist U1 der Ausgangsspannungswert, der für t ! 1 erreicht wird. 

5.2 Bodediagramm 

Um die Frequenzabhängigkeit von Strömen, Spannungen und anderer Eigenschaften von Schaltungen 

einfach und gut ablesbar darzustellen, bedient man sich des Bode-Diagramms oder der 

Bode-Darstellung. In der Bode-Darstellung wird der Frequenzgang der Amplitude in einem 

doppelt-logarithmischen Diagramm dargestellt. Dabei wird auf der x-Achse die Frequenz und 

auf der y-Achse die Amplitude logarithmisch aufgetragen, wobei die logarithmische Darstellung 

der Amplitude meist in Dezibel (dB) erfolgt. Im Folgenden wird die logarithmische Darstellung 

beider Achsen näher erläutert. 

5.3 logarithmische Darstellung von Leistungen, Spannungen, Strömen und 

Frequenzen 

Leistungen, Spannungen, Ströme und Frequenzen sind oft über mehrere Zehnerpotenzen darzustellen. 

So kann ein breitbandiger Verstärker Signale von Gleichspannung bis in den GHz-Bereich 

verstärken, woraus ersichtlich wird, dass eine lineare Darstellung der Frequenzachse nicht ausreicht, 

um den Frequenzverlauf der Verstärkung darzustellen. Zu diesem Zweck verwendet man 

logarithmische Skalierungen. 

5.3.1 logarithmische Pegelachsen 

Unter einem Pegel, versteht man den Betrag einer Leisung, Spannung oder eines Stromes und 

spricht auch vom Leistungs-, Spannungs- und Strompegel. Beim Spannungs- und Strompegel 

spricht man auch von Amplitudenpegeln. Dass Leistungspegel quadratisch mit den Amplitudenpegeln 

zusammenhängen, zeigt das einfache Beispiel für die Leistungsberechnung an 

U 2 

einem ohmschen Widerstand, nämlich P = R = I2 R. Weitere Beispiel für Amplitudenpegel 

sind u.a. elektrische und magnetische Felder. 

Die heute gebräuchlichste Größe für logarithmische Pegel ist das Bel und daraus abgeleitet 

das Dezibel oder kurz dB, das praktisch ausschließlich zur Darstellung logarithmischen Pegel 

verwendet wird. Eine immer kleinere Rolle spielen andere logarithmische Pegelmaße, wie Neper 

etc., auf die in diesem Skript nicht eingegangen wird. 

Da man den Logarithmus nur aus dimensionslosen Zahlen physikalich sinnvoll bestimmen kann, 

wird zur Berechnung des logarithmischen Pegels immer eine Bezugsgröße benötigt. 

De…nition des Dezibel Das Dezibel ist zunächst als logarithmischen Leistungspegel durch 

die Gleichung 

P 

PdB = 10 log10 P0


de…niert, wobei die Bezugsgröße P0 beliebig gewählt werden kann. Diese De…nitionsgleichung 

kann sofort in eine Gleichung für logarithmische Spannungspegel umgeformt werden, wenn 

U 2 

P = R und P0 = U 2 0 

R gesetz wird. Daraus folgt unmittelbar die De…nitionsgleichung für logarithmische 

Spannungspegel 

U 

UdB = 20 log 10 

U0 

Man beachte, dass bei Leistungspegel eine 10 und bei Spannungspegel eine 20 vor den 

10er Logarithmus geschrieben wird. 

absolute Pegel Ist diese Bezugsgröße ein absoluter Wert, z.B. eine Leistung von 1 W oder eine 

Spannung von 1 V, so spricht man von absoluten Pegeln. Um Messwerte etc. direkt vergleichbar 

zu machen, wurden eine ganze Reihe absoluter Pegel festgeschrieben. Einige wichtige absolute 

Leistungs- und Spannungspegel enthalten die beiden folgenden Tabellen. 

Leistung in Bezugsgröße Berechnungsformel Beispiel 

dBm 

dBw 

1 mW 

W 

PdBm = 10 log 

PdBw = 10 log 

P 

1 mW 

P 

P = 43:3 mW =) PdBm = 16:37dBm 

P = 4:7 W =) PdBw = 6:72dBw 

1 W 

P 

dBk kW PdBk = 10 log 1 kW P = 0:432 kW =) PdBk = 3:645 2dBk 

Spannung in Bezugsgröße Berechnungsformel Beispiel 

dB V 1 V UdB V = 20 log U 

1 V 

dBmV mV UdBmV = 20 log U 

U = 22:7 V =) UdB V = 27:12dB V 

U = 36:4mV =) UdBmV = 31:2dBmV 

dBV V UdBV = 20 log 

1mV 

U 

1V U = 0:023V =) UdBV = 32:7dBV 

Neben diesen Umrechnungen gibt es eine ganze Reihe von speziellen Bezugsspannungen, die sich 

daraus ergeben, dass die Leistung an einem Bezugswiderstand einen genau festgelegten Wert hat. 

So erhält man an einem 600 Widerstand bei einer Leistung von 1 mW einen Spannungspegel 

von 0:775 V . Dieser Spannungspegel hat in der Telekommunikation eine gewisse Bedeutung. 

Neben diesem Standardbezugswiderstand von 600 gibt es weitere wichtige Bezugswiderstände, 

nämlich 75 in der HF-Übertragungstechnik und 50 bzw. 60 in der Messtechnik. 

relative Pegel Unter relativen Pegeln versteht man Leistungs- bzw. Spannungsverhältnisse. 

In diesem Sinne ist der folgende Leistungsquotient 

P 

P0 dB 

= 10 log 10 

ein relativer Leistungspegel, da er angibt, um wieviel die Leistung P größer ist als die Bezugsleistung 

P0 , jedoch nichts üver die absolute Leistung aussagt. Nach kurzer Rechnung erhält man 

einen Ausdruck für relative Spannungspegel. 

U 

U0 dB 

= 20 log 10 

So ist z.B. der dB-Wert, den man einer Übertragungsfunktion zuordnet ein relativer Pegel, da 

Übertragungsfunktionen aus dem Verhältnis einer Ausgangsgröße bezogen auf eine Eingangsgröße 

bestehen. 

Relative Größen werden einfach in dB - ohne Zusatz - angegeben. 

Merke: Verdoppelt sich die Leistung, so erhöht sie sich um 3dB, verzehnfacht sich die Leistung, 

so erhöht sie sich um 10dB. 

Merke: Verdoppelt sich die Spannung, so erhöht sie sich um 6dB, verzehnfacht sich die Spannung, 

so erhöht sie sich um 20dB. 

P 

P0 

U 

U0


5.3.2 logarithmische Frequenzachsen 

Eine logarithmische Frequenzachse entsteht, wenn die darzustellende Frequenz durch eine Bezugsfrequenz 

dividiert und der Quotient logarithmiert wird. Dies wird durch folgende Gleichung 

beschrieben. 

flog = log 10( f 

Dabei kann die Bezugsfrequenz f0 beliebig gewählt werden. Im folgenden Diagramm ist die Berechnung 

der logarithmischen Frequenzachse für f0 = 1Hz durchgeführt und gra…sch dargestellt. 

Wählt man eine angdere Bezugsfrequenz, z.B. f1, so führt dies lediglich zur Verschiebung aller 

Frequenzpunkte auf der logarithmischen Frequenzachse um einen konstanten Betrag 

nämlich 

flog = log 10( f 

5.3.3 Logarithmen Papier 

f0 

) = log 10( f 

f1 

f1 

f0 

f0 

log10( f 

) 

f1 

| {z } 

= log10( neue Frequenzachse 

f 

) 

f0 

| {z } 

alte Frequenzachse 

) 

) = log 10( f 

) + log10( f1 

f1 

f0 

| {z 

) 

} 

Konstante Verschiebung 

log10( f1 

f0 

Analog zum Millimeterpapier gibt es im Handel eine Reihe von Papieren mit logarithmisch geteilten 

Achsen. Man unterscheidet halblogarithmisches Papier, wenn nur eine Achse logarithmisch 

geteilt ist und doppellogarithmisches Papier, wenn beide Achsen logarithmisch geteilt sind. 

In der folgenden Abbildung ist eine Frequenzgangkurve auf doppeltlogarithmischem Papier dargestellt. 

)


5.3.4 Amplitudendiagramm 

Im Amplitudendiagramm wird die darzustellende Größe logarithmisch - in der Regel in dB - 

über der ebenfalls logarithmischen Frequenzachse dargestellt. Nimmt man an, die darzustellende 

Größe sei eine Spannung, so geht man folgedermaßen vor. Man bezieht die darzustellende 

Spannung U auf eine beliebige Bezugsspannung - z.B. U0 = 1V - und rechnet den Quotienten 

a = U gemäßder Formel 

U0 

jaj dB = 20 log 10 (jaj) 

in Dezibel (dB) um. Die Frequenz, bei der die Spannung U bestimmt wurde, rechnet man 

ebenfalls in einen logarithmischen Wert gemäßder Formel 

f 

flog = log10 f0 

um. Dabei ist f0 , die Bezugsfrequenz, beliebig wählbar, z.B. f0 = 1Hz. Die beliebigen Bezugsgrößen 

f0 und U0 gelten, eimal festgelegt, für alle im Diagramm dargestellten Punkte, d.h. jeder 

Spannungswert ist auf U0 und jeder Frequenzwert auf f0 zu beziehen. So erhält man eine doppeltlogarithmische 

Darstellung des Frequenzgangs der Spannungsamplitude. Durch Verwenden von 

Logarithmenpapier kann man sich die Umrechnung sparen und die Werte direkt einzeichnen. 

Übertragungsfunktionen haben in der Regel zumindest asymtotisch folgende Frequenzabhängigkeit 

jaj = a0 

f 

f0 

n


Die Abhängigkeit in Form einer Potenz der Frequenz wird in der doppellogarithmischen Darstellung 

als Gerade 

jaj dB 

| {z } 

y 

f 

= 20 log10 a0 

f0 

wiedergegeben. Es ergeben sich folgende Abhängigkeiten 

a in dB 

20dB/dec 

(f/f0) 

40dB/dec 

(f/f0) 2 

60dB/dec 

(f/f0) 3 

n 

f 

= 20 ( n) log10 + const. 

f0 

| {z } 

x 

20dB/dec 

(f/f0) 1 

40dB/dec 

(f/f0) 2 

Frequenz in f/f0 

60dB/dec 

(f/f0) 3 

Daraus ergibt sich die für Frequenzgänge typische Steigung von 

20 ( n) dB / Frequenzdekade . 

Man bezeichnet diese Steigung auch als den Omega-Gang der Frequenz. 

5.3.5 Phasendiagramm 

Die Phase wird im Bode Diagramm linear über der logarthmischen Frequenzachse dargestellt. 

