1. Übung zu „Nonlinear Optimization: Advanced“ (WS 2012/13) - M1

Technische Universität MünchenZentrum Mathematik, M1Prof. Dr. Boris VexlerDr. Ira Neitzel1. Übung zu „Nonlinear Optimization: Advanced“ (WS 2012/13)Diese - und ggf. weitere - Aufgaben werden in der Woche vom 05.11.2012 bis09.11.2012 in der Übung besprochenAufgabe 1.1:Eigenschaften von Niveaumengena) Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion f : R n → R mit lim ‖x‖→∞ f(x) = ∞ und beliebigesw ∈ R n die Niveaumenge N (f, f(w)) kompakt ist.b) Zeigen Sie: Für konvexe Funktionen f : R n → R sind die Niveaumengen konvex. Gilt auchdie Umkehrung?Aufgabe 1.2: Optimalitätsbedingungen für konvexe ProblemeGegeben sei die konvexe Optimierungsaufgabemin f(x)x∈Xmit einer nichtleeren konvexen Menge X ⊂ R n und konvexer Funktion f : X → R.(P konvex)Beweisen Sie: Sei f differenzierbar auf einer offenen Umgebung D der konvexen Menge X, sowie¯x ∈ X. Dann ist ¯x genau dann Lösung der konvexen Optimierungsaufgabe (P konvex ), wenn diefolgende Variationsungleichung erfüllt ist:∇f(¯x) T (x − ¯x) ≥ 0 ∀x ∈ X. (1)Bemerkung: Die Variationsungleichung (1) ist ein Spezialfall der in Satz 16.3 formulierten notwendigen Bedingung∇f(¯x) T d ≥ 0∀d ∈ T (X, ¯x)für den Fall, dass die Menge X konvex ist. Man kann dann nämlich zeigen, dassT (X, ¯x) = cl{α(x − ¯x) : x ∈ X, α ≥ 0}ist. Im Falle konvexer Optimierungsaufgaben (d.h. konvexe Zielfunktion und konvexe zulässige Menge) ist diese notwendige Bedingung auchhinreichend für Optimalität.Seite 1 von 2

Aufgabe 1.3:Projektion auf konvexe MengenGegeben sei eine konvexe, abgeschlossene, und nichtleere Menge C ⊂ R n und ein Punkt y ∈ R n .Gesucht ist ein Punkt x ∈ C - die Projektion des Vektors y auf die Menge C, - der den kleinstenAbstand von y unter allen Punkten von C hat, bzw. der die Aufgabelöst.minx∈C1‖x − y‖22a) Zeigen Sie die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung und geben Sie die notwendige Optimalitätsbedingungan.b) Nun sei speziell C = {x ∈ R n : a i ≤ x i ≤ b i , i = 1, . . . , n} mit reellen Zahlen a i < b i ,i = 1, . . . , n. Geben Sie die Projektion eines Vektors y ∈ R n auf diese Menge C explizit an.Aufgabe 1.4: Abadie- und Guignard-Constraint-QualificationBestimmen Sie zunächst anschaulich und dann auch rechnerisch für den zulässigen Bereich X :={x ∈ R 2 : g(x) ≤ 0} jeweils den Tangentialkegel T (X, ¯x) und den linearisierten TangentialkegelT l (g, ¯x) im Punkt ¯x. Erfüllt ¯x die Abadie-Constraint-Qualification? Überprüfen Sie außerdem, obdie Guignard-Constraint-Qualification erfüllt ist.a) g(x) = (x 2 − x 5 1 , −x 2) T , ¯x = (0, 0) T .b) g(x) = (x 2 2 − x 1 + 1, 1 − x 1 − x 2 ) T , ¯x = (1, 0) T .Aufgabe 1.5:KKT-BedingungenGegeben sei das gleichungsrestringierte Optimierungsproblemmin f(x) := 1 ( )x 2x∈R 2 1 + x 2 22u.d. N. 1 − x 1 + x 2 = 0. (P)a) Zeichnen Sie einige Höhenlinien von f sowie die zulässige Menge X := {x ∈ R 2 : h(x) = 0}mit h(x) = 1 − x 1 + x 2 . Bestimmen Sie graphisch die Lösung ¯x ∈ X von (P).b) Ergänzen Sie in der Zeichnung die Gradienten ∇f(¯x) und ∇h(¯x). Welcher Zusammenhangbesteht zwischen diesen beiden Vektoren?c) Ändern Sie die Funktion h so ab, dass sich in der in b) ermittelten Beziehung zwischen∇f(¯x) und ∇h(¯x) das Vorzeichen ändert, nicht redoch die zulässige Menge X.Abgabe: Es gibt folgende Abgabemöglichkeiten:• Briefkasten ”Nonlinear Optimization: Advanced”, bis Montag, 05.11.2012, 14:00 Uhr• T1 Studierende der Übungsgruppe T1 können die Aufgaben alternativ am Montag, 05.11.2012zu Beginn der Übung abgeben.Seite 2 von 2