5.4 Übertragungsfunktion einer linearen Schaltung 

Ganz allgemein ist die Übertragungsfunktion einer linearen Schaltung de…niert als Funktion der 

Laplacevariablen19 s 

Ausgangsgröße (s) 

H (s) = 

Eingangsgröße (s) 

19 allgemein gilt: s = + j!; ist dabei der Realteil und ! der Imaginärteil der Frequenz. Ist = 0; so ist s 

identisch mit dem gut bekannten Ausdruck j!:


Die Aus- und die Eingangsgrößen können dabei Ströme oder Spannungen sein. Wir werden hier 

i.d.R. mit dem Spannungsquotienten 

H (s) = ua (s) 

ue (s) 

rechnen. Sinngemäßgelten aber alle Resultate auch für die Stromquotienten. Interessiert man 

sich nur für das frequenzabhängige Verhalten also für die periodischen Lösungen bei harmonischer 

Anregung der Schaltung, so ersetzt man s durch j! und erhält mit 

H (!) = ua (!) 

ue (!) 

eine Funktion 20 , die den Frequenz- und Phasenverlauf der Übertragungsfunktion beschreibt. Sie 

ist immer dann ausreichend, wenn das Einschwingverhalten der Schaltung nicht interessiert und 

die Quellen der Schaltung nur harmonisch von der Zeit 21 abhängen und alle Quellen Signale 

derselben Frequenz liefern. 

Im folgenden werden die Übertragungsfunktionen für den Hoch- und den Tiefpass abgeleitet. 

5.5 Hoch- und Tiefpässe 1.Ordnung, Vorbemerkungen 

In diesem Abschnitt werden die Übertragungsfunktionen von Zusammenschaltungen von ohmschen 

Widerständen mit genau einem nicht ohmschen Element untersucht. Zum Schlußdieses 

Abschnitts wird man sehen, dass anhand der Übertragungsfunktion entschieden werden kann, 

ob es sich die zugehöhrige Schaltung tiefpassartig oder hochpassartig verhält. 

Es wird sich auch zeigen, dass dieselbe Übertragungsfunktion durch unterschiedliche Schaltungen 

realisiert werden kann. 

5.6 Tiefpass erster Ordnung 

Zunächst werden die folbenden beiden elementaren RC- und LC Tiefpass…lterschaltungen untersucht. 

Zur Ableitung der Übertragungsfunktionen wird im folgenden durchweg die Laplaceschreibweise 

verwendet und daraus alle Eigenschaften abgeleitet. 

5.6.1 Übertragungsfunktion 

Die Ausgangsspannung berechnet sich für das RC- Tiefpass…lters zu 

ua(s) = 

1 

sC 

R + 1 

sC 

ue (s) : 

20 Oft ist auch die Schreibweise H (j!) anstatt H (!) üblich. 

21 Die allgemeinste harmonische Zeitabhängigkeit ist durch die Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen mit 

beliebigen konstanten Koe¢ zienten gegeben. Beispiel: h(t) = 2:3 sin (!t) + 5:7 cos (!t) :


Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion 

H (s) = ua(s) 

ue (s) 

= 

= 

1 

sC 

R + 1 

sC 

1 

1 + s 

!g 

= 

1 

1 + sRC 

Für das LC-Tiefpass…lter erhält man entsprechend 

ua(s) = 

H (s) = 

= 

oder mit 1 

RC 

= !g 

R 

sL + R ue (s) und daraus wie oben 

R 

R + sL = 

1 

1 + s L 

R 

oder mit R 

1 

1 + 

= !g 

L s 

!g 

Wie man sieht sind die beiden Übetragungsfunktionen formal gleich und duch 

H (s) = 

1 

1 + s 

!g 

darstellbar. Man nennt !g auch die Grenzfrequenz, deren Bedeutung im Folgenden klar werden 

wird. 

Daraus kann man bereits lernen, dass vollkommen unterschiedliche Schaltungen diegleiche Übertragungsfunktion 

haben können. Diese Tatsache legt es nahe sich ausführlicher mit der Struktur 

von Übertragungsfunktionen zu beschäftigen und erst im letzten Schritt nach einer schaltungstechnischen 

Realisierung für die gewünschte Übertragungsfunktion zu suchen. Es geht also letztlich 

darum Schaltungen zu entwerfen, die die geforderten Übertragungsfunktionen haben. Man 

synthetisiert eine Schaltung gemäßeiner Übertragungsfunktion und nennt dies deshalb auch 

Schaltungssynthese. 

In dieser Vorlesung wird nicht in systematischer Weise auf die Schaltungssynthese eingegangen, 

sondern nur grundlegende Schaltungen untersucht und Zusammenhänge der Übertragungsfunktionen 

aufgezeigt. 

5.6.2 harmonische Lösungen 

Aus der Laplacedarstellung der Übertragungsfunktion H(s) ermittelt man die harmonischen 

Lösungen und damit den eingeschwungenen Zustand der Schaltung, indem s durch j! ersetzt 

wird. Man ermittels also H(j!) und damit die Lösungen, die auch die komplexe Rechnung liefert. 

H (j!) = 

1 

1 + j ! 

!g 

Aus H (j!) berechnet man die Abhängigkeit der Amplitude 

s 

1 

jH (j!)j = 

1 + j ! 

1 

1 j !g 

! 

!g 

v 

u 

= 

u 

t 

1 

1 + ! 

2 

!g


und der Phase 

]H (j!) = arctan 

= arctan 

von der Frequenz. 

Im (H (j!)) 

Re (H (j!)) 

! 

!g 

= arctan ! 

!g 

oder 

mit Re (H (j!)) = 

1 

1 + ! 

!g 

2 und Im (H (j!)) = 

Bode-Darstellung des Amplitudenfrequenzgangs Die Abhängigkeit der Amplitude von 

der Frequenz nennt man auch Amplitudenfrequenzgang und manchmal auch einfach Frequenzgang. 

In der Bode-Darstellung wird der relative Pegel der Übertragungsfunktion in dB über der 

logarithmischen Frequenzachse aufgetragen und damit 

0s 

jH (j!)j = 20 log @ 

10 

1 + ! 

doppeltlogarithmisch dargestellt. Es ist sinnvoll vor der Darstellung das asymptotische Verhalten 

der Übertragungsfunktion also die Fälle ! ! 0 und für ! ! 1 genauer zu untersuchen. 

1. Verhalten für ! ! 0: 

Für sehr kleine Frequenzen erhält man 

!g 

lim 

!!1 jH (j!)jdB = 0 

Für kleine ! ist der Frequenzgang des Tiefpasses konstant - man spricht auch von einem 

‡achen Frequenzgang - und wird durch eine 0dB-Gerade parallel zur Frequenzachse 

dargestellt. 

2. Verhalten für ! ! 1: 

Für sehr hohe Frequenzen erhält man 22 folgende asymptotischen Amplitudenverlauf 

lim 

!!1 jH (j!)j dB = 20 log 10 

Für hohe Frequenzen wird der Frequenzgang durch eine Gerade beschrieben, die mit 20dB 

pro Frequenzdekade abnimmt und durch den Punkt (0dB, !g) geht. 

3. Schnittpunkt beider Asymptoten: 

Beide Asymptoten schneiden sich im Punkt (0dB, !g) also bei der Grenzfrequenz !g und 

einem Pegel von 0dB. 

Die Grenzfrequenz zeigt sich als wichtige Kenngröße der Übertragungsfunktion. 

1 

2 

A 

! 

!g 

! 

!g 

1 + ! 

!g 

4. Amplitude der Übertragungsfunktion bei der Grenzfrequenz: 

Betrachtet man die Übertragungsfunktion nicht asymptotisch, sondern möchte den konkreten 

Wert bei der Grenzfrequenz wissen, so erhält man ! = !0 ein und erhält 

p 

jH (j!0)j = 20 log10 2 

= 3:0103dB 

Etwas ungenau spricht man vom einem Abfall von 3dB bei der Grenzfrequenz. 

22 gesucht wird nicht der Wert für ! ! 1 , der ist natürlich Null, sondern der asymptotische Verlauf 

2 

erg


Die eben ermittelten Eigenschaften der Übertragungsfunktion des Tiefpasses sind im folgenden 

Diagramm zusammengestellt. 

|H(jω)| dB 

Asymtote für ω→0 

ca.1dB Abfall bei der 

halbenGrenzfrequenz 

1dB 

ω0/2 

Exakte Amplitudenkurve 

3dB 

ω0 


doppelten Grenzfrequenz 

Grenzfrequenz: ω = ω0 

Amplitudenfrequenzgang TP. 1.Ordnung 

Asymtote für ω→∞ 

3dB Abfall bei der 

Grenzfrequenz 

2ω0 

1dB 

20dB/Dec 

(f/f0) 1 

Frequenz ω/ ω0 

Bode-Darstellung des Phasenfrequenzgangs Die Eigenschaften des Phasenfrequenzgangs 

werden im Folgenden weiter untersucht und graphisch dargestellt. Aus dem bereits oben berechneten 

Ausdruck für den Phasenwinkel 

]H (j!) = arctan ! 

ergeben sich die folgenden Eigenschaften dieser Funktion. 

1. Verhalten für ! ! 1 : 

Für ! ! 1 wird lim ]H (j!) = 90 . 

!!1 

2. Verhalten für ! = 0 : 

Für ! = 0 wird ]H (0) = 0 : 

3. Verhalten für ! = !g : 

Für ! = !g ergibt sich ]H (0) = arctan (1) = 45 

Folgende Abbildung zeigt die gra…sche Darstellung de Phasenfrequenzgangs und die näherungsweise 

Darstellung durch Geraden. 

!g


∠G(jω) in Grad 

5.7 º 

45º pro Dekade 

45º 

Grenzfrequenz ω = ω0 

0º Asymtote 

Exakte Phasenkurve 

Geradennäherung 

5.7 º 

Phasenfrequenzgang TP. 1.Ordnung 

90º Asymtote 

Frequenz ω/ω0 

Der durch diese Geradennäherung bedingte maximale Phasenfehler beträgt etwa 6 ; was 

in vielen Fällen tolerierbar ist. Die Näherungsgerade verbindet die Punkte 0:1 ! ; 0 !g 

und 

10 ! ; 90 . 

!g 

5.6.3 Anregung mit einer Sprungfunktion 

In diesem Abschnitt wird untersucht, wie sich die Ausgangsspannung eines elementaren Tiefpasses 

1 

H(s) = 

1 + s 

!g 

verhält, wenn am Eingang eine Sprungfunktion 

1 

ue(t) = U0 (t) U0 = ue(s) 

s 

angelegt wird. Die Ausgangsspannung in der Laplaceform wird dann 23 

ua = H(s) ue oder alles eingesetzt 

= 

= 

1 

1 + s 

!g 

1 

s 1 + s 

!g 

1 

s U0 

U0 : 

23 Wenn keine Verwechslung besteht wird alstelle von u(s) im Folgenden einfach u geschrieben.


Durch Anwenden der Rücktransformation L28 (s.a. Anhang Laplacetabelle) erhält man folgende 

Zeitfunktion. 

s 

1 

1 + s 

!g 

!g 

= 

s (!g + s) 

1 e !gt 

und daraus die Ausgangsspannung als Funktion der Zeit 

ua(t) = 1 e !gt U0 

Die Sprungantwort am Ausgang näher sich mit einer Zeitkonstante = 1 (Erinnerung an 

!g 

oben: RC-TP: !g = 1 

RC , RL-TP: !g = R 

L ) an die Eingangsspannung an. Man verleiche auch: 

Ladekurve eines Kondensators über einen Widerstand. 

5.7 Hochpass erster Ordnung 

Auch hier werden zunächst Schaltungen der folgenden Form mittels der Laplacedarstellung untersucht. 

5.7.1 Übertragungsfunktion 

Die Berechnung wird hier nicht mehr im Detail durchgeführt, da sie in dergleichen Weise wie bei 

den Tiefpässen erfolgt. Es werden lediglich die Endergebnisse angegeben. Auch die Grenzfrequenz 

!g ist diegleiche wie oben eingeführt. 

Für den RC-Hochpass erhält man 

H(s) = 

= 

R 

R + 1 

sC 

RC s 

1 + RC s 

s 

!g 

= 

1 + s 

!g 

1 

= 

1 + !g 

s 

Für den RL-Tiefpass ergibt sich 

oder Zähler und Nenner mit !g 

s multipliziert 

H(s) = 

sL 

R + sL 

s 

= 

!g 

1 + s 

!g 

oder 

= 

1 

1 + !g 

s 

Der Hochpass zeigt ein zum Tiefpass inverses Verhalten. Aus der Funktion für den Tiefpass 

erhält man die Funktion für den Hochpass, wenn man s 

!g 

durch !g s ersetzt. Man spricht auch 

von einer Inversion der Frequenzachse. Demnach wird durch Invertierenen der Frequenzachse 

die Übertragungsfunktion in die jeweils inverse überführt.


5.7.2 harmonische Lösungen 

Es wird s durch j! ersetzt 

H (j!) = 

j! 

!g 

1 + j! 

!g 

Daraus berechnet man den Amplitudenfrequenzgang 

jH (j!)j = 

v 

u j! 

u 

t !g 

1 + j! 

= 

1 !g 

v 

u 2 

! 

u !g u 

t 

1 + ! 

2 

!g 

und den Phasenfrequenzgang. Mit 

Re (H (j!)) = 

Im (H (j!)) = 

erhält man den gesuchten Phasenfrequenzgang. 

]H (j!) = 

! 

!g 

2 

1 + ! 

!g 

! 

!g 

1 + ! 

!g 

Im (H (j!)) 

Re (H (j!)) 

= arctan !g 

! 

Bode-Darstellung des Amplitudenfrequenzgangs Zuerst berechnet man die Übertragungsfunktion 

in dB 

s 

1 

jH (j!)j dB = 20 log 10 

j! 

!g 

j! 

!g 

2 

2 

1 + !0 

! 

Analog zum Tiefpaß1.Ordnung berechnet man das asymptotische Verhalten. 

1. Verhalten für ! = 0 

Für kleine Frequenzen ergibt sich die Asymptote 

! 

jH (j!)jdB = 20 log10 !0 

2. Verhalten für ! ! 1 

Für große Frequenzen erhält man die Asymtote 

3. Schnittpunkt beider Asymtoten: 

Gleichsetzen beider Asymtoten ergibt 

jH (j!)j dB = 0 dB 

0 dB = 20 log 10 

! 

!0 

2


woraus wieder 

folgt. Der Schnittpunkt liegt bei (!g, 0dB) : 

! = !0 

Der eben berechnete Amplitudenfrequenzgang ist in der folgenden Abbildung graphisch dargestellt. 

|H(jω)| dB 

Asymtote für ω→0 

3dB Abfall bei der 

Grenzfrequenz 

ω0/2 

20dB/Dec 

(f/f0) 

3dB 

ω0 

2ω0 

Exakte Amplitudenkurve 


halbenGrenzfrequenz 


doppelten Grenzfrequenz 

ω = ω0 : Grenzfrequenz 

Amplitudenfrequenzgang HP 1.Ordnung 

Asymtote für ω→∞ 

Frequenz ω/ ω0 

Bode-Darstellung des Phasenfrequenzgangs Die Bodedarstellung der Phase des Hochpasses 

1.Ordnung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.


∠G(jω) in Grad 

5.7 º 

ω0/10 

45º pro Dekade 

+45º 

Grenzfrequenz ω = ω0 

90º Asymtote 

Exakte Phasenkurve 

Phasenfrequenzgang HP 1.Ordnung 

5.7.3 Anregung mit einer Sprungfunktion 

Geradennäherung 

zwischen 

ω0/10 und 10ω0 

10ω0 

5.7 º 

0º Asymtote 

Frequenz ω/ω0 

In diesem Abschnitt wird untersucht, wie sich die Ausgangsspannung eines elementaren Hochpasses 

H(s) = 

verhält, wenn am Eingang eine Sprungfunktion 

s 

!g 

1+ 

1 

ue(t) = U0 (t) U0 = ue(s) 

s 

angelegt wird. Die Ausgangsspannung in der Laplaceform wird dann 24 

ua = H(s) ue oder alles eingesetzt 

= 

= 

s 

!g 

1 + s 

!g 

1 

s U0 

1 

!g + s U0 : 

Durch Anwenden der Rücktransformation L21 (s.a. Anhang Laplacetabelle) erhält man folgende 

Zeitfunktion. 

1 

!g + s 

e !gt 

und daraus die Ausgangsspannung als Funktion der Zeit 

ua(t) = e !gt U0 

24 Wenn keine Verwechslung besteht wird alstelle von u(s) im Folgenden einfach u geschrieben.


Die Sprungantwort am Ausgang nimmt ohne Verzögerung den Maximalwert an und klingt 

dann mit der Zeitkonstante = 1 

!g (Erinnerung an oben: RC-TP: !g = 1 

RC , RL-TP: !g = R 

L ) 

bis auf Null ab. 

5.8 weitere Tiefpässe und Hochpässe erster Ordnung 

Neben den eben besprochenen elementaren Tiefpässen 1.Ordnung, gibt es weitere Tiefpassschaltungen 

1.Ordnung. So führt z.B. die folgende Schaltung 

auf eine tiefpassartige Übertragungsfunktion, läßt sich jedoch nicht auf die oben abgeleitete 

Form eines elementaren Tiefpasses bringen. Die Berechnung der Übertragungsfunktion ergibt 

H(s) = 

= 

= 

= 

= 

R2 (R3+ 1 

sC ) 

R2+(R3+ 1 

sC ) 

R1 + R2 (R3+ 1 

sC ) 

R2+(R3+ 1 

sC ) 

R2 + CsR2R3 

R1 + R2 + CsR1R2 + CsR1R3 + CsR2R3 

R2 (1 + R3C s) 

R1 + R2 + Cs(R1R2 + R1R3 + R2R3) 

1 + R3C s 

R2 

R1 + R2 

R2 

R1 + R2 

1 + Cs 

R1R2+R1R3+R2R3 

R1+R2 

1 + R3C s 

1 + C R3 + R1R2 

R1 + R2 

| {z } 

Entlade-Zeitkonstante 

Man stellt fest, dass die die Übertragungsfunktion o¤ensichtlich zwei Grenzfrequenzen hat, nämlich 

im Zähler !gz = 1 

R3C und im Nenner !gn = C R3 + R1R2 

R1+R2 

, so dass folgende Schreibweise 

H(s) = 

R2 

R1 + R2 

1 + s 

!gz 

1 + s 

!gn 

gerechtfertigt ist. Der s-abhängige, rechte Ausdruck läßt sich als Produkt von zwei Funktionen 

1 + s 

!gz 

1 + s 

!gn 

1 

= 

1 + s 

! 

!gn 

| {z } 

Nennerpolynom 

1 + s 

!gz 

| {z } 

Zählerpolynom 

darstellen. Der linke Term ist identisch mit dem oben abgeleiteten Tiefpass. Er besteht aus 

einem Nennerpolynom. Der rechte Term besteht aus einem Zählerpolynom und hat folgenden 

s


Amplitudenfrequenzgang (s = j!). 

Hz(s) = 1 + s 

!gz 

= 1 + j! 

!gz 

jHz(s)j = 1 + ! 

!gz 

daraus folgt der Amplitudenfrequenzgang 

2 

: 

Die Amplitudenfrequenzgänge beider Terme, nämlich des Nennerpolynoms und des Zählerpolynoms, 

sind im folgenden Diagramm zusammengestellt. Als Grenzfrequenzen wurden !gz = 

2 10 kHz und !gn = 2 1 kHz gewählt. 

Da in der logarithmischen Darstellung die Multiplikation in eine Addition übergeht, entsteht die 

Produktkurve einfach durch Addition der Kurven für das Zähler- und das Nennerpolynom. Besonders 

einfach wird die Addition der asymptotischen Geraden, zu deren Konstruktion lediglich 

die beiden Grenzfrequenzen benötigt werden. Nach diesem Vorgehen, kann jede Übertragungsfunktion 

die folgendes Aussehen hat 

H(s) = 

1 + s 

!gz 

1 + s 

!gn 

sofort - praktisch ohne Rechnung! - in der Bode-Darstellung dargestellt werden. Für !gn < !gz 

ergibt sich ein tiefpassartiges- und für !gz < !gn ein hochpassartiges Verhalten. Das hochpassartige 

Verhalten ist ohne weiteren Kommentar im folgenden Diagramm, mit !gz = 2 1 kHz und 

!gn = 2 10 kHz dargestellt.


Man kann zeigen, dass die Übertragungsfunktion eines Systems 1.Ordnung immer auf die Form 

H(s) = a 

1 + s 

!gz 

1 + s 

!gn 

gebracht werden kann, wobei !gz und !gn die oben näher erläuterten Grenzfrequenzen und a eine 

Konstante ist. H(s) ist damit die allgemeinste Form der Übertragungsfunktion für ein System 

1.Ordnung. 

Der Ausdruck 1 + s 

!gz 

1 

1+ s 

!gn 

steht für eine einfache Nullstelle (engl. single zero) und der Ausdruck 

für eine einfache Polstelle (engl. single pole) der Übertragungsfunktion. 

Die Übertragungsfunktion eines Systems 1.Ordnung hat genau eine Polstelle und höchstens eine 

Nullstelle. 

5.9 Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt 

Be…ndet sich in einer Schaltung eine gegengekoppelte gesteuerte Quelle, so kann die Schaltung als 

Regelkreis dargestellt und mit regelungstechnischen Methoden 25 ) weiter analysiert und beschrieben 

werden. Das Verstärkungs-Bandbreiteprodukt läßt sich vorteilhaft anhand eines Regelkreises 

erläutern und ableiten. 

5.9.1 allgemeiner Regelkreis 

Im folgenden ist der Verstärker in Form seines regelungstechnischen Diagramms dargestellt. Wie 

bereits weiter oben erläutert, ergeben sich die Koe¢ zienten kf und kr direkt aus der Schaltung. 

25 s.a. Vorlesung Regelungstechnik


Führungsgrößenformer 

ue kf + + α 

ua 

 

Führungsgröße 

Eingangssignal 

Sollwert 

Istwert 

Regler 

Regelabweichung 

Regelstrecke 

kr 

Operationsverstärker 

Ausgangsgröße 

Ausgangssignal 

Die Übertragungsfunktion leitet man leicht wie folgt ab. Die Ausgangsspannung ua berechnet 

sich aus 

ua = (kf ue kr ua) 

umgestellt nach ua ergibt 

und damit die Übertragungsfunktion 

ua = 

H0 = 

kf 

1 + kr 

kf 

1 + kr 

Dabei ist kf die Verstärkung, wenn der Verstärker nicht gegengekoppelt wird (engl.”open loop 

ampli…cation”) . kr bezeichnet man als Kreisverstärkung der Gegenkopplung (engl.: ”loop 

ampli…cation”). Schließlich ist H0 die Verstärkung, wenn der Regelkreis geschlossen und damit 

die Gegenkopplung aktiv ist (engl. ”closed loop ampli…cation”. Der Index Null kennzeichnet den 

frequenzunabhängigen Fall des eingesetzten Operationsverstärkers. 

5.9.2 OP mit Tiefpaßverhalten (obere Grenzfrequenz) 

Ersetzt man den idealen OP durch einen sonst gleichen aber mit Tiefpasscharakteristik 26 , so 

führt dies auf folgenden allgemeinen Regelkreis. 

26 Jeder OP weist bei entspechend hohen Frequenzen TP-Charakteristik, die sich in erster Näherung als TP 

1.Ordnung darstellen läßt. 

ue 

(1)



ue kf + 

1 

+ α 

ua 

 

Die Tiefpaßcharakteristik wird durch den Term 1 

1+ s 

! 0 

Übertragungsfunktion. Für ua ergibt sich 

kr 


oder nach ua umgestellt 

ua = 

kf 

1 + kr + s ue 

!0 

klammert man im Nenner 1 + kr aus, so ergibt sich 

ua = kf 

1 + kr 

1 + 

1 

1+s/ω 0 

beschrieben. Zu berechnen ist wieder die 

1 

1 + s 

!0 

s 

!0(1+kr ) 

und damit die Übertragungsfunktion bei Gegenkopplung 

T P 

Hgeg = kf 

1 + kr | {z } 

Hgeg hat zwei interessante Eigenschaften. 

H0 

ue 

1 

s 1 + 

!0 (1 + kr ) 

| {z } 

1. Zunächst sieht man, dass bei Gegenkopplung die Grenzfrequenz der Verstärkung um den 

Faktor 1+kr größer wird. Da normalerweise ! 1 ist dies ein beachtlicher Faktor! Die 

Gegenkopplung erhöht die obere Grenzfrequenz des eingesetzten Operationsverstärkers 

um den Faktor 1 + kr 

2. Multipliziert man H0 mit !geg oder in Worten ausgedrückt die Verstärkung bei der Frequenz 

! = 0 mit der Grenzfrequenz unter Gegenkopplung, so erhält man 

H0 !geg = 

kf 

! T P 

geg 

1 + kr 

!0 (1 + kr ) 

= kf !0 6= f(kr)


Das Produkt H0 !geg hängt nur von den Eigenschaften des eingesetzten OPs und der 

Signalkopplung jedoch nicht von der Stärke der Gegenkopplung ab. Gleich welches kr 

auch eingestellt wird, das Produkt H0 !geg bleibt konstant. Man nennt es auch das 

Verstärkungs-Bandbreiteprodukt. Das Verstärkungs-Bandbreiteprodukt einer gegengekoppelten 

Schaltung wird im wesentlichen durch den verwendeten Operationsverstärker 

also durch !0 bestimmt. !0 wird deshalb in den Datenblättern angegeben. 

5.9.3 OP mit Hochpaßverhalten (untere Grenzfrequenz) 

Hat der OP eine untere Grenzfrequenz 27 ) so ist seine Darstellung als allgemeiner Regelkreis 

unter Gegenkopplung durch folgendes Diagramm gegeben. 


ue kf + 

1 

+ α 

ua 

 

1+ ω0 /s 

Die Übertragungsfunktion berechnet sich wie folgt. 

aufgelöst nach ua ergibt sich 

kr 


ua = kf ue 

klammert man 1 + kr aus, so erhält man 

= 

ua = kf 

1 + kr 

s 

1 

1 + !0 

s 

!0 + s + kr s 

kf 

1 + kr + !0 

ue 

s 

1 + 1 

s 

27 i.d.R. ist die untere Grenzfrequenz gleich Null. Der OP verhält sich ein DC Verstärker. Verwendet man 

dagegen Verstärker mit einer unteren Grenzfrequenz (z.B. einen Bandpaßverstärker), so verhält sich die untere 

Grenzfrequenz entsprechend der folgenden Ableitung. 

1 

!0 

1+kr 

ue


und damit die Übertragungsfunktion 

H HP 

geg = kf 

1 + kr 

| {z } 

Auch hier erkennt man zwei wichtige Eigenschaften 

1. ! HP 

geg = !0 

1+kr 

H0 

1 + 1 

s 

1 

!0 

1 + kr 

| {z } 

! HP 

geg 

: Damit verringert sich die untere Grenzfrequenz um den Faktor 1 + kr . 

2. Hier kann man einen Verstärkungs-Bandbreitequotienten 28 ) de…nieren, der wieder unabhängig 

von der Gegenkopplung ist: 

5.9.4 Zusammenfassung 

H0 

! HP 

geg 

= kf !0 

6= f(kr) 

Obige Betrachtungen haben gezeigt, dass die Gegenkopplung die Frequenzeigenschaften eines 

Verstärkers erheblich verbessert. So wird die obere Grenzfrequenz erhöht und die untere Grenzfrequenz 

abgesenkt. Die Bandbreite also größer. Oft benutzt man die Gegenkopplung einzig zu 

dem Zweck die Eigenschaften einer Schaltung zu verbessern. 

5.10 Der Miller-Integrator 

Es wird folgende Schaltung zur Integration von Spannungssignalen untersucht - vgl. auch [?, 

Kapitel 3.2.5] - 

Nimmt man einen idealen Operationsverstärker an, so ergibt sich die Übertragungsfunktion - 

wegen Ust =0- 

H(s) = Ua(s) 

Ue(s) = 

= R2 

R1 

28 Dieser Begri¤ ist eher unüblich! 

1 

1 + s 

!0 

1 

R2 s C 

R2+ 1 

s C 

R1 

= R2 

R1 

R2 

sCR2 + 1 mit !0 = 1 

CR2


Die Übertragungsfunktion obiger Schaltung läßt sich auf eine Übertragungsfunktion mit Tief- 

. 

paßcharakter 1.Ordnung zurückführen, nämlich auf H(s) / 1 

1+ s 

! 0 

Weiterhin erhält man für jsj 1 die Übertragungsfunktion H(s) = R2 

R1 

Ausgangsspannung 

Ua(s) = H(s) Ue(s) = R2 

R1 

!0 

s Ue(s) = R2 

R1 

Aus der Laplacetransformationstabelle erhält man 

Ue(s) 

s 

Z t 

0 

1 

CR2 

Ue(t) dt 

1 

s Ue(s) = 1 

R1C 

!0 

s 

und damit die 

Ue(s) 

s 

Die Ausgangsspannung der Schaltung ist das Integral der Eingangsspannung und wird deshalb 

auch als Integrierer bezeichnet. Der manchmal gebrauchte Naqme ”Miller Integrator” geht auf 

seinen Entdecker zurück. Die integrierende Wirkung tritt nur dann ein, wenn man die ”1” im 

Nenner gegenüber dem Betrag von jsj vernachlässigen kann, was dann der Fall ist, wenn die 

Grenzfrequenz klein gegenüber der kleinsten Frequenz des zu integrierenden Signals ist, wenn 

also das gesamte Frequenzband des zu integrierenden Signals auf der Asymptote für ! ! 1 

liegt.Es wird folgende Schaltung zur Integration von Spannungssignalen untersucht - vgl. auch 

[?, Kapitel 3.2.5] - 


wegen Ust - 

H(s) = Ua(s) 

Ue(s) = 

= R2 

R1 

1 

1 + s 

!0 

1 

R2 s C 

R2+ 1 

s C 

R1 

= R2 

R1 

R2 

sCR2 + 1 mit !0 = 1 

CR2 

Die Übertragungsfunktion obiger Schaltung läßt sich auf eine Übertragungsfunktion mit Tief- 

. 


1+ s 

! 0 

Weiterhin erhält man für jsj 1 die Übertragungsfunktion H(s) = R2 

R1 


Ua(s) = H(s) Ue(s) = R2 

R1 

!0 

s Ue(s) = R2 

R1 


Ue(s) 

s 

Z t 

0 

1 

CR2 

Ue(t) dt 

1 

s Ue(s) = 1 

R1C 

!0 

s 

und damit die 

Ue(s) 

s


Die Ausgangsspannung der Schaltung ist das Integral der Eingangsspannung; sie wird deshalb 

auch Integrierer genannt. Die integrierende Wirkung tritt nur dann ein, wenn man die ”1” 

im Nenner der Übertragungsfunktion vernachlässigen kann, was dann der Fall ist, wenn die 

Grenzfrequenz !0 klein gegenüber der kleinsten Frequenz des zu di¤erenzierenden Signals ist, 

wenn also das gesamte Frequenzband des zu di¤erenzierenden Signals auf der Asymptote für 

! ! 1 des Tiefpasses liegt. 

Die Frequenz, für die jH(s)j = 1 wird, bezeichnet man auch als Integratorfrequenz. Sie ergibt 

sich aus 

jH(s)j = R2 

R1 

1 

CR2 

1 

= 

s 

1 

R1C 

1 

j! 

1 

= 

R1C 

1 

! = 1 

mit dem Wert 

5.11 Di¤erentiator 

!Int = 1 

R1C 

Es wird folgende Schaltung zur Di¤erentation von Spannungssignalen untersucht - vgl. auch [?, 

Kapitel 3.2.6] - 


wegen Ust =0- 

H(s) = Ua(s) 

Ue(s) = 

= R2 

R1 

1 

1 + !0 

s 

R2 

R1 + 1 

s C 

= R2 1 

R1 1 + 1 

sR1C 

mit !0 = 1 

Die Übertragungsfunktion obiger Schaltung läßt sich auf eine Übertragungsfunktion mit Hoch- 

. 


1+ ! 0 

s 

Weiterhin erhält man für jsj !0 die Übertragungsfunktion H(s) = R2 

R1 


Ua(s) = H(s) Ue(s) = R2 

R1 

s 

!0 

Ue(s) = R2 

R1 


s Ue(s) 

d 

dt Ue(t) 

CR1 

s 

!0 

CR1 s Ue(s) = R2C Ue(s) s 

und damit die


Die Ausgangsspannung der Schaltung ist das Di¤erential der Eingangsspannung; si wird deshalb 

auch als Di¤erenzierer bezeichnet. Die di¤erenzierende Wirkung tritt nur dann ein, wenn man 

die ”1” im Nenner vernachlässigen kann, was dann der Fall ist, wenn die Grenzfrequenz groß 

gegenüber der größten Frequenz des zu di¤erenzierenden Signals ist, wenn also das gesamte 

Frequenzband des zu di¤erenzierenden Signals auf der Asymptote für ! ! 0 liegt. 

Die Frequenz, für die jH(s)j = 1 wird, bezeichnet man auch als Di¤erenziatorfrequenz. Sie ergibt 

sich aus 

jH(s)j = R2 

R1 

1 

!0 

s = R2 

R1 

CR1 j! = R2C ! = 1 

mit dem Wert 

!Diff = 1 

R2C


6 Bipolare Bauelemente 

Bisher wurde ausschließlich auf lineare Schaltungen eingegangen. In den folgenden Abschnitten 

werden wichtige Halbleiterbauelemente besprochen, die durch ein mehr oder weniger ausgeprägtes 

nicht-lineares Verhalten gekennzeichnet sind. Zunächst werden bipolare Bauelemente, 

wie Dioden und bipolare Transistoren besprochen. Bipolare Bauelemente sind dadurch gekennzeichnet, 

dass am Ladungstransport zwei (daher ”bi-”) Sorten von Ladungsträgern, nämlich 

Elektronen (negative Ladungsträger) und Löcher (”positive”Ladungsträger), beteiligt sind. 

6.1 Dioden 

Die Eigenschaften von Dioden weden durch ihren pn-Übergangs, d.h. durch die Eigenschaften 

ihrer Sperrschicht, bestimmt. Man spricht deshalb auch von Sperrschichtdioden. Der Aufbau 

und das Schaltsymbol von Sperrschichtdioden ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 

Literatur: [?, Kapitel 5.2], [UM97, Kapitel 8.1 (Seite 130-140)] 

6.1.1 Shockeley Gleichung 

Die Strom- Spannungsverhältnisse an einer Diode werden durch die folgenden Gleichungen in 

guter Näherung beschrieben. 

Id = Is e 

Ud n Uth 1


Diese Gleichung wird auch als ”Shockeley-Gleichung” genannt, dabei ist Uth die Temperaturspannung 

Uth = kB T 

e = 1:3806568 10 23 J K 1 

1:60217733 10 19 C T = 1:3806568 10 23 A V s K 1 

1:60217733 10 19 A s 

= 8: 617 4 10 

Uth (300 K) = 8: 617 4 10 

= 25:9 mV 

5 V 

K 

T :Bei Raumtemperatur (T = 300 K) ergibt dies 

5 V 

K 300 K = 2: 585 2 10 2 V 

und n der Emissionskoe¢ zient, der für die ideale Diode n = 1 gesetzt wird. 

Beispiel 9 Stellt man die Schokeley-Gleichung nach der Diodenspannung Ud um, so erhält man 

Ud = ln Id 

+ 1 nUth 

Wie stark ändert sich die Diodenspannung, wenn sich der Diodenstrom verzehnfacht? 

Lösung: 

für Id 

Is 

1 erhält man 

4Ud = ln 

ln 

10 Id 

10 Id 

Mit n = 1 und Uth = 26 mV ergibt dies 

Is 

Is 

Is 

+ 1 nUth ln Id 

+ 1 nUth 

nUth ln Id 

Is 

Is 

nUth = nUth ln 10 

4Ud 1 0:026 ln 10 60 mV 

Da der Emissionskoe¢ zient n oft zwischen 1 und 2 liegt und zudem die Temperatur der Sperrschicht 

größer als Raumtemperatur und damit Uth > 26 mV ist, rechnet man näherungsweise oft 

mit 

6.1.2 Temperaturabhängigkeit 

4Ud 

100 mV 

Stromdekade : 

Die Temperaturabhängigkeit des Sättigungssromes ist in guter Näherung durch den Ausdruck 

Is(T ) = Is(T0) 

T 

T0 

X T I 

n 

Wg 

e 

T 1 

T0 n kB T 

gegeben. Dabei ist der dimensionslose Temperaturexponent typischerweise XT I = 3:5 , der 

Emissionskoe¢ zient der idealen Diode wieder n = 1; die Energielücke für Silizium Wg = 1:11 eV: 

Wird die Diode an einer Konstantstromquelle (Id = const) betrieben, so verschiebt sich der 

Spannungsabfall an der Diode mit der Temperatur wie folgt. Aus der Shockeley-Gleichung erhält 

man durch Umstellen nach Ud 

Ud = ln Id 

+ 1 nUth 

Is 

T


Setzt man in diese Gleichung die Temperaturabhängigkeit aller Parameter und dann die oben 

angegebenen Werte ein, so ergibt sich bei Raumtemperatur (T0 = 300 K und I0 = Is(T0)) mit 

den realistischen Stromwerten I0 = 10 15 A und Id = 10 3 A 

Ud = 8: 617 4 10 5 T ln 

0 

B 

@ 

10 15 

T 

300 

10 3 

3:5 e 

1:11 ( T 

300 1) 

8:617385 10 5 T 

1 

C 

+ 1A 

Die Änderung der Diodenspannung mit der Temperatur berechnet man durch Di¤erentiation 

aus 

0 

0 

11 

dUd 

dT T =300 

= d 

dT 

B 

@8: 617 4 10 5 B 

T ln @ 

= 1: 620 6 mV 

K 

10 15 

T 

300 

10 3 

3:5 e 

1:11 ( T 

300 1) 

8:617385 10 5 T 

CC 

+ 1AA 

T =300 

Mit zunehmender Temperatur wird der Spannungsabfall an der Diode kleiner und zwar um 

ca. 1:6 mV pro Grad K bei Raumtemperatur. Dies kann man so interpretieren, dass sich der 

Widerstand der Diode mit steigender Temperatur verringert. Dauelemente mit einem negativen 

Temperaturkoe¢ zienten bezeichnet man auch ”Heißleiter”oder auch als NTC-Widerstände 

(engl.: NTC = negative temperature coe¢ cient). In der folgenden Abbildung ist das temperaturabhängige 

Verhalten der Diode dargestellt. 

Zusammenstellung der Diodendaten für die oben gezeigte Kennlinie: n = 1, XT I = 3:5, Wg = 

1:11 eV, I0 = 10 15 A .


6.1.3 Arbeitspunkt einer Diode nach der Shockeleygleichung 

De…nition 10 Als Arbeitspunkt einer Diode bezeichnet man die statische 29 Spannung an den 

Klemmen einer Diode und den statischen Strom durch die Diode. Für die Strom und Spannungspfeile 

gelten die oben angegebenen Richtungen. Der Arbeitspunkt ist durch das statische 

Wertepaar (Id0; Ud0) festgelegt. 

Legt man die Schokeley-Gleichung zugrunde, so läßt sich die Diode in jedem Arbeitspunkt durch 

eine klemmenäquivalente Ersatzschaltung von einem Widerstand, nämlich dem Bahnwiderstand 

in Reihe mit einer konstanten Spannungsquelle darstellen. Man bezeichnet diese als die statische 

Ersatzschaltung der Diode im Arbeitspunkt. Hierzu ein Beispiel. 

Beispiel 11 Eine Diode mit den Parametern I0 = 10 15 , n = 1 und UT = 0:026 wird direkt an 

eine Spannungsquelle von 0:8 V in Flußrichtung angeschlossen. Berechnen Sie den Arbeitspunkt 

und die statische Ersatzschaltung der Diode im Arbeitspunkt. 

Lösung: Zunächst berechnet man den Strom 

Id = I0 e 

= 10 15 

Ud n UT 1 

e 0:8 

0:026 1 

= 2:306 3 10 2 A 

und erhält den Arbeitspunkt (Id0; Ud0) = (2:306 3 10 2 A; 0:8 V): 

Nun wird die Tangentengleichung 

Id = IT ang + gdUd 

im Arbeitspunkt berechnet. Die Steigung der Tangente im Arbeitspunkt ist gleich dem Leitwert 

gd der Diode. 

gd = dId 

= 

dUd Ud=Ud0 

d 

I0 

dUd 

= 

I0 

nUT 

= 10 15 

0:026 

= 0:89 S 

Ud0 nU e T 

|{z} 

Ud >> UT 

e 0:8 

0:026 

Id0 

nUT 

e 

Ud n UT 1 

Ud=Ud0 

Zahlenwerte eingesetzt ergibt 

Der Strom IT ang ist in jedem Punkt der Tangentengerade gleich also auch im Arbeitspunkt; 

damit gilt 

IT ang = Id0 gdUd0 

womit die Tangentengleichung in den Arbeitspunktswerten 

Id = Id0 + gd (Ud Ud0) 

29 Als ”statisch”bezeichnet man den unveränderlichen Teil des Stromes und der Spannung z.B. an einer Diode. 

Im allgemeinen wird damit der konstante, sich zeitlich nicht ändernde Anteil von Strom und Spannung bezeichnet.


ausgedrückt werden kann. 

Schließlich berechnet man aus der Tangentengleichung die Tangentenspannung bei Id = 0: 

Id = Id0 + gd (Ud Ud0) ! = 0 ; woraus 

Ud;st = Ud = Ud0 

Ud;st = Ud0 

Id0 

gd 

Id0 

gd 

= 0:8 

folgt. Zahlenwerte eingesetzt ergibt 

2:306 3 10 2 

0:89 

= 0:77 V 

Mit gd = 0:89 S und Ud;st = 0:77 V ist die statische Ersatzschaltung der Diode im Arbeitspunkt 

vollständig bestimmt und in der folgenden Abbildung dargestellt. 

Wird eine Diode in eine Schaltung eingebaut, so ergibt sich in der Regel bereits für einfachsten 

Schaltungen ein nichtlineares Gleichungssystem, das im allgemeinen nur nummerisch gelöst 

werden kann. So führt die folgende Schaltung 

auf die Gleichung 

I = R (Ue Ua) : 

Ersetzt man den Strom durch den Strom aus der Shockeleygleichung, so ergibt sich die nichtlineare 

Gleichung 

(Ue Ua) 

R 

= I0 

e Ua 

n U T 1 ; 

die normalerweise nummerisch gelöst 30 und daraus der Arbeitspunkt bestimmt wird. Dies ist 

mit heutigen PCs kein Problem, da eine Reihe von Softwareprogrammen 31 zur Schaltungsberechnung 

angeboten werden. Die Hersteller dieser Programme stellen z.T. recht gute kostenlose 

Programme für Ausbildungszwecke und zur Evaluation zur Verfügung. Berechnet man aus obiger 

Gleichung die Ausgangsspannung aus der Eingangsspannung, so erhält man mit den Werten 

I0 = 10 15 , UT = 0:026 , n = 1 und R = 2000 folgenden Verlauf. 

30 

In diesem speziellen Fall ist eine analytische Lösung mittels der LambertW-Funktion möglich, die aber hier 

nicht weiter verfolgt wird. 

31 

Z.B. durch Schaltungssimulationsprogramme wie PSPICE, ICAP, MICROSIM, WINSPICE, SPICEOPUS , 

APLAC um nur einige zu nennen.


Bei einer genügend hohen Spannung, stellt sich ein Spannungsabfall von etwa 0.7V 32 an der 

Diode ein. 

Der Arbeitspunkt kann bei einfachen Schaltungen sehr anschaulich auch graphisch ermittelt 

werden. Dies zeigt die folgende Abbildung. 

32 Mit weiter ansteigender Eingangsspannung nimmt dieser Spannungsabfall weiter zu. Er strebt nicht gegen 

einen Grenzwert!


Die in der Abbildung dargestellten Kurven wurden für obige Schaltung mit folgenden Werten 

berechnet: I0 = 10 15 , UT = 0:026 , n = 1 und R = 2000 . Aus der grahpischen Darstellung 

ergibt sich der Arbeitspunkt 

und daraus der Leitwert im Arbeitspunkt 

(Id0; Ud0) = (0:00114 A, 0:722 V) 

gd = Id0 

nUT 

= 0:0438 S 

und die statische Spannung im Arbeitspunkt, nämlich Ud;st , 

Ud;st = Ud0 

Id0 

gd 

= 0:696 V 

Damit ist die lineare Ersatzschaltung der Diode im Arbeitspunkt festgelegt. Wie die Abbildung 

zeigt, ist die Tangentengerage an den Arbeitspunkt eine sehr gute Näherung. 

6.1.4 Kleinsignalersatzschaltung 

In vorhergehenden Abschnitt wurde gezeigt, dass die Tangente im Arbeitspunkt eine gute Näherung 

für die Diodenkennlinie im Arbeitspunkt ist. Ersetzt man im Arbeitspunkt die Shokeleygleichung 

durch Gleichung der Tangentengerade, also 

Id = I0 e 

Ud n UT 1 durch 

Id = Id0 + gd (Ud Ud0) ; 

so ist der Fehler um so kleiner besser die näher Id bei Id0 und Ud an Ud0 liegen. In einer 

gewissen Umgebung zum Arbeitspunkt ist es also legitim mit der linearen Geradengleichung zu 

rechnen und die Diode durch die statische Ersatzschaltung zu ersetzen. So gilt beispielsweise im 

Arbeitspunkt folgender Diodenschaltung 

die lineare Schaltung


wobei gd und Ud;stat - wie oben gezeigt - aus den Arbeitspunktswerten berechnet werden. 

Baut man in diese lineare Schaltung eine oder mehrere Quellen ein, deren Amplituden so klein 

sind, dass durch ihre Anwesenheit die Geradengleichung weiterhin eine gute Näherung ist, so 

kann man die Spannungs- und Strombeiträge dieser Zusatzquellen aus der linearen Schaltung 

berechnen. Die Zusatzquellen nennt man auch ”Kleinsignalquellen”. Fügt man obiger Schaltung 

zwei Kleinsignalquellen, nämlich Uk und Ik hinzu 33 , so entsteht folgende Schaltung. 

Nach dem Superpositionsprinzip für lineare Schaltungen lassen sich die Beiträge der einzelnen 

Spannungsquellen separat berechnen. Es ist demnach erlaubt diese Schaltung in zwei Schaltungen 

zu zerlegen, nämlich eine Schaltung, die alle Quellen enthält, die den Arbeitspunkt festlegen 

- also die ursprüngliche Schaltung im Arbeitspunkt und die folgende Schaltung, die nur noch die 

Kleinsignalquellen Uk und Ik enthält; man nennt diese auch ”Kleinsignalersatzschaltung”. Sie 

ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 

In der Kleinsignalersatzschaltung wird die Diode durch den ohmschen Widerstand rd = 1 

gd 

ersetzt. 

Die Kleinsignalersatzschaltung ist immer eine lineare Schaltung und kann mit den zu Beginn 

dieser Vorlesung dargestellten Berechnungsmethoden berechnet werden. 

6.1.5 Frequenzabhängiges Kleinsignalersatzschaltbild der Diode 

Das bisher besprochene Kleinsignalersatzschaltbid berücksichtigt keinerlei Frequenzabhängigkeiten. 

Literatur hierzu …ndet man z.B. in [?, Kapitel 5.3] 

33 Beim Hinzufügen von Kleinsignalquellen ist darauf zu achten, dass nach dem Abschalten der Quellen die 

ursprüngliche Arbeitspunktsschaltung entsteht.


Die Frequenzabhängigkeit der Diode wird in guter Näherung durch zwei Kapazitäten bestimmt, 

nämlich der 

Sperrschichtkapazität 

Cj = 

1 

Cj0 

U d 

U diff 

2 Cj0 

M 

für Ud < 0 

für Ud > 0 

wobei Udiff die Di¤usionsspannung (ca. 0:7 V bis 1 V), M der Gradationsexponent (ca. 1 

3 

und 1 

2 ) und Cj0 aus der Kapazitätskennlinie bestimmt wird. Polt man die Diode in Sperrrichtung, 

so wird die Sperrschicht mit der angelegten Sperrspennung grösser und damit 

die Kapazität kleiner, einen Sachverhalt den obige Gleichung beschreibt. Dieses Verhalten 

wird bei Kapazitätsdioden ausgenutzt. In der folgenden Abbildung ist der typische Verlauf 

der Sperrschichtkapazität über der Sperrspannung Ud dargestellt. Der Kurve liegen 

folgende Parameter zugrunde: M = 0:5, Vdiff = 0:8 und Cj0 = 10 pF. 

Polt man die Diode in Flussrichtung, so wird die Sperrschichtkapazität näherungsweise 

durch 2Cj0 ersetzt. 

und der Di¤usionskapazität 

Cd = 

Id0 

T 

UT 

wobei T die Transitzeit der Ladungsträger durch die Sperrschicht, UT die Temperaturspannung 

und Id0 der Strom im Arbeitspunkt der Diode ist.


Beide Diodenkapazitäten müssen bei steigenden Frequenzen im Kleinsignalersatzschaltbild der 

Diode gemäßder folgenden Abbildung berücksichtigt werden. 

6.1.6 einfache Diodenmodelle 

Zur groben Abschätzung des Verhaltens einer Diodenschaltung genügt es in vielen Fällen einfachere 

Diodenmodelle zu verwenden. Zwei Modelle bieten sich an. 

Oft genügt bereits das einfache Schaltermodell, um die Funktion einer Schaltung zu verstehen. 

6.1.7 Schaltungen mit Dioden (Schaltermodell) 

Um die Berechnung einfach und übersichtlich zu gestalten, wird in diesem Abschnitt immer das 

Schaltermodell der Diode angewandt. 

Wird eine Diode in eine sonst lineare Schaltung eingebaut, so ergeben sich zwei Betriebszustände 

der Diode. Besteht die Schaltung aus mehreren Dioden, so nimmt jede Diode einen von zwei 

möglichen Schaltzuständen an. Daraus ergeben sich insgesamt 2 N verschiedene Schaltungen, 

wovon sich nur eine einzige tatsächlich einstellt. Im folgenden wird ein Verfahren angegeben, 

das es ermöglicht die tatsächlich angenommene Schaltung zu ermitteln. Das Verfahren wird 

zunächst anhand eines Beispiels erläutert und dann verallgemeinert. 

Beispiel 12 Gegeben ist folgende Schaltung mit zwei Dioden.


Bestimmen Sie den Betriebszustand beider Dioden und berechnen Sie die Spannungen an allen 

Knoten der Schaltung. 

Lösung: 

erste Annahme: Beide Dioden leiten. 

Um diese Annahme zu bestätigen müssen die Ströme durch die Dioden bestimmt werden, wozu 

die folgende Schaltung dient. 

Zunächst werden alle Knotenspannungen bestimmt. Sie sind alle gleich. 

u1 = u2 = u3 = 

= 

1 20 

1+20 

1 20 

1+20 

= 6:1395 V 

+ 1 10 

1+10 

(1k q 20k) 

(1k q 20k) + (1k q 10k) 12 34 ) 

Daraus erhält man die Diodenströme. Für Id1 ergibt sich 

12 

Id1 = I1 (Id2 + I3) 

= 12 6:1395 

10 103 6:1395 

952:38 

= 5: 860 4 10 3 A 

Da Id1 < 0 ist, die Diode D1 aber als leitend angenommen wurde ergibt sich ein Widerspruch 

aus dem folgt, dass die Annahme falsch ist. Die Rechnung ist nun mit einer neuen Annahme zu 

wiederholen. 

zweite Annahme: D1 ist nicht leitend, D2 ist leitend. 

Damit ergibt sich folgende Schaltung.


Es ist zu zeigen, dass Ud1 < 0 und Id2 > 0 ist. Für Ud1 ergibt sich 

und für Id2 

Ud1 = u1 u2 

1 20 

= 

1+20 

1 20 

1+20 

1 20 

1+20 

+ 10 

| {z 

12 

} 

1 20 2 10 

1+20 + 2+10 

| {z 

12 

} 

u1=1: 043 5 V u2=4: 363 6 V 

= 3:3202 V < 0 V o.k. 

Id2 = I1 I3 

= 12 1: 043 5 

10 103 1: 043 5 

20 103 = 1:043 5 10 3 > 0 A o.k. 

Die Annahme wird durch die berechneten Spannungen und Ströme beider Dioden bestätigt. Demnach 

gilt die zweite Annahme. 

Aus dem Beispiel ergibt sich das folgende allgemeine Vorgehen bei der Berechnung von Diodenschaltungen. 

1. Zuerst wird eine Annahme über die Betriebszustände aller Dioden in der Schaltung gemacht. 

2. Aus dieser Annahme ergibt sich eine entsprechende Schaltung. 

3. In diese annahmengemäßen Schaltung werden die Diodenströme aller leitenden Dioden 

und die Diodenspannungen aller nicht leitenden Dioden berechnet. 

4. Wenn alle Diodenströme der leitenden Dioden positiv und alle Diodenspannungen der 

nicht leitenden Dioden negativ sind, dann ist die Annahme richtig und die Berechnung ist 

beendet. 

5. Wenn auch nur ein Diodenstrom der leitenden Dioden negativ oder eine Diodenspannung 

der nicht leitenden Dioden positiv ist, so ist die Annahme falsch und muss durch eine neue 

Annahme ersetzt werden, d.h. diegleiche Prozedur muss nochmals durchlaufen werden. 

6.2 bipolare Transistoren (BJT) 

Wie in der folgenden Abbildung dargestellt, besteht der bipolare npn-Transistor aus drei Zonen 

unterschiedlich dotierten Halbleitermaterials.


Im Normalbetrieb ist die Basis-Emitterdiode leitend und die Basis-Kollektordiode nicht leitend, 

d.h. die Basis-Emitterspannung beträgt etwa 0.7 V und die Kollektorspannung ist größer als 

die Basisspannung. Unter diesen Bedingungen ‡iesst ein Löcherstrom von der Basis (p-dotiertes 

Si) in den n-dotierten Emitter und umgekehrt ein Elektronenstrom vom Emitter zur Basis. 

Durch die relativ dünne Basiszone wird durch das hohe Kollektorpotential ein Feld erzeugt, das 

den Elektronenstrom verstärkt zum Kollektor ableitet, ein E¤ekt der den Transistor für viele 

Anwendungen interessant macht. Verbreitert man die Basiszone, so rekombinieren immer mehr 

Elektronen mit den dort vorhandenen Löchern und der Strom‡uss zum Kollektor nimmt ab 

und kommt schließlich zum erliegen. Auf die Physik des bipolaren Transistors wird in dieser 

Vorlesung nicht weiter eingegangen. Weitere Einzelheiten …ndet man z.B. in [?, Kapitel 7] oder 

in der Vorlesung Werksto¤e und Bauelemente. 

6.2.1 Das Transportmodell des bipolaren Transistors 

Um Schaltungen mit Transistoren berechen zu können, muss deren elektrisches Klemmenverhalten, 

d.h. die Ströme und Spannungen an den drei Klemmen (C,B,E) des Transistors in Form 

eine Ersatzschaltbildes durch elementare Schaltungselemente beschrieben werden. Heute benutzt 

man dazu häu…g 35 das ”Transportmodell”. Es ist in seiner einfachsten Form in der folgenden 

Abbildung dargestellt. 

35 praktisch alle Schaltungssimulatoren gehen von diesem Modell aus


Das Transportmodell stellt die physikalischen Verhältnisse in der Sperrschicht eines Transistors 

mittels elementarer Schaltungselemente dar. Es geht aus dem historisch früheren aber komplizierteren 

Ebers-Moll Modell hervor. In [?, Kapitel 2.3] …ndet man einiges zu beiden Modellen. 

In [?, Kapitel 7.1.3] wird das Transportmodell näher erläutert. 

Im folgenden werden die Strom-Spannungsverhältnisse an einem bipolaren Transistor anhand 

des Transportmodells abgeleitet. Zunächst stellen wir die notwendigen Gleichungen zusammen. 

Für die Dioden gilt 

und der Transportstrom ist durch 

Ibc = I0 

r 

Ibe = I0 

f 

e + U bc 

n U th 1 und (Glg.1) 

e + U be 

n U th 1 (Glg.2) 

It = f Ibe r Ibc (Glg.3) 

gegeben. f und r sind die Stromvertärkungen in aktiven Bertrieb (auch Normal- oder Vorwärtsbetrieb 

(f = forward)) und im Inversbetrieb (auch Rückwärtsbetrieb (r = revers)). f ist 

praktisch identisch mit der in den Datenblättern angegebenen Gleichstromverstärkung, die oft 

mit B oder auch mit DC bezeichnet wird. 

Für die von außen meßbaren Ströme gilt 

Die Spannungen an den Dioden lassen sich durch 

ausdrücken. 

IB = Ibe + Ibc (Basisstrom) (Glg.4) 

IC = It Ibc (Kollektorstrom) (Glg.5) 

IE = IB + IC (Emitterstrom) (Glg.6) 

Ubc = UB UC und (Glg.7) 

Ube = UB (Glg.8) 

Es gilt nun aus den Arbeitspunktsspannungen die von außen meßbaren Ströme zu bestimmen 

und mit dem Experiment zu vergleichen, um so das Modell zu testen. Setzen wir Glg.1 und 2


in Glg.4 ein und ersetzen mittels Glg.7 und 8 die inneren Spannungen durch die Arbeitspunktsspannungen, 

so ergibt sich der Basisstrom 

IB = I0 

f 

e + U B 

n U th 1 + I0 

umgestellt nach der Basisspannung ergibt dies 

0 

UB = 

B 

@ln IB f r + rI0 + f I0 C 

A nUth + UC 

UC nU 

I0 th re + f 

r 

e + U B U C 

n U th 1 (Glg.9) 

1 

(Glg.10) 

Damit sind wir in der Lage bei gegebener Basisspannung den Basisstrom und umgekehrt zu 

berechnen. Die Umstellung nach der Basisspannung wird sich später als nützlich erweisen. 

Den Kollektorstrom erhält man, indem Glg.1 und 3 in Glg.5 eingesetzt und wieder Ubc durch 

Glg.7 ersetzt wird. Es ergibt sich 

IC = I0 e + U B 

n U th 1 I0 e + U B U C 

n U th 1 

= I0 e + U B 

n U th 1 e 

UC n Uth 1 + 1 

r 

+ I0 

r 

I0 

r 

e + U B U C 

n U th 1 

(Glg.11) 

Diese Gleichung beschreibt die Abhängigkeit des Kollektorstromes von der Basisspannung und 

damit das Ausgangskennlinienfeld des Transistors. Im Ausgangskennlinienfeld des Transistors 

wird oft IC als Funktion von IB und nicht von UB dargestellt. Hierzu ist der Ausdruck für UB 

aus Glg.10 in Glg.11 einzusetzen. Um dies zu tun, berechnen wir zunächst 

= e 

0 

e + UB n Uth = e 

UC nUth so dass sich schließlich der Ausdruck 36 ) 

IC = IB f r + I0 r + f 

r + f e 

U C 

nU th 

B 

Bln 

B 

@ 

IB f r + rI0 + f I 0 

0 

B 

I0@ re C 

1 

C 

U 

CnU 

C 

C th +UC nUth C C 

+ f A A 

nU th 

1 

IB f r + rI0 + f I0 

UC nU 

I0 th re + f 

1 e 

UC n Uth 1 + 1 

r 

+ I0 

r 

(Glg.12) 

für IC als Funktion von IB ergibt. Glg.12 beschreibt das Ausgangskennlinienfeld des bipolaren 

Transistors und liefert die entsprechenden Kennlinien IC(UC) jIB=const : Diese werden nun weiter 

untersucht und in den folgenden Diagrammen dargestellt. Hierzu benötigen wir konkrete Werte, 

z.B die des bipolaren Transistor BC547B (s.a. [?, Tabelle 2.3, Seite 84]) 

I0 = 7 10 15 ; f = 375; r = 1; Uth = 0:026; n = 1:58:; Ua = 20V 

36 Man kann leicht zeigen, dass dieser Ausdruck 0 wird, wenn IB und UC gleich 0 werden. Dies mußso sein, 

da in diesem Fall kein Strom ‡ießen darf.


Kollektorstrom in A 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

BJT Ausgangskennlinienfeld mit EarlyKorrektur 

0 

0 0.5 1 1.5 2 

Kollektorspannung in V 

I_B=0.5mA 

I_B=0.4mA 

I_B=0.3mA 

I_B=0.2mA 

I_B=0.1mA 

In diesem Kennlinienfeld wurde die Earlyspannung durch folgende Gleichung berücksichtigt. 

I Early 

C = IC 1 + UC 

UA 

Im Inversbetrieb erhält man mit dengleichen Transtordaten folgendes Kennlinienfeld. 

Kollektorstrom in A 

0.0005 

0.0005 

0.001 

0.0015 

0.002 

0 

BJT Inversbetrieb mit EarlyKorrektur 

6.2.2 Die vier Betriebszustände des BJT 

I_B=0.1mA 

I_B=0.2mA 

I_B=0.3mA 

I_B=0.4mA 

I_B=0.5mA 

2 1.5 1 0.5 0 

Kollektorspannung in V 

(Glg.13) 

Der bipolare Transistor wird durch zwei Dioden und einer gesteuerten Stromquelle beschrieben. 

Verwendet man das 0.7V-Diodenmodell, so unterscheidet man vier Betriebszustände, die durch 

die Polung der beiden Dioden festgelegt sind.


aktiver Betrieb oder normaler Betrieb Polung der Dioden: BE-Diode in Flußrichtung, 

BC-Diode in Sperrichtung 

Das Ersatzschaltbild im aktiven Betriebstand ergibt sich direkt aus dem Transportmodell mit 

nicht leitender Kollektordiode. 

Für diesen Betriebszustand liefern die Transportgleichungen mit Ibc 0 und = f 37 ) 

IB ' I0 e 

IC = IB 

IE = IB + IC 

IC = 

Ube nUT gilt für Ube UT 

= (1 + ) IB 

= 1 + 1 

IC = + 1 IC und daraus 

+ 1 

| {z } 

IE = IE 

wird als Stromverstärkung des Transistors bezeichnet und liegt transistorabhängig zwischen 

50 und 500. 

Nimmt man näherungsweise für die Dioden das 0.7V Modell an, so ergeben sich folgende Spannungsbereiche 

für den aktiven Betriebszustand. 

UBE = 0:7 V , leitend 

UBC < 0:7 V , gesperrt 

Daraus folgt, dass die Kollektor-Emitterspannung 

UCE > 0 V (folgt aus dem 0.7V Modell) 

sein muss. Aus dem Ausgangskennlinienfeld des BJT erkennt man leicht, dass zwischen 0 V < 

UCE < 0:2 V keine Proportionalität zwischen dem Basisstrom und dem Kollektorstrom besteht. 

Der Grund dafür ist das unzureichende 0.7V Modell in diesem Spannungsbereich, da bereits 

ab UBC > 0:5 V ein nennenswerter Strom durch die Basis-Kollektordiode ‡ießt. Wird dieser 

berücksichtigt, erhält man die für praktische Zwecke nützliche Bedingung für die Kollektor- 

Emitterspannung im aktiven Betriebszustand 

UCE > 0:2 V (praktischer Spannungswert) 

Das 0.7V-Modell des Transistors läßt sich zur folgenden Ersatzschaltung zusammenfassen. 

37 Eine Verwechslung von r mit f kann im aktiven Betriebszustand ausgeschlosssen werden.


Wird der Transistor im aktiven Zustand durch das oben rechts angegebene Ersatzschaltbild 

ersetzt, so erhält man eine lineare Schaltung, die z.B. nach dem Knotenspannungsverfahren 

berechnet werden kann. Für eine einfache Überschlagsrechnung zur Bestimmung des Arbeitspunktes 

ist das 0.7V Modell oft ausreichend, präzisere Modelle erforden in der Regel nichtlineare 

Rechnungen, die praktisch nur mit Rechnern bewältigt werden können. 

Wichtig!! Nach dem die Schaltung berechnet wurde, muss nachgeprüft werden, ob alle Bedingungen 

für den aktiven Betriebszustand erfüllt sind. In der Regel genügt es zu zeigen, dass 

UCE > 0:2 V gilt. 

Sperrbetrieb Polung der Dioden: BE-Diode in Sperrrichtung, BC-Diode in Sperrrichtung 

Da beide Dioden in Sperrrichtung gepolt sind, ‡ießt kein Basisstrom. Den Zustand für den gilt 

IB = 0 

Bezeichnet man als Sperrzustand des BJT. Für diesen Zustand erhält man nach dem 0.7V Modell 

folgende Spannungsbereiche. 

UBE < 0:7 V & UBC < 0:7 V 

Da kein Basisstrom ‡ießt, ist nach dem Transportmodell auch der Kollektorstrom Null, so dass 

die Ersatzschaltung durch drei - nämlich C,B und E - voneinander isolierte Anschlüsse darzustellen 

ist. 

Sättigungsbetrieb Polung der Dioden: BE-Diode in Flussrichtung, BC-Diode in Flussrichtung 

Nach dem 0.7V Diodenmodell leiten beide Dioden, wenn UBE = 0:7V und UCE < 0V sind. 

Da aber bereits ab UBC > 0:5V die Basis Kollektordiode einen nennenswerten Strom führt, 

ergeben sich bereits ab diesem Wert Veränderungen im Kennlinienverhalten, so dass der Sättigungsbereich 

bereits ab etwa UCE < 0:2V beginnt. dies führt auf folgendes Ersatzschaltbild 

im Sättigungsbereich. Die Kollektor-Emitterspannung im Sättigungsbereich nennt man auch 

UCE;sat.


inverser Betrieb Polung der Dioden: BE-Diode in Sperrrichtung, BC-Diode in Flussrichtung 

Vertauscht man im aktiven Betrieb eines Transistors den Kollektor mit dem Emitteranschluss, so 

be…ndet sich der Transistor im inversen Betriebszustand. Der Kollektor übernimmt die Funktion 

des Emitters und umgekehrt. Der inverse Betrieb ist ein äußerst seltener Betriebszustand und 

wird normalerweise vermieden. Im aktiven Betriebszustand wird die Stromverstärkung durch 

r ersetzt. Die Ersatzschaltung im inversen Betrieb ist im foldgenden dargestellt. 

Zusammenstellung der Betriebsbereiche Im folgenden Diagramm sind alle Betribsbereiche 

dargestellt.


Berechnung des Betriebszustandes Wie bei der Diode, wird zunächst eine Annahme gemacht 

und dann die Schaltung gemäßdieser Annahme durchgerechnet. Ergibt sich ein Widerspruch 

zur Annahme, so muss sie verworfen und eine neue Annahme gemacht werden. Letztlich 

liefert die Schaltung den korrekten Arbeitspunkt, die konsistent mit der Annahme ist. 

6.2.3 Kleinsignalersatzschaltbild (aktiver Betrieb) 

Wie weiter oben bereits dargestellt, folgt das Ersatzschaltbild für den aktiven Betrieb direkt aus 

dem Transportmodell des BJT und ist in der folgenden Abbildung nocheinmal dargestellt. 

Wie im Beispiel 11 auf Seite 97 gezeigt, kann die Diode im Arbeitspunkt durch eine Reihenschaltung 

aus ohmschem Widerstand (rd) und einer Konstantspannungsquelle (Ud;stat) - also


durch eine lineare Schaltung - ersetzt werden, was im Arbeitspunkt der Basis-Kollektordiode zu 

folgender Ersatzschaltung führt. 

In dieser Schaltung sind Ib und Ic die jeweiligen Gesamtströme, die sich aus den Beiträgen jeder 

einzelnen Quelle in der Schaltung zusammensetzen. Fasst man die Beiträge aller Arbeitspunktsquellen 

zu den Strömen Ib0 und Ic0 und die Beiträge der Kleinsignalquellen zu den Strömen Ibk 

und Ick zusammen, so ergibt sich 

Ib = Ib0 + Ibk und 

Ic = Ic0 + Ick 

Es ist nun sinnvoll die Arbeitspunktströme und -spannungen in separaten Schaltungen zu berechnen, 

wobei die Arbeitspunktsschaltung ausschließlich die Arbeitspunktsquellen und die Kleinsignalersatzschaltung 

ausschließlich die Kleinsignalquellen enthält. Der Transistor reduziert 

sich dadurch in dieser Kleinsignalersatzschaltung auf folgende Schaltung. Man nennt sie auch 

die Kleinsignalersatzschaltung des BJT. 

- Kleinsignalersatzschaltbild 

Es ist üblich den Widerstand rd mit r zu bezeichnen. Den durch die Kleinsignalquellen hervorgerufenen 

Spannungsabfall bezeichent man mit u . Wenn Verwechslungen mit Arbeitspunktsgrößen 

ausgeschlossen sind, so müssen die Kleinsignalströme und -spannungen nicht besonders 

markiert - z.B. durch einen Index - werden. 

Im folgenden werden einige wichtige Zusammenhänge zwischen den Kleinsignalgrößen abgeleitet. 

Von der Diode her ist bereits 

r = nUT 

Ib0 

r = 

nUT 

Ic0 

; woraus 

bekannt, wobei Ib0 und Ic0 die jeweiligen Arbeitspunktströme bezeichnen. Zur Vereinfachung 

der Schreibweise, werden die Kleinsignalwerte mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Weiterhin 

folgt


folgt 

u = r ib und 

ic = ib woraus sich 

ic = r 

u = gm u 

ergibt. gm wird als Kleinsignaltranskonduktanz bezeichnet und ist eine wichtige Kenngröße des 

Transistors, die auch im Datenblatt angegeben wird. 

Neben dem Kleinsignalersatzschaltbild, kennt man noch das T-Kleinsignalersatzschaltbild. 

Es folgt aus folgender Überlegung. Der Kleinsignalemitterstrom ist durch 

ie = ic + ib gegeben. Daraus folgt 

= ( + 1) ib 

= 

= u 

1 

r 

+1 

re 

u 

, wobei re = r 

+ 1 ist. 

Die zeigt, dass der Widerstand re , in den Emitterzweig des Transistors gelegt, diegleiche Wirkung 

hat, wie r im Basiszweig. Daraus ergibt sich die T-Ersatzschaltung 

T - Kleinsignalersatzschaltung 

Beide Ersatzschaltungen sind gleichwertig und können ausgetauscht werden, ohne dass sich die 

Gesamtschaltung ändert. Bei Handrechnungen ist manchmal die eine, manchmal die andere 

vorteilhafter. 

6.2.4 Beispiel 

Es folgt ein Beispiele zur Bestimmung des Arbeitspunktes und zur Kleinsignalersatzschaltung 

des BJT.Weitere Beispiele …ndet man in den Übungen und früheren Klausuren. 

Beispiel 13 1. Beispiel 14 Folgende Schaltung ist gegeben (Emitterschaltung).


1) Berechnen Sie den Arbeitspunktstrom IC obiger Schaltung ( = 100) und daraus die 

Kleinsignalparameter gm; r und re: 

2)Skizzieren Sie das Kleinsignalersatzschaltbild der obigen Transistorschaltung 

Lösung:Schaltung zur Berechnung des Arbeitspunktstromes IC (Arbeitspunktschaltung) 

1) Annahme: aktiver Betrieb. Berechnung des Arbeitspunktstrom IC aus (0.7V Modell des 

Transistors) 

IB = 

IC = 

2 0:7 

50000 + 50000 

2 0:7 

50000 + 50000 

= IC 

100 

100 = 1:3mA 

:Damit wird 

Es ist zeigen, das die Annahme gerechtfertigt war. Dazu ist UCE zu berechnen. 

UCE = 12 250 0:0013 

Daraus berechnet man die Kleinsignalparameter 

= 11: 675 > 0:2V =) Annahme o.k. 

gm = IC 

Uth 

r = gm 

re = 

= 1:3 10 3 

= 0:05 

26 10 3 

= 100 

= 2000:0 

0:05 

r 2000:0 

= = 19: 8 

+ 1 101 

2) Aus der Schaltung ergibt sich das folgende Kleinsignalersatzschaltbild mit Modell des 

Transistors. Dabei wurde bereits davon ausgegangen, dass die beiden Koppelkondensatoren 

einen genügend kleinen Wechselstromwiderstand haben, so dass sie durch Kurzschlüsse 

ersetzt werden können.


Berechnung der Ausgangsspannung und der Übertragungsfunktion: 

u ergibt sich aus 

Daraus folgt die Ausgangsspannung 

ua = 

= 

u = 

= 

r 

50000 + r ue 

2000 

50000 + 2000 ue 

= 3:85 10 2 ue 

250 2000 

250 + 2000 gm u 

250 2000 

250 + 2000 0:05 3:85 10 2 ue 

= 0:43 ue 

und daraus die Übertragungsfunktion 

H = ua 

ue 

= 0:43


A Laplace-Tabellen 

Auf den folgenden beiden Seiten sind einige Transformationseigenschaften der Laplace-Transformation, 

sowie einige Zeitfunktionen mit den zugehörigen Laplace-Entsprechungen zusammengestellt. 

Sind sind dem Buch von Rade und Westergren [LR96, Kapitel 13.5]


B Datenblätter 

Wo …ndet man Datenblätter? Hierauf gibt es eigentlich nur eine vernünftige und brandaktuelle 

Antwort: im Internet!! Eine der besten Adressen für alle Halbleiterbauteile ist www.icmaster.com 

. Diese Seite ist englischsprachig und hat den (kleinen) Nachteil, dass man sich - allerdings kostenlos! 

- registrieren muss. In vielen Fällen kann man über dieses Portal direkt Dateninformationen 

herunterladen. Sollte dies einmal nicht möglich sein, so …ndet man dort auf jeden Fall die 

Internetseite des Herstellers auf denen gewünschten Informationen abrufbar sind.


B.1 Datenblattinformationen im Internet 

Datenblätter der gängigen Bauelemente …ndet man bei den Distributoren, z.B. bei Conrad 

(http://www.conrad.de) oder bei Farnell (. http://www.farnell.com). Speziellere Bauelemente 

und aktuellere Informationen sucht man besser direkt bei den Herstellern. 

Es folgt eine Liste einiger weniger Halbleiterhersteller für diejenigen, die sich nicht registrieren 

lassen wollen. 

Burr Brown (BB) und Texas Instruments (TI): http://www.ti.com 

BB wurde vor einigen Jahren von Texas Instruments übernommen und hat keine eigene Homepage 

mehr. 

Auf dieser Seite gibt man die Bezeichnung des Bauteils ein und erhält weitere Informationen 

über Datenblätter (Datasheets), Anwenderinformationen (Application Notes), Obsolete Liste 38 

Auf den folgenden Seiten verfährt man ähnlich. 

Analog Devices (AD): http://www.analogdevices.com 

Maxim (MAX): http://www.maxim-ic.com 

Fairchild Semiconductors: http://www.fairchildsemi.com 

Philips Semiconductors: http//www.semiconductors.philips.com 

Linear Technology Corporation: http://www.linear-tech.com 

Vishay Intertechnology: http://www.vishay.com (Telefunken, Siliconix etc.) 

STMicroelectronics: http://www.st.com 

In…neon Technologies Corporation: www.in…neon.com (Siemens Microelectronics) 

B.2 Operationsverstärker 

In diesem Abschnitt sind die Internetadressen der im Text des Skripts angegebenen Bauelemente 

aufgelistet. Sie verweisen i.d.R auf ein PDF-File des Datenblattes. 

OPA277: Universalverstärker, http://www-s.ti.com/sc/ds/opa277.pdf 

OPA340: Rail to Rail Verstärker, http://www-s.ti.com/sc/ds/opa340.pdf 

OPA640: Breitbandverstärker, http://www-s.ti.com/sc/ds/opa640.pdf 

INA105: Di¤erenzverstärker, http://www-s.ti.com/sc/ds/ina105.pdf 

INA101: Instrumentenverstärker, http://www-s.ti.com/sc/ds/ina101.pdf 

38 elektronische Bauteile sind vergänglich und werden heute in immer kürzeren Zeitspannen durch neue ersetzt. 

In Obsolete-Listen tragen die Hersteller Bauelemente ein, die nicht mehr für Neuentwicklungen empfohlen 

werden. Populäre Bauelemente werden - obwohl in Obsolete-Listen eingetragen - häu…g vom gleichen oder auch 

anderen Herstellern als ”second source” weiterproduziert.


Literatur 

[Föl00] Föllinger, Otto: Laplace-, Fourier- und z-Transformation, 7., überarbeitete Au‡age. 

Hüthig Verlag Heidelberg, 2000. ISBN 3-7785-2706-1. 

[LR96] Lennart Rade, Bertil Westergren: Springers Mathematische Formeln, Taschenbuch 

für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschaftswissenschaftler. Springer Verlag, 

Berlin, Heidelberg, New York, 1996. ISBN 3-540-60476-6. 

[Pap97] Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, 

8.Au‡age. Vieweg Verlag, Fachbücher der Technik, 1997. ISBN 3-528-74237-2. 

[Rei97] Reich, Michael: Elektronische Bauelemente, Funktion, Grundschaltungen, Modellierung 

mit SPICE. Springer Verlag, Heidelberg, 1997. ISBN 3-540-60991-1. 

[UM97] Uwe Meier, Wolfgang Nerreter: Analoge Schaltungen, Entwurf, Berechnung und 

Simulation. Hanser Verlag München, 1997. ISBN 3-446-18882-7. 

[UT99] Ulrich Tietze, Christoph Schenk: Halbleiterschaltungstechnik, 11. Au‡age. Springer 

Verlag Heidelberg, 1999. ISBN 3-540-64192-0.

vorläufiges Skript zur Vorlesung ES1 - Elektrotechnik

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